Редактирование: Фрактал
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 11: | Строка 11: | ||
\end{cases} | \end{cases} | ||
\end{equation} | \end{equation} | ||
− | < | + | <br>где <math>F</math> - функция<i> [https://ru.wikipedia.org/wiki/Дробная_часть дробной части]</i>. Сразу можно сказать, что все точки, вычисленные по этим формулам, попадут в единичный квадрат (вследствие использования функции дробной части). |
− | Сразу можно сказать, что все точки, вычисленные по этим формулам, попадут в единичный квадрат (вследствие использования функции дробной части). | + | <br> Если убрать функцию <math>F</math>, то формулы будут эквиваленты системе дифференциальных уравнений, описывающих отображение точек плоскости на себя с течением времени([https://ru.wikipedia.org/wiki/Отображение_Пуанкаре отображение Пуанкаре]). То есть, программа покажет периодичность(или непериодичность) состояний динамической системы в зависимости от начальных данных (начальной точки на плоскости): |
− | + | \begin{equation} | |
− | Если убрать функцию <math>F</math>, то формулы будут эквиваленты системе дифференциальных уравнений, описывающих отображение точек плоскости на себя с течением времени ([https://ru.wikipedia.org/wiki/Отображение_Пуанкаре отображение Пуанкаре]). То есть, | ||
\begin{cases} | \begin{cases} | ||
− | \frac{dx}{dt} = b_{11}x + b_{12}y\\ | + | \frac{dx}{dt} = F(b_{11}x + b_{12}y)\\ |
− | \frac{dy}{dt} = b_{21}x + b_{22}y | + | \frac{dy}{dt} = F(b_{21}x + b_{22}y) |
\end{cases} | \end{cases} | ||
− | + | \end{equation} | |
<div align = "center"><br>{{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/fotos/interpritate.png| width= 364 | height = 377}}</div> | <div align = "center"><br>{{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/fotos/interpritate.png| width= 364 | height = 377}}</div> | ||
− | + | ==Направление исследований== | |
+ | Используя функцию <math>F</math>, программа строит <i><b>регулярные</b></i> и <i><b>нерегулярные</b></i> области: | ||
<br>1. <i><b>Регулярной</b></i> будем называть область, состоящую из малого количества отдельных элементов (например: два больших эллипса). | <br>1. <i><b>Регулярной</b></i> будем называть область, состоящую из малого количества отдельных элементов (например: два больших эллипса). | ||
<br>2. <i><b>Нерегулярной</b></i> будем называть область, состоящую из большого количества малых элементов (например: множество малых эллипсов в промежутках между регулярными областями). | <br>2. <i><b>Нерегулярной</b></i> будем называть область, состоящую из большого количества малых элементов (например: множество малых эллипсов в промежутках между регулярными областями). | ||
<br>Ниже изображен процесс вычисления точек и их отображения в случае нерегулярной и регулярной области при одних и тех же коэффициентах (эксперимент 1): | <br>Ниже изображен процесс вычисления точек и их отображения в случае нерегулярной и регулярной области при одних и тех же коэффициентах (эксперимент 1): | ||
\begin{equation} a_{11} = 1, a_{12} = 1, a_{21} = -0.9, a_{22} = 1.\end{equation} | \begin{equation} a_{11} = 1, a_{12} = 1, a_{21} = -0.9, a_{22} = 1.\end{equation} | ||
− | <br>1. Анимация №1 | + | <br>1. Анимация №1\begin{equation} x_{0} = 0.613, y_{0} = 0.582 \end{equation} |
− | |||
<br>{{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/fotos/reg_obl-1.gif| width= 454 | height = 369}} | <br>{{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/fotos/reg_obl-1.gif| width= 454 | height = 369}} | ||
{{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/fotos/edinich-1.png| width= 387 | height = 218}} | {{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/fotos/edinich-1.png| width= 387 | height = 218}} | ||
<br>Результат: регулярная область фрактала. | <br>Результат: регулярная область фрактала. | ||
− | <br>2. Анимация №2 | + | <br>2. Анимация №2\begin{equation} x_{0} = 0.46, y_{0} = 0.63\end{equation} |
− | + | <br> | |
− | <br>{{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/fotos/nereg_obl2.gif| width= 450 | height = 369}} | + | {{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/fotos/nereg_obl2.gif| width= 450 | height = 369}} |
<br>Результат: нерегулярная область фрактала. | <br>Результат: нерегулярная область фрактала. | ||
<font color = "blue"><br><i>Синим</i></font> цветом обозначены точки, вычисленные по рекуррентным формулам <u>без</u> использования функции <math>F</math>. | <font color = "blue"><br><i>Синим</i></font> цветом обозначены точки, вычисленные по рекуррентным формулам <u>без</u> использования функции <math>F</math>. | ||
