Редактирование: Устойчивость протопланетного облака системы "Земля - Луна"
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 19: | Строка 19: | ||
4. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда. | 4. Соударения между пылинками можно рассматривать, как абсолютно упругие. Хотя это тоже неправда. | ||
− | ==Диффузия от точечного | + | ==Диффузия от точечного источника== |
Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией <math>w</math>, | Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией <math>w</math>, | ||
− | Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с | + | Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с концентрацией <math>n</math>, пренебрежительно малых размеров. Напишем уравнение диффузии: |
− | |||
− | |||
<math> | <math> | ||
− | + | \frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n= \dot N\delta^3(r) | |
</math> | </math> | ||
− | + | ==Итоги== | |
+ | |||
+ | Рассмотрим облако состоящие из небольших шариков, находящихся во взвешенном состоянии. Обозначим их частицами с концентрацией <math>w</math>, | ||
+ | Теперь, пусть один какой-нибудь шарик начнёт испарятся-излучать равномерно частицы с концентрацией <math>n</math>, пренебрежительно малых размеров. Напишем уравнение диффузии: | ||
− | <math> | + | <math> |
+ | \frac{\partial n}{\partial t} - D\triangle n= \dot N\delta^3(r) | ||
+ | </math> | ||
− | <math>(3) | + | , где <math>n(r,t)</math> -концентрация частиц второго сорта на расстоянии <math>r</math> от излучающей частицы в некоторый момент времени <math>t</math>, <math> D =\frac 13 lv=\frac{v}{3(n\sigma_{n}+w\sigma_{w})}</math> - коэффициент диффузии (<math>\sigma</math>- сечение взаимодействия пылинок) (В выражении для <math>D</math> можно спокойно пренебречь членом, вносящим нелинейность во все последующие рассуждения-<math>n\sigma_{n}</math>. В данной модели газ пылинок довольно разрежен, и соударения между пылинками редки, но газ молекул в свою очередь должен быть ещё более разрежен и на собственную диффузию не оказывать какого-либо заметного влияния. Поэтому <math> D =\frac 13 lv=\frac 13\cdot\frac{v}{w\sigma_{w}}</math> , <math> \dot N </math>-количество частиц, оторвавшихся с единицы поверхности пылинки за единицу времени [<math>1\backslash</math> сек]. |
− | + | Процесс в нашем случае стационарный, поэтому первое слагаемое в левой части равно 0. Плюс ко всему, избавляемся от дельта-функции. | |
<math> | <math> | ||
− | + | -D\frac{dn}{dr}\cdot 4\pi r^2=\dot N | |
</math> | </math> | ||
− | <math> | + | Проинтегрируем по <math>r</math> и найдём, что в устоявшемся процессе концентрация частиц сорта <math>n</math> распределена по пространству таким вот образом: |
<math> | <math> | ||
− | ( | + | n(r)=\frac{\dot N}{4\pi rD},r>0....................[1] |
</math> | </math> | ||
− | <math> | + | ==Случай дискообразного протопланетного облака== |
− | ( | + | Выделим в облаке окружность с центром в точке (0,0) некоторого радиуса <math>r</math>. Концентрация молекул газа, а следовательно и оказываемое ими давление в силу симметрии будет одинаковым. Найдём эту концентрацию: Сначала учтём вклад "внутренней" области выделенной окружности. Представим ещё одну сферу радиуса <math>a</math>, где <math>a<r</math> и найдём влияние этой сферы на бесконечно маленький объём <math>G</math> на сфере радиуса <math>r</math>. Для этого, очевидно надо воспользоваться формулой [1], где <math>r</math> пробегает по всем расстояниям (с каждой точки поверхности сферы до G). |
− | </math> | + | |
+ | <math>L</math>-расстояние от точки <math>G</math> до точек правой полуокружности. | ||
+ | |||
+ | <math>\alpha</math>-угол между радиус-вектором <math>r</math> и радиусом <math>a</math> | ||
+ | |||
+ | Смотри рисунок '''internal.''' | ||
+ | [[Файл: internal.jpg|thumb|right|540px|internal]] | ||
