Редактирование: Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна"
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | + | ==Введение== | |
− | |||
− | ==Введение | ||
Рассматривается модель протопланетного облака, состоящего из пыли и газа, образовавшегося засчет испарения пылинок. Плотность вещества в протопланетном диске превышает | Рассматривается модель протопланетного облака, состоящего из пыли и газа, образовавшегося засчет испарения пылинок. Плотность вещества в протопланетном диске превышает | ||
<math>10^{-18} g/cm^3</math>, размеры частиц космической пыли составляют около 0,1 мкм . Газопылевой диск вокруг формирующейся звезды очень быстро "сплющивается" под действием сил гравитации и центробежной силы, направленных к наиболее плотной части диска в плоскости его вращения. Спустя несколько сотен тысяч лет диск имеет массу около 0,1 Масс Солнца, размеры от 0,2 до 50-70 а.е. и толщину около 0,001 диаметра. Размеры пылевых частиц увеличиваются в результате слипания до 10 мкм; их орбиты становятся почти круговыми. Акустические ударные волны, распространяющиеся в облаке при сжатии протозвездного сгустка вещества и возгорании молодой звезды, способствуют возникновению неоднородностей в диске. | <math>10^{-18} g/cm^3</math>, размеры частиц космической пыли составляют около 0,1 мкм . Газопылевой диск вокруг формирующейся звезды очень быстро "сплющивается" под действием сил гравитации и центробежной силы, направленных к наиболее плотной части диска в плоскости его вращения. Спустя несколько сотен тысяч лет диск имеет массу около 0,1 Масс Солнца, размеры от 0,2 до 50-70 а.е. и толщину около 0,001 диаметра. Размеры пылевых частиц увеличиваются в результате слипания до 10 мкм; их орбиты становятся почти круговыми. Акустические ударные волны, распространяющиеся в облаке при сжатии протозвездного сгустка вещества и возгорании молодой звезды, способствуют возникновению неоднородностей в диске. | ||
Строка 9: | Строка 7: | ||
Температура в центральной плоскости протопланетного диска Солнечной системы уменьшалась с удалением от Солнца. Особенно сильно нагревалась ближайшая к звезде "горячая" зона облака: на расстоянии в 1 а.е. температура составляла 300-400 К. | Температура в центральной плоскости протопланетного диска Солнечной системы уменьшалась с удалением от Солнца. Особенно сильно нагревалась ближайшая к звезде "горячая" зона облака: на расстоянии в 1 а.е. температура составляла 300-400 К. | ||
− | Я пренебрегаю некоторыми важными деталями для облегчения расчёта и упрощения модели. | + | Я пренебрегаю некоторыми важными деталями, для облегчения расчёта и упрощения модели. |
Далее планируется их все,по возможности, учесть. | Далее планируется их все,по возможности, учесть. | ||
В частности: | В частности: | ||
− | 1. В протооблаке присутствует газ, помимо испарившегося с пылинок. Его влияние не рассматривается, | + | 1. В протооблаке присутствует газ, помимо испарившегося с пылинок. Его влияние не рассматривается, хотя, по всей видимости, он састовляет значительную часть массы протооблака. |
− | 2. | + | 2. Протооблако на рассматриваемом периоде эволюции не может быть однородным. Однороден, в какой-то мере только протопланетный диск вокруг Солнца. |
− | + | 3. Пока не понятна степень оптической прозрачности облака, которая зависит от концентрации и сорта частиц. А именно она оказывает решающие влияние на испарение пылинок. Я считаю облако полностью прозрачным, что, естественно неправда. | |
− | + | 4. Вопросы устойчивости облака не рассматриваются. Оно мыслится, как вращающейся диск. | |
− | + | 5. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда. | |
− | |||
− | + | ==Диффузия от точечного источника== | |
+ | |||
+ | Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами сорта <<1>>, | ||
+ | Теперь, пусть один какой--нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы сорта <<2>>, пренебрежительно малых размеров. Напишем уравнение диффузии: | ||
<math> | <math> | ||
− | + | \frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n= \dot N\delta^3(r) | |
</math> | </math> | ||
