Текущая версия |
Ваш текст |
Строка 1: |
Строка 1: |
− | Проект выполняет [[Мурачёв Андрей]], научный руководитель [[А.М.Кривцов]].
| + | ==Введение== |
− | | |
− | ==Введение к первой модели == | |
| Рассматривается модель протопланетного облака, состоящего из пыли и газа, образовавшегося засчет испарения пылинок. Плотность вещества в протопланетном диске превышает | | Рассматривается модель протопланетного облака, состоящего из пыли и газа, образовавшегося засчет испарения пылинок. Плотность вещества в протопланетном диске превышает |
| <math>10^{-18} g/cm^3</math>, размеры частиц космической пыли составляют около 0,1 мкм . Газопылевой диск вокруг формирующейся звезды очень быстро "сплющивается" под действием сил гравитации и центробежной силы, направленных к наиболее плотной части диска в плоскости его вращения. Спустя несколько сотен тысяч лет диск имеет массу около 0,1 Масс Солнца, размеры от 0,2 до 50-70 а.е. и толщину около 0,001 диаметра. Размеры пылевых частиц увеличиваются в результате слипания до 10 мкм; их орбиты становятся почти круговыми. Акустические ударные волны, распространяющиеся в облаке при сжатии протозвездного сгустка вещества и возгорании молодой звезды, способствуют возникновению неоднородностей в диске. | | <math>10^{-18} g/cm^3</math>, размеры частиц космической пыли составляют около 0,1 мкм . Газопылевой диск вокруг формирующейся звезды очень быстро "сплющивается" под действием сил гравитации и центробежной силы, направленных к наиболее плотной части диска в плоскости его вращения. Спустя несколько сотен тысяч лет диск имеет массу около 0,1 Масс Солнца, размеры от 0,2 до 50-70 а.е. и толщину около 0,001 диаметра. Размеры пылевых частиц увеличиваются в результате слипания до 10 мкм; их орбиты становятся почти круговыми. Акустические ударные волны, распространяющиеся в облаке при сжатии протозвездного сгустка вещества и возгорании молодой звезды, способствуют возникновению неоднородностей в диске. |
Строка 9: |
Строка 7: |
| Температура в центральной плоскости протопланетного диска Солнечной системы уменьшалась с удалением от Солнца. Особенно сильно нагревалась ближайшая к звезде "горячая" зона облака: на расстоянии в 1 а.е. температура составляла 300-400 К. | | Температура в центральной плоскости протопланетного диска Солнечной системы уменьшалась с удалением от Солнца. Особенно сильно нагревалась ближайшая к звезде "горячая" зона облака: на расстоянии в 1 а.е. температура составляла 300-400 К. |
| | | |
− | Я пренебрегаю некоторыми важными деталями для облегчения расчёта и упрощения модели. | + | Я пренебрегаю некоторыми важными деталями, для облегчения расчёта и упрощения модели. |
| Далее планируется их все,по возможности, учесть. | | Далее планируется их все,по возможности, учесть. |
| В частности: | | В частности: |
| | | |
− | 1. В протооблаке присутствует газ, помимо испарившегося с пылинок. Его влияние не рассматривается, так как считается, что он весь вытеснен солнечным излучением. | + | 1. В протооблаке присутствует газ, помимо испарившегося с пылинок. Его влияние не рассматривается, хотя, по всей видимости, он састовляет значительную часть массы протооблака. |
| | | |
− | 2. Пока непонятна степень оптической прозрачности облака, которая зависит от концентрации и сорта частиц. А именно она оказывает решающие влияние на испарение пылинок. Я считаю облако полностью прозрачным, что, естественно неправда. | + | 2. Протооблако на рассматриваемом периоде эволюции не может быть однородным. Однороден, в какой-то мере только протопланетный диск вокруг Солнца. |
| | | |
− | 4. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда.
| + | 3. Пока не понятна степень оптической прозрачности облака, которая зависит от концентрации и сорта частиц. А именно она оказывает решающие влияние на испарение пылинок. Я считаю облако полностью прозрачным Что, естественно неправда. |
| | | |
− | ==Диффузия от точечного стационарного источника==
| + | 4. Вопросы устойчивости облака не рассматриваются. Оно мыслится, как вращающейся диск. |
| | | |
− | Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией <math>w</math>,
| + | 5. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда. |
− | Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с интенсивностью <math>\dot N</math> (част/сек) , пренебрежительно малых размеров (например молекулы).