− | + | Легко сообразить для левой полуокружности: | |
− | <math>( | + | <math>L_1=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha+3\frac\pi2)}=\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}</math> |
− | + | и | |
− | + | <math>L_2=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\frac \pi2 +\alpha) }=\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos (\alpha) }</math><math>Вставьте сюда формулу</math> | |
− | + | для правой. | |
− | <math> | + | Интегрирование по <math>L</math> сводится к интегрированию по <math>\alpha</math> от 0 до <math>\frac \pi 2</math> для "верхнего левого" и "нижнего правого" сектора. А потом результат удваивается. |
− | |||
− | <math>( | + | <math>n(r)_{internal}=2\int_0^r da \left( |
+ | \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha | ||
+ | \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+ | ||
+ | \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha | ||
+ | \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math> | ||
− | |||
− | ''' | + | Теперь можно оценить вклад внешних слоёв на наш выделенный объём G . |
+ | Смотри рисунок '''external'''. Можно заметить, что тут всё то же самое, что и в предыдущем примере, лишь точка <math>G</math> <<переехала>> с одного конца отрезка на другой, а <math>a</math> и <math>r</math> поменялись местами. Поэтому повторяя предыдущие рассуждения, можно записать | ||
+ | [[Файл: external.jpg|thumb|right|540px|external]] | ||
− | + | <math>n(r)_{internal}=2\int_r^R da \left( | |
+ | \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha | ||
+ | \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+ | ||
+ | \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha | ||
+ | \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math> | ||
− | |||
− | + | Тогда влияние вклад в концентрацию от испарений всего облака будет | |
− | |||
− | |||
− | + | <math>n(r)=n(r)_{external}+n(r)_{internal}=</math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | <math>2\int_0^R da \left( | |
+ | \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha | ||
+ | \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos \alpha}}+ | ||
+ | \int_0^{\frac \pi 2 } d\alpha | ||
+ | \frac{\dot N\cdot n(a)^*}{4\pi D\sqrt{r^2+a^2+2ra\cos \alpha}}\right)</math> | ||
− | + | [[Файл:Points.png|600px|thumb|right|concentration]] | |
− | + | Значение концентрации пылинок | |
− | + | <math>w(a)=\sqrt{1-\frac{a^2}{R^2}}</math> | |
− | + | Задача свелась к вычислению данных интегралов. | |
− | |||
− | |||
− | <math> | + | Но этот интеграл не берётся в элементарных функциях. Поэтому он был вычислен численно. На рисунке concentration, изображен результат численного интегрирования. Здесь <math>R=1</math>, и константа перед интегралом тоже взята за 1 (Точный вид этой константы зависит от константы диффузии <math>D</math>). |
+ | Что удивительно, при <math>r=R</math>, значение интеграла не равно нулю. Это можно объяснить тем, что у реального протопланетного диска нет чёткой границы. | ||
==Уравнение равновесия.== | ==Уравнение равновесия.== | ||
Строка 119: | Строка 133: | ||
==Испарение пылинок в вакуум== | ==Испарение пылинок в вакуум== | ||
− | Интенсивность испарения | + | Интенсивность испарения [<math>g/cm^2\cdot sek</math>] определяется формулой Ленгмюра. |
<math> | <math> | ||
Строка 132: | Строка 146: | ||
Эта формула выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной. | Эта формула выведена для абсолютного вакуума, поэтому реальная скорость испарения в космическом пространстве будет меньше расчётной. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
<math> | <math> | ||
− | \dot m =4\pi r^ | + | \dot m =4\pi r^3 \nu => \left(\frac{4}{3}\pi r^3 \rho \right)'=4\nu\pi r^3 => \dot r = \frac{\nu}{\rho} |
</math> | </math> | ||
Строка 168: | Строка 179: | ||
Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок. | Теперь остался главный вопрос о концентрации и скорости пылинок. | ||
− | == | + | ==Вторая модель== |
− | + | (Черновые тезисы) | |
+ | |||
+ | |||
+ | * Вопрос на который должна дать данная часть работы, можно сформулировать так: "Как изменится концентрация испарившихся молекул после прохождения через испаряющейся участок пылевого облака" | ||
+ | |||
+ | * Работа состояла из двух частей: Компьютерного 2D моделирования эксперимента и поиска аналитического решения. | ||
+ | |||
+ | * Эксперимент и аналитика дали хорошее совпадение результатов. Рисунки представлены ниже. | ||
+ | |||
+ | [[Файл: Nonrad.png|thumb|left|490px|рис. 1. Прохождение "лучей" через неиспаряющееся облако.]] | ||
+ | |||
+ | [[Файл: Radiation.png|thumb|right|490px|рис. 2. Прохождение "лучей" в испаряющемся облаке.]] | ||
+ | |||
+ | [[Файл: Summ.png|thumb|left|490px|рис. 3. Сумма двух вкладов.]] | ||
+ | |||
+ | [[Файл: lengh.png|thumb|right|490px|рис. 4. Эта зависимость от расстояния при заданной концентрации.]] | ||
+ | |||
+ | == Об аналитическом решении== | ||
+ | |||
+ | Чтобы найти закон распространения радиационного излучения в облаке, воспользуемся простой моделью. Некоторый объём пространства | ||
+ | представим в виде цилиндра с основанием <math>H</math> и длиной <math>L</math>. В этом цилиндре находятся частицы-сферы радиуса r. | ||
+ | |||
+ | Пусть, перпендикулярно основанию в цилиндр, по прямым траекториям входят N лучей радиационного излучения. Рассматривается случай, когда нет никаких отражений, т.е. луч упавший на сферу, ей тотчас поглощается. | ||
+ | |||
+ | Наша задача ответить на вопрос: сколько в среднем лучей достигнет противоположной стенки цилиндра? | ||
+ | |||
+ | Эта задача равносильна следующей: На некоторой поверхности <math>H</math> нанесена в случайном месте точка. На поверхность набрасываются случайным образом <math>N</math> окружностей площадью <math>S</math> <math>(S=\pi r^2)</math>. Какова вероятность того, что точка останется непокрытой? Будем решать её. | ||
+ | |||
+ | Ответ легко получить из закона распределения Пуассона. | ||
+ | |||
+ | Для начала-формальное определение: | ||
+ | |||
+ | Пусть производится <math>n</math> независимых испытаний. Если число испытаний <math>N</math> достаточно велико, а вероятность появления события <math>А</math> в каждом испытании мало (<math>p\in(0,1)</math>), то вероятность появления события <math>А</math> <math>k</math> раз находится следующим образом. Сделаем важное допущение – произведение <math>np</math> сохраняет постоянное значение: <math>np=\lambda</math> Практически это допущение означает, что среднее число появления события в различных сериях испытаний (при разном <math>N</math>) остается неизменным. | ||
+ | |||
+ | <math>P_n(k)=\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Очевидно, что вероятность того, что точка покроется одной окружностью есть отношение площадей окружности и поверхности:<math>p=\frac{S}{H}</math>. Тогда для <math>N</math> окружностей эта вероятность: <math>\lambda=\frac{n\cdot S}{H}</math> | ||
+ | |||
+ | Вероятность, что точка будет покрыта ровна <math>к</math> окружностями из <math>n</math> даёт формула Пуассона. | ||
+ | |||
+ | Нас интересует случай, когда <math>k=0</math>. Случай когда точка не покрылась ни одной окружностью, т.е. случай, когда луч прошёл через цилиндр со сферами ни встретив ни одну на своём пути. | ||
+ | |||
+ | Подставляя <math>k=0</math>, в формулу Пуассона, находим <math>P_n(0)=e^{-\lambda}</math>. Тогда из <math>N</math> лучей в среднем пройдёт | ||
+ | |||
+ | <math>N_{ex}=N\cdot e^{-\lambda}=N\cdot e^{-\frac{n\cdot S}{H}}</math> .......................................(1) | ||
+ | |||
+ | лучей. | ||
+ | |||
+ | Зависимость числа пройдённых лучей от концентрации в некотором объёме проиллюстрирована на рис. 1. | ||