Строка 39: | Строка 38: | ||
<br><b><i>Вывод 1</i></b>: в зависимости от выбора начальной точки мы получаем дополняющие друг друга области одного фрактала, соответствующего заданным коэффициентам. Интерес состоит в том, чтобы выделять нерегулярные(большие) области фрактала, отсеивая регулярные так, чтобы не зависеть от "ZOOM'а". | <br><b><i>Вывод 1</i></b>: в зависимости от выбора начальной точки мы получаем дополняющие друг друга области одного фрактала, соответствующего заданным коэффициентам. Интерес состоит в том, чтобы выделять нерегулярные(большие) области фрактала, отсеивая регулярные так, чтобы не зависеть от "ZOOM'а". | ||
− | <br><b><i>Примечание</i></b>. | + | <br><b><i>Вывод 2</i></b>: паттерн получаемого фрактала подобен кривой второго порядка, которую образуют точки, вычисленные по рекуррентным формулам без использования функции дробной части <math>F</math>. Зная как связаны коэффициенты рекуррентных формул с коэффициентами соответствующей системы дифференциальных уравнений, можно узнать тип особой точки и вид паттерна фрактала (эллипс, гипербола, спираль..). |
+ | |||
+ | <br><b><i>Примечание</i></b>. Для дальнейшего использования результатов программы в докладах/исследованиях/научных работах и повторного воспроизведения интересных результатов, программа отображает начальные значения "x" и "y", введенные пользователем последним кликом по холсту, рядом с информацией о рассматриваемой области: | ||
+ | <br>{{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/fotos/obla.png| width= 805 | height = 29}} | ||
− | |||
==Пример работы программы== | ==Пример работы программы== | ||
Зададим такие же коэффициенты, как в примерах выше (эксперимент №1 в списке программы): | Зададим такие же коэффициенты, как в примерах выше (эксперимент №1 в списке программы): | ||
Строка 48: | Строка 49: | ||
<br>{{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/fotos/Ellips2.jpg| width= 212 | height = 209}} | <br>{{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/fotos/Ellips2.jpg| width= 212 | height = 209}} | ||
<br>Для просмотра других примечательных наборов начальных условий следует выбрать номер эксперимента в списке программы. | <br>Для просмотра других примечательных наборов начальных условий следует выбрать номер эксперимента в списке программы. | ||
− | == | + | ==Задание коэффициентов и начальных точек== |
− | + | Коэффициенты \begin{equation}a_{11},a_{12},a_{21},a_{22}\end{equation} задаются с помощью полей ввода: | |
− | |||
− | |||
<br>{{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/fotos/koeffs.png| width= 197 | height = 45}} | <br>{{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/fotos/koeffs.png| width= 197 | height = 45}} | ||
<br>Начальные точки задаются с помощью клика по холсту или с помощью полей ввода: | <br>Начальные точки задаются с помощью клика по холсту или с помощью полей ввода: | ||
− | <br>{{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/fotos/n. | + | <br>{{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/fotos/n.y.png| width= 721 | height = 25}} |
− | + | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
==Два режима работы программы== | ==Два режима работы программы== | ||
Данная программа предусматривает два режима работы: | Данная программа предусматривает два режима работы: | ||
Строка 66: | Строка 60: | ||
<br>2) Режим "ZOOM'а". Включается нажатием на соответствующий "checkbox", или с помощью численного задания области рассмотрения. Позволяет подробнее рассмотреть полученный рисунок. | <br>2) Режим "ZOOM'а". Включается нажатием на соответствующий "checkbox", или с помощью численного задания области рассмотрения. Позволяет подробнее рассмотреть полученный рисунок. | ||
<br>Чтобы программа лучше прорисовала картину в режиме "ZOOM", необходимо задать большее количество точек в поле задания количества итераций, используя при этом кнопку "Обновить рисунок" | <br>Чтобы программа лучше прорисовала картину в режиме "ZOOM", необходимо задать большее количество точек в поле задания количества итераций, используя при этом кнопку "Обновить рисунок" | ||
− | {{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/ | + | {{#widget:Iframe |url = http://tm.spbstu.ru/htmlets/js2020/Borisenkov/Fractals25_kopia31_01_21.html | width =1500 | height = 1228| border = 0}} |
+ | ==Другая версия программы== | ||
+ | <br><b>http://tm.spbstu.ru/Фрактал(2-ая_версия_программы) | ||
==Код программы== | ==Код программы== | ||
<div class="mw-collapsible mw-collapsed"> | <div class="mw-collapsible mw-collapsed"> |