Текущая версия |
Ваш текст |
Строка 1: |
Строка 1: |
| == Введение == | | == Введение == |
− |
| |
− | Процесс разрушения представляет собой сложный многоступенчатый временной
| |
− | процесс, начинающийся задолго до появления видимых трещин и заканчивающийся
| |
− | прорастанием трещины и разделением тела на части.
| |
− |
| |
− | Закономерности процесса разрушения изучаются на различных масштабных уровнях
| |
− | с помощью тончайших физических экспериментов. На каждом масштабном уровне (от
| |
− | атомно-молекулярного до макроразмеров порядка километров) предлагаются
| |
− | определённые физические модели процесса разрушения, учитывающие параметры
| |
− | структуры и условия перехода разрушения с одного масштабного уровня на другой.
| |
− |
| |
− | Согласно энергетической модели разрушения, практически использованной
| |
− | Гриффитсом А.А. в 1920 г., условием развития трещины является подвод энергии к
| |
− | её вершине. При разрушении находящегося под напряжением элементарного кубика
| |
− | с ребром длиною R освобождается энергия его упругого деформирования
| |
− |
| |
− | <math>
| |
− | U_u = \int_0^{\triangle R}{F_u dx} = ERxdx = ER \frac{\triangle R^2}{2}= \frac{\sigma^2 R^3}{2E},
| |
− | </math>
| |
− | где
| |
− | <math>
| |
− | F_u=\sigma R^2 = \frac{Ex R^2}{R} = ERx </math> - сила упругого деформирования кубика,
| |
− | Е - модуль упругости материала, <math> \triangle R = \frac{\sigma R}{E} </math> - абсолютное удлинение одной из сторон кубика при его одноосном растяжении.
| |
− | Приращение длины разрыва (трещины) на величину dR приведёт к высвобождению
| |
− | дополнительного количества энергии упругого деформирования, равного σ <sup>2</sup> R <sup>2</sup> dR / 2E.
| |
− | С другой стороны, образование разрыва приводит к увеличению площади поверхности
| |
− | и поверхностной энергии тела на величину γ R dR
| |
− | (γ - удельная работа разрушения на единицу площади новой поверхности). Рассмотрев
| |
− | условия энергетического баланса и приравняв оба этих значения, получим формулу
| |
− | Гриффитса для разрушающих напряжений тела с трещиной и критического размера
| |
− | R<sub>кр</sub> трещины, после достижения которого начинается самопроизвольный её рост в
| |
− | поле создаваемых ею перенапряжений
| |
− |
| |
− | <p> σ ~ √ 2 γ E / R </p>
| |
− | <p> R<sub>кр</sub> ~ 2 γ E / σ <sup>2</sup> </p>
| |
− |
| |
− | Несколько иная (силовая) модель разрушения была предложена Ирвином, в
| |
− | которой критерием роста трещины был принят момент достижения критического
| |
− | значения коэффициентом интенсивности напряжений К, являющимся функцией только
| |
− | характера внешнего нагружения, геометрии тела и размеров трещины. Согласно
| |
− | предложению Ирвина, трещина не развивается, когда значения К не превышают
| |
− | некоторой критической. Интенсивность напряжений - это некоторая фиктивная
| |
− | величина, связанная с главными напряжениями и используемая для оценки сложного
| |
− | напряжённого состояния.
| |
− |
| |
− | ==Деформация упругого полупространства под действие поверхностных сил ==
| |
− | [[Файл: R1.PNG|340px|thumb|right|Рисунок 1 а) На поверхности упругого полупространства приложены силы б) Сила, действующая на поверхности системы]]
| |
− | Рассмотрим упругую среду (см. рис. 1).
| |
− |
| |
− | Сдвиги, вызванные силой:
| |
− |
| |
− | <math>
| |
− | U_x=\frac{1+\nu}{2\pi E}\left(\frac{xz}{r^3}-\frac{(1-2\nu)x}{r(r+z)}\right)F_z,
| |
− | </math>
| |
− | <math>
| |
− | U_y=\frac{1+\nu}{2\pi E}\left(\frac{yz}{r^3}-\frac{(1-2\nu)y}{r(r+z)}\right)F_z,
| |
− | </math>
| |
− | <math>
| |
− | U_z=\frac{1+\nu}{2\pi E}\left(\frac{2(1-\nu)}{r}+\frac{z^2}{r^3}\right)F_z,
| |
− | </math>
| |
− | где
| |
− | <math>
| |
− | r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
| |
− | </math>.
| |
− |
| |
− | Смещение свободной поверхности z=0
| |
− |
| |
− | <math>
| |
− | U_x=-\frac{(1+\nu)(1-2\nu)}{2\pi E}\frac{x}{r^2}F_z
| |
− | </math>,
| |
− | <math>
| |
− | U_y=-\frac{(1+\nu)(1-2\nu)}{2\pi E}\frac{y}{r^2}F_z
| |
− | </math>,
| |
− | <math>
| |
− | U_z=\frac{(1-\nu^2)}{\pi E}\frac{1}{r}F_z
| |
− | </math>,
| |
− |
| |
− | где
| |
− | <math>
| |
− | r=\sqrt{x^2+y^2}
| |
− | </math>.