+ | |||
+ | Теперь рассмотрим другую ситуацию. | ||
+ | |||
+ | Тот же объём и те же шарики. Но теперь радиационное излучение не падает на стенки цилиндра, а каждый шарик излучает в произвольном направлении луч. Спрашивается, сколько лучей пройдёт через основание цилиндра? | ||
+ | |||
+ | Сперва откажемся от требования произвольности направления излучения. Пусть луч выходит из центра шарика в направлении основания <math>H</math>. Тогда для луча с шарика, находящегося на расстоянии <math>x</math> от поверхности <math>H</math>, вероятность прохожднения через оставшейся объём одного луча есть | ||
+ | |||
+ | <math>N_j^{*}=e^{-\frac{n\cdot S\cdot x}{H\cdot L}}</math>.................................................................(2) | ||
+ | |||
+ | где <math>L</math> это длинна цилиндра. Соответственно, если излучается <math>I</math> лучей, то последнее выражение надо умножить на <math>I</math>. | ||
+ | |||
+ | Чтобы найти количество лучей вышедших из бесконечно тонкого объёма, параллельного <math>H</math>, и находящегося на расстоянии <math>x</math>, очевидно необходимо (2) умножить на <math>N/L</math>. | ||
+ | |||
+ | Для всех шариков в цилиндре: | ||
+ | |||
+ | <math>N_j=\frac{N\cdot I}{L}\int_{0}^{L} e^{-\frac{n\cdot S\cdot x}{H\cdot L}} dx =\frac{N\cdot I\cdot H}{n\cdot S}(1-e^{-\frac{n\cdot S}{H}} ) </math>.................................................(3) | ||
+ | |||
+ | Для того, чтобы учесть случайность направления луча, следует выражение (3) умножить на вероятность того, что луч попадёт в угловой сегмент с основанием <math>H</math> и вершиной в центре частички. | ||
+ | |||
+ | Иллюстрацию этого закона можно видеть на рис. 3. | ||
+ | |||
+ | К сожалению, это выражение столь сложно, что интеграл "руками" не берётся. Поэтому проводилось только численное интегрирование. | ||
+ | |||
+ | <math>N_j=\int_0^l I\cdot n\cdot \left(2\cdot arctg(\frac{H}{x})\cdot H- x\cdot ln(1+\frac{H^2}{x^2})\right)\cdot exp(-n \cdot S \cdot x)</math>......................................................(4) | ||
+ | |||
+ | , где <math>n</math>-концентрация пылинок | ||
+ | |||
+ | <math>I</math>- интенсивность испарения. | ||
+ | |||
+ | == Оценки для устойчивости== | ||
+ | |||
+ | Две частицы в протопланетном облаке взаимодействуют по средством гравитации и радиационного излучения, вызванного испарением частицы. | ||
+ | |||
+ | Сила гравитационного притяжения: | ||
+ | |||
+ | <math>F_g=G\frac{m^2}{r^2}=\frac{16 \pi^2 G\rho_p^2 r_p^6}{9 r^2}</math>.......................................(5) | ||
+ | |||
+ | Сила радиационного отталкивания в пустом пространстве есть | ||
+ | |||
+ | <math>F_v=\frac{N m_0 v r_p^2}{4 r^2} </math> | ||
+ | |||
+ | При выводе этой формулы, столкновения между молекулами не учитывалось. | ||
+ | |||
+ | Если ввести | ||
+ | |||
+ | <math>Nm_0=4\pi r_p^2 \nu</math>- количество массы испаряющееся с пылинки за единицу времени (величина независящая от размеров частицы), то предыдущая формула перепишется, как | ||
+ | |||
+ | <math>F_v=\frac{\pi \nu v r_p^4 }{4 r^2} </math>..................................................................(6) | ||
+ | |||
+ | <math>k=\frac{f_v}{f_g}= \frac {9\nu v}{16\pi G r_p^2 \rho^2} </math> | ||
+ | |||
+ | При <math>k=1</math>, силы газодинамического отталкивания, полностью уравновешивают силу гравитационного притяжения (рис.5). | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Для пространства заполненного другими частицами, создающими экранирующий эффект | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>F_v=\frac{\pi \nu v r_p^4 exp(-n \cdot \pi r_p^2 \cdot r)}{r^2}</math>..................................................................(7) | ||
+ | |||
+ | ,Где <math>n</math>-концентрация пылинок в рассматриваемом объёме. | ||
+ | |||