− | + | , где <math>n_2(r,t) </math> -концентрация частиц второго сорта на расстоянии r от излучающей частицы в некоторый момент времени t, <math> D =\frac 13 lv=\frac{v}{3(n_{1}\sigma_{1}+n_{2}\sigma_{2})}</math> - коэффициент диффузии (<math>\sigma</math>- сечение взаимодействия пылинок) (В выражении для D можно спокойно принебречь членом, вносящим нелинейность во все последующие рассуждения-<math>n_2(r)</math>. В данной модели газ пылинок довольно разрежен, и соударения между пылинками редки, но газ молекул в свою очередь должен быть ещё более разрежен и на собственную диффузию не оказывать какого-либо заметного влияния. Поэтому <math> D =\frac 13 lv=\frac 13\cdot\frac{v}{n_{1}\sigma_{1}}</math> , <math> \dot N </math>-количество частиц, оторвавшихся с единицы поверхности пылинки за единицу времени [<math>1\backslash</math> сек]. | |
− | + | Процесс в нашем случае стационарный, поэтому первое слагаемое в левой части равно 0. Плюс ко всему, избавляемся от дельта-функции. | |
− | <math> | + | <math> |
+ | -D\frac{dn}{dr}\cdot 4\pi r^2=\dot N (1) | ||
+ | </math> | ||
− | + | Проинтегрируем по r и найдём, что в устоявшемся процессе концентрация частиц сорта <<2>> распределена по пространству таким вот образом: | |
<math> | <math> | ||
− | ( | + | n_2(r)^*=\frac{\dot N}{4\pi rD},r>0 |
</math> | </math> | ||
− | <math> | + | ==Случай дискообразного протопланетного облака== |
+ | Выделим в облаке окружность с центром в точке (0,0) некоторого радиуса <math>r</math>. Концентрация молекул газа, а следовательно и оказываемое ими давление в силу симметрии будет одинаковым. Найдём эту концентрацию: Сначала учтём вклад "внутренней" области выделенной окружности. Представим ещё одну сферу радиуса <math>a</math>, где <math>$a<r</math> и найдём влияние этой сферы на бесконечно маленький объём <math>G</math> на сфере радиуса <math>r</math>. Для этого, очевидно надо воспользоваться формулой [1], где <math>r</math> пробегает по всем расстояниям (с каждой точки поверхности сферы до G). | ||
− | <math> | + | <math>L</math>-расстояние от точки <math>G</math> до точек правой полуокружности. |
− | |||
− | </math> | ||
− | <math> | + | <math>\alpha</math>-угол между радиус-вектором <math>r</math> и радиусом <math>a</math> |
− | |||
− | </math> | ||
− | + | Смотри рисунок '''internal.''' | |
− | + | Легко сообразить для левой полуокружности: | |
− | + | <math>L_1=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha+3\frac\pi2)}=\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}</math> | |
− | + | и | |
− | <math>( | + | <math>L_2=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\frac \pi2 +\alpha) }=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha) }</math><math>Вставьте сюда формулу</math> |
− | + | для правой. | |
− | + | Интегрирование по <math>L</math> сводится к интегрированию по <math>\alpha</math> от 0 до <math>\frac \pi 2</math> для "верхнего левого" и "нижнего правого" сектора. А потом результат удваивается. | |
− | |||
− | + | <math>n_2(r)_{internal}=2\int_0^r da \left( | |
+ | \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha | ||
+ | \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+ | ||
+ | \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha | ||
+ | \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math> | ||
− | |||
− | + | Теперь можно оценить вклад внешних слоёв на наш выделенный объём G . | |
+ | Смотри рисунок '''external'''. Можно заметить, что тут всё то же самое, что и в предыдущем примере, лишь точка <math>G</math> <<переехала>> с одного конца отрезка на другой, а <math>a</math> и <math>r</math> поменялись местами. Поэтому повторяя предыдущие рассуждения, можно записать | ||
− | |||
− | = | + | <math>n_2(r)_{internal}=2\int_r^R da \left( |
+ | \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha | ||
+ | \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+ | ||
+ | \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha | ||
+ | \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math> | ||
− | |||
− | + | Тогда влияние вклад в концентрацию от испарений всего облака будет | |
− | |||
− | + | <math>n_2(r)=n_2(r)_{external}+n_2(r)_{internal}=</math> | |
− | |||
− | <math> | ||
− | |||
− | <math> | + | <math>2\int_0^R da \left( |
+ | \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha | ||
+ | \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+ | ||
+ | \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha | ||
