Редактирование: Dzenushko Dainis. Course project for theoretical mechanics "Double pendulum"

[[Дзенушко Дайнис. Курсовой проект по теоретической механике|Русская версия ]][[Файл:RUS.jpg]]
== Subject ==
Specification of double pendulum oscillations 

== Task ==
Rod is connected to the roof by cylindrical joint. The second rod is connected to the end of the first rod via cylindrical joint so that when both rods are vertical the angle between joint's axis equals to <math>\alpha</math>. Dissipative forces are not taken to account.<br>
'''System parameters:''' <br>
#Inertia tensor of first and second rods are equal. <math>\underline{\underline{\Theta}}_1</math> and <math>\underline{\underline{\Theta}}_2</math> respectively. 
#length of rods are a and b, their masses <math>m_1</math> and <math>m_2</math> for first and second rods.
#Angle between rotation axis of joints equals to <math>\alpha</math><br>
*<math>\varphi</math> - angle between first rod and vertical direction
*<math>\psi</math> - angle between axis of first and second rods that means the angle in second joint relative to vertical orientation of system.

<gallery widths=231px heights=319px perrow = 1>
Файл:2_oscillator.jpg‎
</gallery>
'''Main task:'''<br>
*find the equation of motion for this double pendulum

== Solution ==
'''Let's find the way of solving this problem:''' We are going to solve the problem by using the Lagrange equation:<br>
<math>\frac{d}{dt}\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_i}-\frac{\partial T}{\partial q_i} = -\frac{\partial \Pi}{\partial q_i}+Q_i</math><br>
*<math>T</math> - Kinetic energy of system <br>
*<math>\Pi</math> - Potential energy of system<br>
*<math>q_i</math> - Generalized coordinates<br>
*<math>\dot{q}_i</math> - generalized velocities<br>
*<math>Q_i</math> - generalized non-potential forces<br>
<br>

'''Selecting generalized coordinates:''' for generalized coordinates we are going to use angles <math>\varphi</math> and <math>\psi</math> <br>
*In this problem we neglect non-potential interactions, so generalized non-potential forces equals to zero.<br>

'''Calculating potential and kinetic energy of system:''' <math>\Pi_1 , T_1 ; \Pi_2 , T_2 </math> of first and second rods relatively.<br> <math>\Pi = \Pi_1 + \Pi_2</math> - Potential energy of system<br>
<math>T = T_1 + T_2</math> - Kinetic energy of system<br>
<math>T_1 = \frac{\underline{\omega}_1 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_1 \cdot \underline{\omega}_1}{2} = \frac{\Theta_1 \omega_1^2}{2} = \frac{\Theta_1 \dot{\varphi}^2}{2}</math> - Kinetic energy of first rod; Where 
<math>\qquad \Theta_1 = \frac{m_1 a^2}{3}</math> - Inertia torque of first rod<br>
<math>\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)</math> - Potential energy of first rod<br>
<math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}</math> - Kinetic energy of second rod<br>
<math>\underline{\omega}_2 = ?</math><br><br>

'''Найдем вектор угловой скорости второго стержня:''' <br>
Для нахождения <math>\underline{\omega}_2</math> найдем тензоры поворота первого и второго стержней<br>
<math>\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)</math><br>
<math>\underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{e}) = \underline{e}\underline{e} + (\underline{\underline{E}} - \underline{e}\underline{e})cos(\psi) + \underline{e} \times \underline{\underline{E}}sin(\psi)</math><br>
Где:<br>
<math>\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0</math> - ось вращения второго стержня в данном положении<br>
<math>\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i}</math> - ось вращения второго стержня в начальном положении <br><br>

<math>\underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1</math> - полный тензор поворота второго стержня <br><br>

Но:<br>
<math> \underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1 = \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e}) \cdot \underline{\underline{P}}_1 = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0})\cdot \underline{\underline{P}}^T_1 \cdot \underline{\underline{P}}_1 = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0})</math><br>

Теперь применяя формулу сложения угловых скоростей получим:<br>
<math>\underline{\omega}_2 = \underline{\omega}_1 + \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\tilde{\omega}}_2; \qquad \underline{\tilde{\omega}}_2 = \dot{\psi}\underline{e_0}</math><br>

Таким образом получаем что:<br>
<math>\underline{\omega}_2 =  \dot{\varphi} \underline{k} + \dot{\psi}\underline{e}</math><br><br>

'''Найдем скорость центра масс второго стержня'''<br>
<math>\underline{\vartheta}_c = \frac{1}{2}\underline{\omega}_2 \times \underline{b} + \dot{\varphi}\underline{k}\times \underline{a} ; \qquad \underline{a} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot a\underline{j} ; \qquad \underline{b} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0}) \cdot b\underline{j}</math>
<br><br>