+ | При равенстве этих сил облако будет находиться в равновесии. | ||
+ | |||
+ | Между тем, понятно, что при любой, отличной от нуля концентрации и при любом, отличном от нуля размере пылинок будет присутствовать эффект экранирования. Взаимодействие далёких частиц будут всё более отходить от закона обратных квадратов. | ||
+ | |||
+ | Будем считать, что облако может находиться в равновесии, если отношение сил радиационного отталкивания и гравитационного притяжения меньше одного процента. | ||
+ | |||
+ | <math>k=\frac{F_v}{F_g}\le 0.99\%</math> ....................................................(8) | ||
+ | |||
+ | <math>k=\frac{F_v}{F_g}=\frac{9\pi\nu v \cdot exp(-n \cdot \pi r_p^2 \cdot r)}{16 \pi^2 G r_p^2\rho^2 }</math> | ||
+ | |||
+ | Среднею скорость примем равной среднему значению модуля скорости идеального газа: | ||
+ | |||
+ | <math>v=\sqrt{\frac{8RT}{\pi}}</math> | ||
+ | |||
+ | Радиус облака равен среднему расстоянию между Землёй и Луной ( <math>L=3,84\cdot 10^{10}</math> см ). | ||
+ | |||
+ | Пусть на расстоянии <math>2L</math> выполняется условие (8). | ||
+ | |||
+ | Если принять <math><math>k=\frac{F_v}{F_g}=\frac{9\pi\nu v }{16 \pi^2 G r_p^2\rho^2 } =1 </math>, то значит | ||
+ | </math>, то <math> exp(-n \cdot \pi r_p^2 \cdot 2L)=0.99</math> | ||
+ | |||
+ | Следовательно: | ||
+ | |||
+ | <math> n \cdot \pi r_p^2 \cdot 2L=-ln(0.99)=0.01 => n \cdot \pi r_p^2=2.6*10^{-13} </math> | ||
+ | |||
+ | Тогда построим зависимость концентрации от площади, при условии сохранения постоянным их произведения. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | [[Файл:res1.png|800px|thumb|left|рис.5]] | ||
+ | |||
+ | Радиус порядка <math>10^(-6)</math> см, всего в 100 раз больше характерных размеров молекул водяного пара. | ||
+ | |||
+ | На рис. 6 приведена зависимость времени жизни частицы от радиуса. Интенсивность испарения расчитыалась из предпосылки исходного равновесия облака. | ||
+ | |||
+ | [[Файл:Time.png|800px|thumb|left|рис.6]] | ||
+ | |||
+ | На рис. 7 Масса протопланетного облака от размеров частиц. То что она растёт линейно, не удивительно. Ибо масса частиц хоть и увеличивается как куб радиуса, зато их концентрация падает, как квадрат их радиуса. | ||
+ | |||
+ | Значение Итоговой Массы в <math>10^{14}/math> много меньше массы Земли (<math>10^{24}</math>) | ||
+ | |||
+ | С другой стороны понятно, что требовать, чтобы каждая частица взаимодействовала с каждой, глупо, так как на больших расстояниях случайные флуктуации космологических факторов (давление света, плотность газа, случайные грав. сгустки.) будут оказывать на частицы большее воздействие. | ||
+ | Поэтому необходимо ввести радиус обрезания грав. сил. | ||
− | + | Чтоб решить эту проблему пойдём от обратного. Предположим помимо устойчивости облака то, что его масса порядка 1/10 массы системы Земля-Луна <math>6.05*10^{27}</math> грамм, то есть <math>6*10^{26}{</math> грамм. | |
− | + | Отсюда, произведение концентрации на массу частицы есть отношение Массы облака к его объёму. | |
− | <math> | + | <math>n\cdot m=M/V=\frac{6\cdot 10^{26}}{4/3 \pi R^3}</math> |
− | + | Подстановка значений даёт: | |
− | + | <math>n*m=2.5\cdot 10^{-6} \frac{g}{sm^3}</math>. | |
+ | ==Ссылки по теме== | ||
− | |||
− | + | * [http://www.spacetelescope.org/news/heic0917/ Снимки зарождающихся планетных систем в туманности Ориона, полученные космическим телескопом Хаббл] | |
+ | * [[А. Мурачев]]. '''Некоторые замечания по модели образования системы Земля-Луна в результате ротационного коллапса газопылевого облака (черновые наброски)'''. Скачать презентацию, pptx: [http://195.209.230.53:8088/Presentations/Student_seminar/2011_10_21_Murachev.pptx 2741 kb] | ||
− | |||
− | |||
[[Category: Проект "Земля - Луна"]] | [[Category: Проект "Земля - Луна"]] | ||
[[Category: Студенческие проекты]] | [[Category: Студенческие проекты]] |