Редактирование: Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 3
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
− | ''' | + | == '''Постановка задачи''' == |
− | Требуется подсчитать силу, с которой | + | Пусть имеется тело радиуса <math>R</math> (площадь поверхности <math>S_1=4\pi R^2</math>)с поверхности которого отделяются частицы. На расстоянии <math>r</math> от первого тела находится частица. |
+ | |||
+ | Требуется подсчитать силу, с которой сфера взаимодействует с частицей. | ||
Исходим из следующих соображений. | Исходим из следующих соображений. | ||
Строка 21: | Строка 22: | ||
Запишем уравнение непрерывности для среды с источником излучения. | Запишем уравнение непрерывности для среды с источником излучения. | ||
− | <math>(1):\frac{\partial | + | <math>(1):\frac{\partial n}{\partial t}+\bigtriangledown \cdot (n \vec V_0)=4\pi R^2 I \delta^3(r)</math>, |
где | где | ||
− | <math> | + | <math>n</math>-концентрация частиц, |
<math>I</math>-Интенсивность испарения сферы <math>\frac{partical}{sek \cdot sm^2}</math> | <math>I</math>-Интенсивность испарения сферы <math>\frac{partical}{sek \cdot sm^2}</math> | ||
Строка 33: | Строка 34: | ||
Первое слагаемое в силу стационарности-ноль. | Первое слагаемое в силу стационарности-ноль. | ||
− | <math>(2): | + | <math>(2):n V_0 \cdot 4\pi r^2=4\pi R^2 I</math> |
− | <math>(3): | + | <math>(3):n=\frac{R^2 I}{r^2 V_0}</math> |
− | Рассмотрим частичку площадью <math>4\pi a^2</math>, ( площадь | + | Рассмотрим частичку площадью <math>4\pi a^2</math>, ("эффективная" площадь <math>S_2=\pi a^2</math>) находящеюся на расстоянии <math>r</math>, от излучающего тела. Тогда переданный импульс при абсолютно-упругом ударе за время <math>\Delta t</math> будет |
− | <math>(4):\Delta p=\frac{2 m \Delta t V_0 | + | <math>(4):\Delta p=\frac{2 m \Delta t V_0 \pi a^2 R^2 I}{r^2}</math>, |
отсюда | отсюда | ||
− | <math>(5):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}= | + | <math>(5):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=2m\pi V_0 I\frac{a^2 R^2 }{r^2}=\frac{m V_0 I}{8\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}</math> |
− | |||
− | |||
− | ''' | + | == '''Постановка задачи''' == |
− | |||
− | + | В условиях прошлой задачи, учесть эффект экранирования. | |
− | + | '''Решение''' | |
− | + | Если среда, где распространяется излучение, не пустая присутствует экранирующий эффект, тогда , в соответствии с [[http://tm.spbstu.ru/%D0%A3%D1%81%D1%82%D0%BE%D0%B9%D1%87%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%82%D0%BE%D0%BF%D0%BB%D0%B0%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%BE%D0%B1%D0%BB%D0%B0%D0%BA%D0%B0_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D1%8B_%22%D0%97%D0%B5%D0%BC%D0%BB%D1%8F_-_%D0%9B%D1%83%D0%BD%D0%B0%22_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D1%8C_2 работой]], как | |
− | <math>( | + | <math>(6):n=\frac{R^2 I}{r^2 V_0} exp(-\rho S r ) </math>, где |
− | + | <math>\rho=\rho(r)</math> -концентрация пылинок. | |
− | |||
+ | <math>S</math> -эффектная площадь частиц среды. | ||
− | + | <math>(7):F=\frac{\Delta p}{\Delta t}= \frac{m V_0 I}{8\pi}\frac{S_1 S_2 }{r^2}exp(-\rho S r )=\frac{K}{2}\frac{S_1 S_2 }{r^2}exp(-\rho S r )</math> | |
− | |||
− | + | == '''Постановка задачи''' == | |
− | <math> | + | Для испаряющейся с интенсивностью <math>I</math> сферической частицы площадью <math>S_1/2</math>, в среде с частицами с концентрацией <math>\rho</math> и площадью <math>S/2</math> написать выражение для созданного ей отталкивающего потенциала на расстоянии r. |