+ | \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math> | ||
− | |||
− | + | Значение концентрации пылинок | |
− | <math> | + | <math>n_1(a)=\sqrt{1-\frac{a^2}{R^2}}</math> |
− | |||
− | + | Согласно (Gradshteyn) и т.к. для любых <math>a>0</math> и <math>r>0</math> <math>(a^2+r^2)^2>(2ra)^2</math> | |
− | |||
− | = | + | <math>\int \frac {d\alpha} {\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}= \frac{2}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}\cdot arctg \frac{(a^2+r^2-2ra)tg(\alpha/2)}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}</math> |
− | |||
− | + | и | |
− | <math>\frac{ | + | <math> \int \frac {d\alpha} {\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}= \frac{2}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}\cdot arctg \frac{(a^2+r^2+2ra)tg(\alpha/2)}{\sqrt{(a^2+r^2)^2-(2ra)^2}}</math> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | Значение интеграла [2] на пределах от 0 до <math>\frac \pi 2</math> равно | ||
− | + | <math>\cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | Значение интеграла [3] соответственно | |
− | <math>\ | + | <math>\cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}</math> |
− | |||
− | + | Перепишем для удобства [main] | |
− | |||
+ | <math> | ||
+ | n_2(r)=2\int_0^R da \cdot \frac{\dot N}{4\pi D} \cdot n_1(a) \left(\cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}+ \cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|} \right)= | ||
+ | </math> | ||
<math> | <math> | ||
− | \dot | + | =2\int_0^R da \cdot \frac{\dot N}{4\pi D} \cdot \sqrt{1-\frac{a^2}{R^2}} \left(\cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}+ \cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|} \right) |
</math> | </math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | На самом деле | |
− | <math> | + | <math>D=D(r)=\frac{v(r)}{3\cdot n_1(r)\sigma_1}</math> |
− | |||
− | <math>v</math> | + | Зависимостью <math>v</math> от <math>r</math> можно пренебречь, так как на самом деле <math>v</math> зависит <math>T(r)</math>, а перепад температуры мы считаем пока незначительным. |
− | |||
− | + | <math> | |
− | + | n_2(r)=6\int_0^R da \cdot \frac{\dot N \sigma}{4\pi v} \cdot \left(1-\frac{a^2}{R^2}\right) \left(\cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2-2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|}+ \cfrac{2 arctg\left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|a^2-r^2|}\right)}{|a^2-r^2|} \right) | |
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | От модуля мы избавляться не будем (в основном, чтоб избежать неопределённостей при <math>a=r</math>. Значение интеграла в этом случае определяется из нормировки, это константа, а нам сейчас интересен общий вид функции). Посчитаем значение интеграла с модулем. | ||
+ | т.к. | ||
+ | |||
+ | <math>\arctg\left(\cfrac{a^2+r^2-2ra}{|r^2-a^2|}\right)+ \arctg \left( \cfrac{a^2+r^2+2ra}{|r^2-a^2|}\right)=\frac{\pi}{2} | ||
+ | </math> | ||
+ | И | ||
− | |||
− | + | <math>n_2(r)=\frac32 \cdot\frac{\dot N \sigma }{v R^2}\int_0^r \frac{R^2-a^2}{|r^2-a^2|}da</math> | |
− | |||
− | |||
− | + | Посчитаем интеграл | |
− | + | <math>\int \frac{R^2-a^2}{|r^2-a^2|}da=signum(a-r)\cdot\left(-a+\frac{R^2-r^2}{2r}ln\frac{a-r}{a+r}\right)</math> | |
− | |||
− | |||
− | + | В приделах от 0 до <math>R</math> это выражение будет равно: | |
− | <math> | + | <math>\int^R_{0} \frac{R^2-a^2}{|r^2-a^2|}da=R-\frac{R^2-r^2}{2r}ln\frac{R-r}{R+r}</math> |
− | + | Таким образом: | |
− | + | <math>n_2(r)=\frac32 \cdot\frac{\dot N \sigma }{v R^2}\cdot\left(R-\frac{R^2-r^2}{2r}ln\frac{R-r}{R+r} \right)</math> | |
− | |||
+ | Далее интересно посмотреть на график полученной функции. | ||
− | + | <math>n_2(r)\sim-\frac{R^2-r^2}{2rR^2}ln\frac{r+R}{r-R}</math> | |
− | = | + | Обозначим <math>x=r/R</math>, Тогда |
− | + | <math>n_2(r)\sim-\frac{1-x^2}{x}ln\frac{1+x}{1-x}</math> | |
− | |||
− | + | То, что получилось, можно увидеть на рисунке '''Gas''' | |
− | + | Не стоит пугаться параболического вида этой функции. Интуитивно хочется видеть, что-то подобное гиперболы. Но на самом деле, если сравнить законы распределения пыли и газа, то можно увидеть некое сходство в графическом изображении функций, что косвенно доказывает верность результатов. |