'''Найдем кинетическую энергию второго стержня'''<br>
Запишем тензор инерции второго стержня:<br>
<math>\underline{\underline{\Theta}}_2 = \frac{ml^2}{12}\left(\underline{\underline{E}} - \underline{\tilde{e}\tilde{e}} \right) ;\qquad \underline{\tilde{e}} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0}) \cdot \underline{j}</math><br><br>
Теперь мы нашли все необходимое для подставления в формулу для кинетической энергии второго стержня:<br>
<math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}</math>
<br><br>

'''Найдем потенциальную энергию второго стержня'''<br>
<math>\Pi_2 = mg(a+b - \underline{r}_c \cdot \underline{j}); \qquad \underline{r}_c = \underline{a} + \frac{1}{2}\underline{b}</math> - радиус-вектор центра масс второго стержня<br><br>
'''Получение уравнения движения'''<br>
Продифференцируем полученные выражения для потенциальной и кинетической энергий, как это требует уравнение Лагранжа и подставим полученное в него. В результате получим систему из двух дифференциальных уравнений которые описывают движение системы.<br>
Заметим что данный метод решения дает нам уравнение движения для больших углов, в случае необходимости его можно линеаризовать предположив что углы <math>\varphi,\psi</math> малы и отбросив слагаемые второго порядка.<br>

== Using this method for special case ==
We'll check mentionad method for special case when <math>\alpha = 0</math><br> 
In this case problem becomes 2D.<br>
'''Finding rotation tensors'''<br>
<math>\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)</math><br><br>
<math>\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i} = \underline{k}</math><br>
<math>\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0 = \underline{k}</math><br>
<math>\underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{e})= \underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\psi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\psi)</math><br><br>

'''Finding second rod's angular vielocity'''<br>
<math>\underline{\omega}_2 = (\dot{\varphi}+\dot{\psi})\underline{k}</math><br><br>

'''Finding second rod's center of mass velocity'''<br>
<math>\upsilon^2_c = \frac{1}{4} b^2 (\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + a^2\dot{\varphi}^2</math><br><br>

'''Finding second rod's kinetic energy'''<br>
<math>T_2 = \frac{1}{2} \left( \frac{m_2 b^2}{3}(\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + m_2 ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + m_2 a^2\dot{\varphi}^2 \right)</math><br><br>

'''Finding second rod's potential energy'''<br>
<math>\Pi_2 = m_2 g \left[ a \left(1-\cos\varphi \right) + \frac{b}{2}\left(2 + \sin\varphi\sin\psi - \cos\varphi\cos\psi \right) \right]</math><br><br>

'''Finding first rod's kinetic and potential energy'''<br>
<math>T_1 = \frac{1}{2}\frac{m_1 a^2}{3}\dot{\varphi}^2</math><br>
<math>\Pi_1 = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right)</math><br><br>

'''Finding equation of motion for this special case'''<br>
Let's write equations for system's kinetic and potential energy:<br>
<math>T = \frac{1}{2}\frac{m_1 a^2}{3}\dot{\varphi}^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{m_2 b^2}{3}(\dot{\varphi}+\dot{\psi})^2 + m_2 ab\cos\psi(\dot{\varphi}+\dot{\psi})\dot{\varphi} + m_2 a^2\dot{\varphi}^2 \right)</math><br>
<math>\Pi = m_1 g \left( \frac{a}{2} - \frac{a}{2} \cos \varphi \right) + m_2 g \left[ a \left(1-\cos\varphi \right) + \frac{b}{2}\left(2 + \sin\varphi\sin\psi - \cos\varphi\cos\psi \right) \right]</math><br>
Now we differentiate both equations and linearise results assuming that <math>\varphi , \psi</math> are small and taking to account only infinitesimals of the first order. As the result we find equation of motion:<br>
<math>
\begin{cases}
    \ddot{\varphi} \left( \frac{m_1 a^2}{3} + \frac{m_2 b^2}{3} + m_2 a (a+b) \right) + \ddot{\psi} \left( \frac{m_2 b^2}{3} + \frac{m_2 ab}{2} \right) + \varphi \frac{g}{2} \left((m_1+2m_2)a+m_2 b \right)+\psi \frac{g}{2}m_2 b = 0\\
    \ddot{\varphi} \left( \frac{m_2 b^2}{3} + \frac{m_2 ab}{2} \right) + \ddot{\psi} \frac{m_2 b^2}{3} + \varphi \frac{g}{2} m_2 b + \psi \frac{g}{2} m_2 b = 0\\
\end{cases}
</math>

== Discussing the results and conclusion ==
The algorithm of solving the problem about double pendulum where both joints are cylindrical was described in this work. After that this method was used for special case of two-dimential problem.

== Related links ==
*[http://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum  Double pendulum 2D Wiki]<br>
*[http://vuz.exponenta.ru/PDF/koleb2s2.html  Двумерный случай двойного маятника]

== See also ==

* [[Справка:Содержание|Справочная информация]]
* [[Курсовые проекты ТМ 20510 (2012)|Список курсовых проектов]]
* [[Кафедра "Теоретическая механика"|Department for Theoretical Mechanics]]
* [[Dzenushko Dainis]]


[[Category: Студенческие проекты]]