− | |||
− | |||
'''Решение''' | '''Решение''' | ||
− | + | Характеристикой испарения, при одинаковой интенсивности является площадь частицы. Использую метод пробной сферической частицы,площадью поверхности <math>\frac{S_1}{2}</math> внесенной в отталкивающее поле (тогда на наблюдателя будет обращена поверхность <math>S_1</math> ), получим связь силы и потенциала: | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | <math>\varphi=-\int \frac{2 F}{S_2} dr=K S_1 \rho S \left(\frac{exp(\rho S r)}{\rho S r}+Ei(1,-\rho S r)\right)</math> | ||
+ | P.S.Для гравирующей частицы потенциал будет очевидно равен: | ||
+ | <math>\varphi=K S_1 \rho S \left(\frac{exp(\rho S r)}{\rho S r}+Ei(1,-\rho S r)\right)</math> | ||
+ | <math>(8:)\varphi=K S_1\left( \frac{exp(\rho S r)}{r}+\rho S \cdot Ei(1,-\rho S r)\right)</math> | ||
+ | == ''' Постановка задачи''' == | ||
− | <math> | + | Для однородного шара с концентрацией частиц <math>\rho </math> найти закон функцию потенциала. |
− | |||
− | |||
− | |||
'''Решение''' | '''Решение''' | ||
+ | По антологии с гравитационным потенциалом можно показать, что на внутреннею точку полый шар не действует. | ||
− | Проведем через точку | + | Теперь будем считать, что шар не полый, и плотность частиц постоянна. Проведем через точку <math>P</math> сферу так, что она разделит шар на внутренний шар с массой <math>m</math> и шаровой слой с массой <math>M-m</math>. Материальная точка будет взаимодействовать только внутренним шаром. |
− | <math>( | + | Представим себе, что точка <math>P</math> находится вне шара. Соединим эту точку с центром шара (точка О), полученный радиус-вектор обозначим через <math>r</math> . Радиус-вектор элемента объёма <math>dV</math> будем обозначать буквой <math>r'</math> . Следовательно расстояние между элементом объёма и точкой <math>P</math> , которое мы обозначили греческой буквой <math>\rho</math>, будет иметь вид <math>\rho=\sqrt{r'^2+r^2-2rr'cos\phi}</math> , где <math>\phi</math>-- угол с вершиной в центре шара, образованный радиус-векторами <math>r</math>, . Наконец, объем элементарно малого параллелепипеда со сторонами <math>dr'</math>, <math>r'd\phi</math>, и <math>r'sin\phi dA</math> . Здесь мы введена еще одна степень свободы -- поворот вокруг оси OP на угол <math>dA</math>. |
− | |||
− | <math> | ||
− | + | Для бесконечно-малого объёма надо ввести эквиваленту площадь поверхности, равной суммарной площади всех находящихся в нём частиц. | |
− | <math> | + | <math>dN=ndV</math> |
− | <math> | + | <math>dS_{ekv}=dN\cdot S=ndVS</math> |
− | + | Теперь следует проинтегрировать по всем объёмам, чтобы найти суммарный потенциал. | |
− | + | <math>\varphi(r)=K S\int_0^R \int_0^{\pi} \int_0^{2\pi} \left(\frac{exp(-ns\rho)}{\rho}nS r'^2sin\phi + \rho S Ei(1,-nS\rho\right) )dr' d\phi dA </math> | |
+ | Заменим переменную интегрирования <math>\phi</math> на <math>\rho</math>. Определим пределы интегрирования. Очевидно, что вместо 0 и <math>\pi</math> нужно взять <math>r-r'</math> и <math>r+r'</math>, а <math>\rho d\rho=rr'sin\phi d\phi</math>. | ||
+ | Имеем: | ||
− | + | <math>\varphi(r)=\frac{2\pi K\rho S^2}{r}\int_0^R \int_{r-r'}^{r+r'}\left({exp(-ns\rho)} r' + \rho S Ei(1,-nS\rho) )dr' d\phi\right) </math> | |
− | |||
− | <math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
==Некоторые уравнения== | ==Некоторые уравнения== | ||
Строка 182: | Строка 129: | ||
= 0 | = 0 | ||
</math> | </math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− |