| |
| | | |
− | '''В случае отсутствия рассеяния''' уравнение для концентрации <math>n</math>
| + | ==Диффузия от точечного источника== |
| | | |
− | <math> | + | Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами сорта <<1>>, |
− | (1):\frac{\partial n}{\partial t} + (\vec\triangledown \cdot n \vec v)= \dot N\delta^3(r)
| + | Теперь, пусть один какой--нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы сорта <<2>>, пренебрежительно малых размеров. Напишем уравнение диффузии: |
− | </math>
| |
− | | |
− | Первое слагаемое в силу стационарности-ноль.
| |
− | | |
− | <math>(2):n v \cdot 4\pi r^2=\dot N</math> | |
− | | |
− | <math>(3):n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}</math>
| |
− | | |
− | ''' При наличии рассеяния:'''
| |
| | | |
| <math> | | <math> |
− | (4):\frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n = \dot N\delta^3(r)
| + | \frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n= \dot N\delta^3(r) |
| </math> | | </math> |
| | | |
− | <math>D</math>-коэффициент диффузии. | + | , где <math>n_2(r,t) </math> -концентрация частиц второго сорта на расстоянии r от излучающей частицы в некоторый момент времени t, <math> D =\frac 13 lv=\frac{v}{3(n_{1}\sigma_{1}+n_{2}\sigma_{2})}</math> - коэффициент диффузии (<math>\sigma</math>- сечение взаимодействия пылинок) (В выражении для D можно спокойно принебречь членом, вносящим нелинейность во все последующие рассуждения-<math>n_2(r)</math>. В данной модели газ пылинок довольно разрежен, и соударения между пылинками редки, но газ молекул в свою очередь должен быть ещё более разрежен и на собственную диффузию не оказывать какого-либо заметного влияния. Поэтому <math> D =\frac 13 lv=\frac 13\cdot\frac{v}{n_{1}\sigma_{1}}</math> , <math> \dot N </math>-количество частиц, оторвавшихся с единицы поверхности пылинки за единицу времени [<math>1\backslash</math> сек]. |
| | | |
− | <math>
| + | Процесс в нашем случае стационарный, поэтому первое слагаемое в левой части равно 0. Плюс ко всему, избавляемся от дельта-функции. |
− | (5):-D\frac{dn}{dr} \cdot 4 \pi r^2=\dot N
| |
− | </math>
| |
| | | |
| <math> | | <math> |
− | (6):n=\frac{\dot N}{4\pi r D}
| + | -D\frac{dn}{dr}\cdot 4\pi r^2=\dot N |
| </math> | | </math> |
| | | |
− | Коэффициент диффузии для газа состоящего из частиц одного сорта, по определению
| + | Проинтегрируем по r и найдём, что в устоявшемся процессе концентрация частиц сорта <<2>> распределена по пространству таким вот образом: |
− | | |
− | <math>(7):D=\frac{1}{3} \lambda v</math>,
| |
− | | |
− | где <math>\lambda</math>-длинна свободного пробега, а <math>v</math>- средняя скорость частиц.
| |
− | | |
− | В первом приближении можно считать
| |
− | | |
− | <math>(8):\lambda=\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2 n}</math>
| |
− | | |
− | <math>d</math>-диаметр молекулы.
| |
− | | |
− | В более строгом случае формула (7) требует введения поправочного множителя <math>\xi_D</math>, который учитывает максвелловское распределение скоростей молекул газа
| |
− | | |
− | <math>(9):D=\frac{1}{3}\xi_D \lambda v</math>,
| |
− | | |
− | где <math> \xi_D=1.5\div 2.2</math>
| |
− | | |
− | '''Литература:'''
| |
− | | |
− | Проф. Варшелович Д.А. Курс лекций "Радиоастрономия".
