Краморов Данил. Курсовой проект по теоретической механике — различия между версиями

Версия 17:34, 1 июня 2012

Тема проекта

Колебания шарика в вертикальном воздушном потоке

Постановка задачи

Тело - в данном эксперименте шарик для настольного тенниса - помещается на край вертикального воздушного потока (создается феном). Подчиняясь закону Бернулли, шарик будет пытаться стабилизироваться в центре потока, совершая колебания. Требуется найти уравнение колебаний шарика. Рассматриваются только горизонтальные колебания внутри потока.

Параметры системы:

[math] d = 4*10^{-2}[/math] м (диаметр потока)
[math] \rho = 0.125 [/math] кг/м^3 (массовая плотность воздуха)
[math] A = 12,56*10^{-4} [/math] м^2 (площадь поперечного сечения шара)
[math] Cl = 0.5 [/math] (коэффициент подъемной силы)
[math] \upsilon = 5.6 [/math] м/с (максимальная скорость потока, расчет приведен)

Решение

График скорости(v(t))

Рассмотрим горизонтальную составляющую второго закона Ньютона для данного тела. В этом направление на шарик действуют подъемная сила (объясняемая эффектом Магнуса) и сила аэродинамического сопротивления.

[math]m \ddot x = \frac{1} {2} \rho \upsilon^2 ACl- C_{x0} A\frac{\rho {\dot x}^2}{2};[/math]

График движения(x(t))

Шарик не является точечным делом, поэтому на границы шарика действуют два разных по значению подъемные силы. Они будут противоположны по знаку. Следовательно уравнение движения будет иметь вид:

[math]m \ddot x = \frac{1} {2} \rho ({\upsilon_1}^2-{\upsilon_2}^2) ACl - C_{x0} A\frac{\rho {\dot x}^2}{2};[/math]

Задача сводится к нахождению функции, описывающей скорость шара в вертикальном воздушном потоке. Найти требуемую функцию можно разными способами. Максимальная скорость будет достигаться в центре потока. По краям же скорость будет меньшей. Следовательно в грубом приближение функция скорости будет представлять из себя параболу.

Получаем зависимость от местоположения в потоке.

[math] \upsilon(x)= - \sqrt {\frac{g} {d^3}} x^2 + \upsilon_{max}[/math]

Теперь следует найти максимальную скорость потока.

Расчет максимальной скорости

График ускорения(w(t))

[math] q = \frac {\rho \upsilon^2*10} {2} [/math]
[math] q = \frac {F} {S} = \frac {mg} {A} [/math]
[math] \frac {\rho \upsilon^2*10} {2} = \frac {mg} {A} [/math]
[math] \upsilon = \sqrt {\frac {mg} {5 \rho A}} [/math]

Общая формула для скорости будет иметь вид:

[math] \upsilon(x)= -\sqrt {\frac{g} {d^3}} x^2 + \sqrt {\frac {mg} {5 \rho A}}[/math]

Итог

[math]m \ddot x = \frac{\rho A Cl g} {2d^3} [({\frac {d}{2}-x_1})^2-({\frac {d}{2}-x_2})^2][({\frac {d}{2}-x_1})^2+({\frac {d}{2}-x_2})^2 + 2\upsilon_{max}] - C_{x0} A\frac{\rho {\dot x}^2}{2};[/math]
[math] x = x_1+r [/math]
[math] x = x_2-r [/math]
Общая формула будет иметь вид:

[math]m \ddot x = \frac{\rho A Cl g} {2d^3} [2r(d-2x)][({\frac {d}{2}-x+r})^2+({\frac {d}{2}-x-r})^2+2\sqrt{\frac {md^3}{5\rho A}}] - C_{x0} A\frac{\rho {\dot x}^2}{2};[/math]
[math]m \ddot x = \frac{\rho A Cl g r} {d^3} (d-2x)[({\frac {d}{2}-x+r})^2+({\frac {d}{2}-x-r})^2+2\sqrt{\frac {md^3}{5\rho A}}] - C_{x0} A\frac{\rho {\dot x}^2}{2};[/math]
[math]m \ddot x = \frac{\rho A Cl g r} {d^3} (d-2x)[2({\frac {d}{2}-x})^2+2r^2+2\sqrt{\frac {md^3}{5\rho A}}] - C_{x0} A\frac{\rho {\dot x}^2}{2};[/math]
[math]m \ddot x = -\frac{\rho A Cl g r} {d^3} (d-2x)[({\frac x^2+r^2+\sqrt{\frac {md^3}{5\rho A}}] - C_{x0} A\frac{\rho {\dot x}^2}{2};[/math]
Уравнение колебаний для шарика в вертикальном воздушном потоке найдено.

Обсуждение результатов и выводы

Аналитический расчет подтвердил экспериментальную оценку. Окончательное уравнение показало, что тело в вертикальном воздушном потоке совершает затухающие колебания. Также можно отметить, что колебания оказались очень малы. Шарик практически моментально стабилизируется в потоке. Что касается вертикальных колебаний, то они зависят от перепадов напряжения в сети и носят довольно случайный характер. Посредством пакета matlab были построены графики скорости, ускорения и движения тела в потоке.

Ссылки по теме

Закон Бернулли
Эффект Магнуса

См. также

• Справочная информация
• Список курсовых проектов
• Кафедра "Теоретическая механика"
• Краморов Данил