Редактирование: Mie–Gruneisen equation of state
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
− | |||
== Source == | == Source == | ||
− | + | This article is based on the paper '''A.M. Krivtsov, V.A. Kuzkin, [[Медиа: Krivtsov_2011_MechSol.pdf | Derivation of Equations of State for Ideal Crystals of Simple Structure]] // Mech. Solids. 46 (3), 387-399 (2011))''' | |
− | This article is based on the paper | ||
− | |||
− | |||
== Mie-Gruneisen equation of state == | == Mie-Gruneisen equation of state == | ||
− | |||
In high pressure physics it is usual to represent the total pressure <math>p</math> in condensed matter as a sum of "cold" and "thermal" components: | In high pressure physics it is usual to represent the total pressure <math>p</math> in condensed matter as a sum of "cold" and "thermal" components: | ||
Строка 21: | Строка 15: | ||
<math> p = p_0(V) + \frac{\varGamma(V)}{V} E_T</math> | <math> p = p_0(V) + \frac{\varGamma(V)}{V} E_T</math> | ||
− | The given equation is refereed to as '''Mie-Gruneisen equation of state (EOS)'''. The function <math>\varGamma(V)</math> is called '''Gruneisen function'''. The value <math> \varGamma_0 </math> of Gruneisen function in undeformed configuration is called '''Gruneisen coefficient | + | The given equation is refereed to as '''Mie-Gruneisen equation of state (EOS)'''. The function <math>\varGamma(V)</math> is called '''Gruneisen function'''. The value <math> \varGamma_0 </math> of Gruneisen function in undeformed configuration is called '''Gruneisen coefficient'''. |
<math> \varGamma_0 = \varGamma(V_0)</math> | <math> \varGamma_0 = \varGamma(V_0)</math> | ||
− | == | + | == Уравнение состояния для кристаллов простой структуры == |
<math> | <math> | ||
Строка 32: | Строка 26: | ||
</math> | </math> | ||
− | + | где <math>k</math> - номер координационной сферы, <math>n</math> - их число, <math>N_k</math> - число атомов на <math>k</math>-ой координационной сфере, <math> A_k = \rho_k R \theta</math> - радиус координационной сферы, <math> \rho_k=A_k/A_1 </math> - безразмерные константы решетки, <math>R</math> - радиус первой координационной сферы в отсчетном положении, <math>\varPhi^{(n)}_k = \varPhi^{(n)}(A_k^2)</math>. | |
− | |||
− | + | == Холодная кривая для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе == | |
− | * | + | * Потенциал Леннарда-Джонса: |
<math> | <math> | ||
\varPi(r) =D\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{r}\right)^{6}\right], ~~~~ p_0 = \frac{6MD}{dV_0\theta^{d}}(\theta^{-12}-\theta^{-6}) | \varPi(r) =D\left[\left(\frac{a}{r}\right)^{12}-2\left(\frac{a}{r}\right)^{6}\right], ~~~~ p_0 = \frac{6MD}{dV_0\theta^{d}}(\theta^{-12}-\theta^{-6}) | ||
</math> | </math> | ||
− | * | + | |
+ | * Потенциал Ми | ||
<math> | <math> | ||
\varPi(r) =\frac{D}{n-m} \left[m\left(\frac{a}{r}\right)^{n}-n\left(\frac{a}{r}\right)^{m} \right], ~~~~ | \varPi(r) =\frac{D}{n-m} \left[m\left(\frac{a}{r}\right)^{n}-n\left(\frac{a}{r}\right)^{m} \right], ~~~~ | ||
Строка 49: | Строка 43: | ||
</math> | </math> | ||
− | * | + | * Потенциал Морзе |
<math> | <math> | ||
\varPi(r) = D\left[e^{2\alpha(a-r)}-2e^{\alpha(a-r)}\right], ~~~~ | \varPi(r) = D\left[e^{2\alpha(a-r)}-2e^{\alpha(a-r)}\right], ~~~~ | ||
Строка 55: | Строка 49: | ||
</math> | </math> | ||
− | + | Здесь <math>D</math> - энергия связи, <math>a</math> - длина связи, <math>\alpha</math> - параметр, характеризующий ширину потенциальной ямы; <math>m, n</math> - параметры потенциала Ми. | |
− | == | + | == Коэффициент Грюнайзена для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе == |
− | + | Выражение для параметра Грюнайзена для идеальных кристаллов с парными взаимодействиями в пространстве размерности <math>d</math> имеет вид: | |