| |
− | | |
− | Я. Грошковский 1975г. Техника высокого вакуума - [http://snvs.ru/knigi/61-texnika-vysokogo-vakuuma-ya-groshkovskij-1975g.html]
| |
− | | |
− | ==Случай дискообразного протопланетного облака==
| |
− | | |
− | Рассмотрим дискообразное распределенние твёрдых частиц по закону <math>\rho(r)=\sqrt{1-\frac{r^2}{R^2}}</math>. Между частицами действуют силы гравитации. И такое распределение позволяет диску вращаться, как единое целое.
| |
− | | |
− | Какждая частица испаряется с интенсивностью <math>\dot N</math>. Стоит отметить, что диск находится в трёхмерном пространстве, а поэтому и испарившейся газ может покидать плоскость диска. (Действие гравитации на газ не учитывается)
| |
− | | |
− | Требуется найти концентрацию молекул газа, как функцию расстояния от центра диска, в плоскости диска.
| |
− | | |
− | Я использую уравнение для концентрации для случая отсутствия рассеяния.
| |
− |
| |
− | <math>n=\frac{\dot N}{4\pi r^2 v}</math>
| |
− | | |
− | Рассмотрим точку, находящеюся на расстоянии <math>r</math> от центра диска. Вклад в концентрацию газа в окрестности этой точки элементарного объёма <math>dxdydz</math>, расположенного на расстоянии <math>x</math> от центра диска будет равен
| |
− | | |
− | <math>n_{part}(r)=\frac{\dot N\rho(x)dV}{4\pi [x,r]^2 v}</math>,
| |
− | | |
− | где <math>[x,r]</math> расстояние между <math>r</math> и <math>x</math>, а элемент объёма <math>dV=2\pi x dx d\alpha</math>
| |
− | | |
− | Проинтегрировав по всем <math>x</math>, мы найдём концентрацию в точке <math>r</math>.
| |
− | | |
− | <math>n(r)=\dot N\int dx \frac{2\pi x \rho(x)}{4\pi [x,r]^2 v}=\dot N\int_0^\pi d\alpha\int_0^R dx\frac{ x\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}} }{v (r^2+x^2-2\cdot r\cdot x\cdot cos(\alpha))}</math>
| |
− | | |
− | В элементарных функциях интеграл не берётся.
| |
− | | |
− | Можно отметить, что при <math>r=0</math>, он вычесляется, и его значение равно бесконечности.
| |
− | | |
− | <math>\frac{\dot N \pi}{v}{\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}}-arcctgh\left(\sqrt{1-\frac{x^2}{R^2}}\right)</math>
| |
− | | |
− | ==Уравнение равновесия.==
| |
− | | |
− | Для нашего облака сила гравитационного "самопритяжения", должна быть уравновешенна некими другими силами. Очевидно это будет сила давления газа и центробежная сила вращения облака.
| |
− | | |
− | <math>{\bf F_{grav}=F_c+F_{press}}</math>
| |
− | | |
− | <math>\frac{Gm(r)}{r^2}=\frac{v^2}{r}+\frac{dP}{dr}\cdot\frac{1}{w(r)}</math>
| |
− | | |
− | Второе слагаемое правой части самое важное в данном контексте. Выражение для давления состоит из двух частей: Давление газового облака (напомню, именно оно должно давать основной вклад в массу) и давления испарений.
| |
− | Газ, в силу разреженности можно считать идеальным.
| |
− |
| |
− | Где, <math>m(r)</math>-масса протопланетного диска радиуса <math>r</math>
| |
− | | |
− | | |
− | ==Испарение пылинок в вакуум==
| |
− | Интенсивность испарения в вакууме [<math>g/cm^2\cdot sek</math>] определяется формулой [http://kmapp.narod.ru/st004.htm Ленгмюра].
| |
− | | |
− | <math>
| |
− | \nu=11,69 p^* \sqrt{\frac{\mu}{T}}
| |
− | </math> , где
| |
− | | |
− | <math>p^*</math>-давление насыщенного пара данного вещества, Па.
| |
− | | |
− | <math>\mu</math>-молекулярная масса вещества
| |
− | | |
− | <math>T</math>-Температура облака, K.
| |
− | | |
− | Эта формула выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной.
