Редактирование: Dzenushko Dainis. Course project for theoretical mechanics "Double pendulum"
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 39: | Строка 39: | ||
<math>\underline{\omega}_2 = ?</math><br><br> | <math>\underline{\omega}_2 = ?</math><br><br> | ||
− | ''' | + | '''Найдем вектор угловой скорости второго стержня:''' <br> |
− | + | Для нахождения <math>\underline{\omega}_2</math> найдем тензоры поворота первого и второго стержней<br> | |
<math>\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)</math><br> | <math>\underline{\underline{P}}_1(\varphi,\underline{k}) = \underline{k}\underline{k} + (\underline{\underline{E}} - \underline{k}\underline{k})cos(\varphi) + \underline{k} \times \underline{\underline{E}}sin(\varphi)</math><br> | ||
<math>\underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{e}) = \underline{e}\underline{e} + (\underline{\underline{E}} - \underline{e}\underline{e})cos(\psi) + \underline{e} \times \underline{\underline{E}}sin(\psi)</math><br> | <math>\underline{\underline{P}}_2(\psi,\underline{e}) = \underline{e}\underline{e} + (\underline{\underline{E}} - \underline{e}\underline{e})cos(\psi) + \underline{e} \times \underline{\underline{E}}sin(\psi)</math><br> | ||
− | + | Где:<br> | |
− | <math>\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0</math> - | + | <math>\underline{e} = \underline{\underline {P}}_1 \cdot \underline{e}_0</math> - ось вращения второго стержня в данном положении<br> |
− | <math>\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i}</math> - | + | <math>\underline{e}_0 = \cos(\alpha) \underline{k} + \sin(\alpha) \underline{i}</math> - ось вращения второго стержня в начальном положении <br><br> |
− | <math>\underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1</math> - | + | <math>\underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1</math> - полный тензор поворота второго стержня <br><br> |
− | + | Но:<br> | |
<math> \underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1 = \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e}) \cdot \underline{\underline{P}}_1 = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0})\cdot \underline{\underline{P}}^T_1 \cdot \underline{\underline{P}}_1 = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0})</math><br> | <math> \underline{\underline{P}} = \underline{\underline{P}}_2 \cdot \underline{\underline{P}}_1 = \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e}) \cdot \underline{\underline{P}}_1 = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0})\cdot \underline{\underline{P}}^T_1 \cdot \underline{\underline{P}}_1 = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0})</math><br> | ||
− | + | Теперь применяя формулу сложения угловых скоростей получим:<br> | |
<math>\underline{\omega}_2 = \underline{\omega}_1 + \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\tilde{\omega}}_2; \qquad \underline{\tilde{\omega}}_2 = \dot{\psi}\underline{e_0}</math><br> | <math>\underline{\omega}_2 = \underline{\omega}_1 + \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\tilde{\omega}}_2; \qquad \underline{\tilde{\omega}}_2 = \dot{\psi}\underline{e_0}</math><br> | ||
− | + | Таким образом получаем что:<br> | |
<math>\underline{\omega}_2 = \dot{\varphi} \underline{k} + \dot{\psi}\underline{e}</math><br><br> | <math>\underline{\omega}_2 = \dot{\varphi} \underline{k} + \dot{\psi}\underline{e}</math><br><br> | ||
− | ''' | + | '''Найдем скорость центра масс второго стержня'''<br> |
<math>\underline{\vartheta}_c = \frac{1}{2}\underline{\omega}_2 \times \underline{b} + \dot{\varphi}\underline{k}\times \underline{a} ; \qquad \underline{a} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot a\underline{j} ; \qquad \underline{b} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0}) \cdot b\underline{j}</math> | <math>\underline{\vartheta}_c = \frac{1}{2}\underline{\omega}_2 \times \underline{b} + \dot{\varphi}\underline{k}\times \underline{a} ; \qquad \underline{a} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot a\underline{j} ; \qquad \underline{b} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0}) \cdot b\underline{j}</math> | ||
<br><br> | <br><br> | ||
− | ''' | + | '''Найдем кинетическую энергию второго стержня'''<br> |
− | + | Запишем тензор инерции второго стержня:<br> | |
<math>\underline{\underline{\Theta}}_2 = \frac{ml^2}{12}\left(\underline{\underline{E}} - \underline{\tilde{e}\tilde{e}} \right) ;\qquad \underline{\tilde{e}} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0}) \cdot \underline{j}</math><br><br> | <math>\underline{\underline{\Theta}}_2 = \frac{ml^2}{12}\left(\underline{\underline{E}} - \underline{\tilde{e}\tilde{e}} \right) ;\qquad \underline{\tilde{e}} = \underline{\underline{P}}_1 \cdot \underline{\underline{P}}(\psi,\underline{e_0}) \cdot \underline{j}</math><br><br> | ||
− | + | Теперь мы нашли все необходимое для подставления в формулу для кинетической энергии второго стержня:<br> | |
<math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}</math> | <math>T_2 = \frac{\underline{\omega}_2 \cdot \underline{\underline{\Theta}}_2 \cdot \underline{\omega}_2}{2} + \frac{m_2 \vartheta_c^2}{2}</math> | ||
<br><br> | <br><br> | ||
− | ''' | + | '''Найдем потенциальную энергию второго стержня'''<br> |
− | <math>\Pi_2 = mg(a+b - \underline{r}_c \cdot \underline{j}); \qquad \underline{r}_c = \underline{a} + \frac{1}{2}\underline{b}</math> - | + | <math>\Pi_2 = mg(a+b - \underline{r}_c \cdot \underline{j}); \qquad \underline{r}_c = \underline{a} + \frac{1}{2}\underline{b}</math> - радиус-вектор центра масс второго стержня<br><br> |
− | ''' | + | '''Получение уравнения движения'''<br> |
− | + | Продифференцируем полученные выражения для потенциальной и кинетической энергий, как это требует уравнение Лагранжа и подставим полученное в него. В результате получим систему из двух дифференциальных уравнений которые описывают движение системы.<br> | |
− | + | Заметим что данный метод решения дает нам уравнение движения для больших углов, в случае необходимости его можно линеаризовать предположив что углы <math>\varphi,\psi</math> малы и отбросив слагаемые второго порядка.<br> | |
== Using this method for special case == | == Using this method for special case == |