<math> | <math> | ||
Строка 65: | Строка 59: | ||
</math> | </math> | ||
− | + | где <math>\Pi</math> - потенциал межатомного взаимодействия, <math>a</math> - равновесное расстояние, <math>d</math> - размерность пространства. Связь параметра Грюнайзена с параметрами потенциалов Леннарда-Джонса, Ми и Морзе представлена в таблице. | |
{|class="wikitable" | {|class="wikitable" | ||
|- | |- | ||
− | ! | + | !решетка |
− | ! | + | !размерность пространства |
− | ! | + | !Потенциал Леннарда-Джонса |
− | ! | + | !Потенциал Ми |
− | ! | + | !Потенциал Морзе |
|- | |- | ||
− | | | + | | Цепочка |
! <math> d=1 </math> | ! <math> d=1 </math> | ||
! <math>10\frac{1}{2} </math> | ! <math>10\frac{1}{2} </math> | ||
Строка 81: | Строка 75: | ||
! <math>\frac{3\alpha a}{2}</math> | ! <math>\frac{3\alpha a}{2}</math> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | | Треугольная решетка |
!<math>d=2 </math> | !<math>d=2 </math> | ||
! <math>5</math> | ! <math>5</math> | ||
Строка 93: | Строка 87: | ||
! <math>\frac{3\alpha a-2}{6}</math> | ! <math>\frac{3\alpha a-2}{6}</math> | ||
|- | |- | ||
− | | " | + | | "Гиперрешетка" |
! <math>d=\infty</math> | ! <math>d=\infty</math> | ||
! <math>-\frac{1}{2}</math> | ! <math>-\frac{1}{2}</math> | ||
Строка 99: | Строка 93: | ||
! <math>-\frac{1}{2}</math> | ! <math>-\frac{1}{2}</math> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | | Общая формула |
! <math>d</math> | ! <math>d</math> | ||
! <math>\frac{11}{d}-\frac{1}{2}</math> | ! <math>\frac{11}{d}-\frac{1}{2}</math> | ||
Строка 107: | Строка 101: | ||
|} | |} | ||
− | + | == Функция Грюнайзена для потенциалов Леннарда-Джонса, Ми, Морзе == | |
− | + | * Потенциал Леннарда-Джонса: | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | * | ||
<math> | <math> | ||
\varGamma = \frac{1}{d}\frac{4(8-d)\theta^{6}-7(14-d)}{(8-d)\theta^{6}-(14-d)}. | \varGamma = \frac{1}{d}\frac{4(8-d)\theta^{6}-7(14-d)}{(8-d)\theta^{6}-(14-d)}. | ||
</math> | </math> | ||
− | * | + | |
+ | * Потенциал Ми | ||
<math> | <math> | ||
\varGamma = \frac{1}{2d}\frac{(n+2)(n-d+2)\theta^{m-n}-(m+2)(m-d+2)}{(n-d+2)\theta^{m-n}-(m-d+2)}. | \varGamma = \frac{1}{2d}\frac{(n+2)(n-d+2)\theta^{m-n}-(m+2)(m-d+2)}{(n-d+2)\theta^{m-n}-(m-d+2)}. | ||
</math> | </math> | ||
− | * | + | |
+ | * Потенциал Морзе | ||
<math> | <math> | ||
\varGamma = \frac{1}{2d}\frac{e^{\alpha a(1-\theta)}\left(4\alpha^2a^2\theta^2-2d_1\alpha a | \varGamma = \frac{1}{2d}\frac{e^{\alpha a(1-\theta)}\left(4\alpha^2a^2\theta^2-2d_1\alpha a | ||
Строка 131: | Строка 123: | ||
<math>d_1 = d-1,~~</math> <math>\theta=(V/V_0)^{1/d}</math> | <math>d_1 = d-1,~~</math> <math>\theta=(V/V_0)^{1/d}</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | == | + | |
+ | |||
+ | == Статьи == | ||
+ | * Кривцов А. М., Кузькин В. А. Получение уравнения состояния идеальных кристаллов простой структуры // Механика твёрдого тела. — 2011. — № 3. | ||
+ | |||
+ | == Ссылки == | ||
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9C%D0%B8_%E2%80%94_%D0%93%D1%80%D1%8E%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D0%B7%D0%B5%D0%BD%D0%B0 Статья про уравнение Ми-Грюнайзена в Википедии] | * [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%9C%D0%B8_%E2%80%94_%D0%93%D1%80%D1%8E%D0%BD%D0%B0%D0%B9%D0%B7%D0%B5%D0%BD%D0%B0 Статья про уравнение Ми-Грюнайзена в Википедии] | ||
− | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Mie%E2%80%93Gruneisen_equation_of_state Mie–Gruneisen equation of state | + | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Mie%E2%80%93Gruneisen_equation_of_state Mie–Gruneisen equation of state] |