| |
− | | |
− | см также [http://www.emalko.ru/opredelenie-skorosti-ispareniya-i-otnositel-noj-letuchesti/]
| |
− | | |
| | | |
| <math> | | <math> |
− | \dot m =4\pi r^2 \nu => \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=4\nu\pi r^3 => \dot r = \frac{\nu}{\rho}
| + | n_2(r)^*=\frac{\dot N}{4\pi rD},r>0 |
| </math> | | </math> |
− |
| |
− | Отсюда "время жизни"
| |
− | <math>t_l=\frac{r \rho}{\nu}</math>,
| |
− | для льдинок диаметром 10 мкм эта величина ровна <math> 4.4 \cdot 10^{-5}</math> сек.
| |
− |
| |
− | Можно сделать отсюда нижнюю оценку для диаметра частиц. На самом деле "время жизни" пылинки <math>t_l</math> должно быть больше [http://www.femto.com.ua/articles/part_1/1107.html времени свободного пробега] <math>\tau</math> этой пылинки. Это очень грубо, но для первых оценок вполне достаточно.
| |
− |
| |
− | <math>\tau=\frac{\sqrt{2}}{8\pi} \frac{1}{ w \cdot d^2v}</math> ,
| |
− |
| |
− | где
| |
− |
| |
− | <math>v</math>- средняя скорость пылинок,
| |
− |
| |
− | <math>d</math> -диаметр пылинок.
| |
− |
| |
− | Сравнивая эту формулу с
| |
− | выражением для "времени жизни" пылинки находим
| |
− |
| |
− | <math>d^3> \frac{\sqrt{2}}{4\pi} \frac{\nu}{\rho n_1 v}</math>
| |
− |
| |
− | [http://www.fptl.ru/spravo4nik/davlenie-vodyanogo-para.html Давление насыщенного пара воды] при <math>30^o C</math> равно
| |
− | 4.2455 кПа.
| |
− |
| |
− | [http://ru.wikipedia.org/wiki/Лёд Плотность льда] равна 0,917 г/см³
| |
− |
| |
− | [http://ru.wikipedia.org/wiki/Молекулярная_масса Молекулярная масса воды] равна 18 а. е. м.
| |
− |
| |
− | Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок.
| |
− |
| |
− | ==Сублимация льда с комет==
| |
− | [http://www.ipa.nw.ru/PAGE/DEPFUND/LSBSS/AKO/ch51.html]
| |
− |
| |
− | "Наиболее широко используемой в течение последних 20 лет является модель, которую предложили Марсден и др. (Marsden et al., 1973), исходя из представлений Уиппла о вращающемся кометном ядре (Whipple, 1950a).Основой этой модели действия негравитационных сил является эмпирически установленная А.Дельземмом (Delsemme, 1971) и З.Секаниной (Marsden et al., 1973) формула для скорости сублимации вещества c поверхности кометы в зависимости от гелиоцентрического расстояния
| |
− |
| |
− | <math>Z=Z_0 g(r)</math>
| |
− |
| |
− | <math>g(r)=\alpha\left( \frac{r}{r_0}\right)^{-m} \left[ 1+\left(\frac{r}{r_0}\right)^{n} \right]^{-k} </math>
| |
− |
| |
− | где <math>Z_0</math> - количество испаряющихся в 1 секунду молекул с 1 кв. см поверхности на гелиоцентрическом расстоянии в 1.0 а.е.
| |
− |
| |
− | А.Дельземм (Delsemme, 1972) получил, что для водяного снега при значении альбедо ядра в видимом и инфракрасном участках спектра, равном 0.1, количество испаряющихся молекул <math>Z = 3\times 10^{17}</math> <math>\frac{mol}{sek \cdot sm^2}</math>, а для остальных постоянных им найдены следующие значения: <math>r_0 = 2.808</math> a.e.,<math>m = 2.15, n = 5.093, k = 4.6142, \alpha = 0.111262.</math> "
| |
− |
| |
− |
| |
− | Значение <math>Z = 3\times 10^{17}</math> <math>\frac{mol}{sek^1 sm^2}</math>, можно принять за исходное в данной модели.
| |
− |
| |
− | == См. также ==
| |
− |
| |
− | * [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 2| Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 2]]
| |
− | * [[Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна" часть 3|Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна". Часть 3]]
| |
− |
| |
− | [[Category: Проект "Земля - Луна"]]
| |
− | [[Category: Студенческие проекты]]
| |