| |
− |
| |
− | в случае непрерывного распределения P (х,у) нормального давления, смещение поверхности
| |
− |
| |
− | <math>
| |
− | U_z=\frac{1}{\pi E^*}\iint p(x',y')\frac{dx'dy'}{r}
| |
− | </math>
| |
− | <math>
| |
− | r=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | где
| |
− | <math>
| |
− | E^*=\frac{E}{1-\nu^2}
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | Предположим, что в круговой области радиуса, распределение давления
| |
− | <math>
| |
− | p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^n
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | Распределение давления Герца (n=1/2)
| |
− | <math>
| |
− | p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{1/2}
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | приводит к вертикальному перемещению
| |
− | <math>
| |
− | U_z=\frac{\pi p_0}{4E^*a}(2a^2-r^2)
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | Полная сила
| |
− | <math>
| |
− | F=\int_0^a{p(r)2 \pi rdr} = \frac {2}{3}p_0 \pi a^2
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | ==Контакт Герца==
| |
− | [[Файл: R2.PNG|340px|thumb|right|Рисунок 2 Жесткий шар в контакте с упругим полупространством]]
| |
− | На рисунке 2 схематически показан контакт между жесткой сферой и упругим полупространством. Смещение точек поверхности и площадь контакта между первоначально плоской поверхностью и жесткой сферой радиусом R равна
| |
− |
| |
− | <math>
| |
− | U_z=d-\frac{r^2}{2R}
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | Уравнение вертикальных перемещений, является квадратичным распределением вертикальных смещений по распределению давления в форме.
| |
− |
| |
− | Подберем параметры <math>a</math> и <math>p_0</math>, так что распределение давления точного перемещения, вызванные:
| |
− |
| |
− | <math>
| |
− | \frac{1}{E^*} \frac{\pi p_0}{4a} (2a^2-r^2)=d-\frac{r^2}{2R}
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | <math>a</math> и <math>d</math> должны отвечать следующим требованиям
| |
− |
| |
− | <math>
| |
− | a=\frac{\pi p_0 R}{2E^*}, d=\frac{\pi a p_0}{2E^*}
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | контакт с радиусом
| |
− |
| |
− | <math>
| |
− | a^2=Rd
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | максимальное давление
| |
− | <math>
| |
− | p_0=\frac{2}{\pi}E^*\left(\frac{d}{R}\right)^{1/2}
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | получаем Нормальная сила
| |
− |
| |
− | <math>
| |
− | F=\frac{4}{3} E^* R^{1/2} d^{3/2}
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | ==Контакт между двух упругих тел с изогнутыми поверхностями==
| |
− | [[Файл: R3.PNG|340px|thumb|right|Рисунок 3. Контакт между двумя телами с изогнутыми поверхностями]]
| |
− | Оба тела упруги, поэтому воспользуемся следующим выражением <math>E^*</math>
| |
− |
| |
− | <math>
| |
− | \frac{1}{E*}=\frac{1- \nu_1^2}{E_1}+\frac{1- \nu_2^2}{E_2}
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | <math>E_1</math> и <math>E_2</math> - модуль упругости, <math>\nu_1</math> и <math>\nu_2</math> - коэффициент Пуассона
| |
− |
| |
− | Если у двух сфер с радиусами <math>R_1</math> и <math>R_2</math> в контакте (рисунок 3), то уравнения (см. выше) по-прежнему в соответствии с радиусом R
| |
− |
| |
− | <math>
| |
− | \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− |
| |
− | Нормальная сила:
| |
− |
| |
− | :<math> F_n = \frac{4}{3} \times E^* \times \sqrt{R^*} \times \delta_n^{\frac{3}{2}} </math>
| |
− |
| |
− | :<math> \frac{1}{E^*} = \frac{(1-\nu_i^2)}{E_i} + \frac{(1-\nu_j^2)}{E_j} </math>
| |
− |
| |
− | :<math> \frac{1}{R^*} = \frac{1}{R_i} + \frac{1}{R_j} </math>
| |
− |
| |
− | :<math> F_n(\delta_n) = \frac{2}{3} \times \frac{E}{(1-\nu^2)} \times \sqrt{\frac{R}{2}} \times \delta_n^{\frac{3}{2}} </math>
| |
− |
| |
− | Сила адгезии:
| |
− |
| |
− | :<math> F_c = k \times A </math>
| |
− |
| |
− | :<math> A = \pi \times h^2 </math>
| |
− |
| |
− | A - площадь круга
| |
− |
| |
− | :<math> h = \sqrt{R^2 - (R-\frac{\delta_n}{2})^2} </math>
| |
− |
| |
− | h - 1/2 хорды
| |
− |
| |
− | :<math> F_c(\delta_n) = k \times \pi \times (R^2 - (R - \frac{\delta_n}{2})^2) </math>
| |
− |
| |
− |
| |
− | :<math> F = F_n(\delta_n) + F_c(\delta_n) </math>
| |
− |
| |
− |
| |
− | :<math> F = \delta_n (k \pi (R - \frac{\delta_n}{4}) + \frac{E \sqrt{2 R \delta_n}}{3 (1 - \nu^2)}) </math>
| |
− |
| |
− | [[История_Разрушений|История разрушений]]
| |
| | | |
| == Постановка задачи == | | == Постановка задачи == |
Строка 211: |
Строка 8: |
| | | |
| == Ссылки == | | == Ссылки == |
− | [http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/tehnologiya_i_promyshlennost/RAZRUSHENIYA_MEHANIZMI.html Механизмы разрушения]
| |
− |
| |
− | [http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/tehnologiya_i_promyshlennost/METALLOV_ISPITANIYA.html Испытания металлов]
| |
− |
| |
− | [http://en.wikipedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula Тех]
| |
− |
| |
− | == См. также ==
| |
− |
| |
− | * [[Устинова Алеся]]
| |