Редактирование: Устинова Алеся: Определение временных характеристик разрушения

== Введение ==

Процесс разрушения представляет собой сложный многоступенчатый временной
процесс, начинающийся задолго до появления видимых трещин и заканчивающийся
прорастанием трещины и разделением тела на части.

Закономерности процесса разрушения изучаются на различных масштабных уровнях
с помощью тончайших физических экспериментов. На каждом масштабном уровне (от
атомно-молекулярного до макроразмеров порядка километров) предлагаются
определённые физические модели процесса разрушения, учитывающие параметры
структуры и условия перехода разрушения с одного масштабного уровня на другой.

Согласно энергетической модели разрушения, практически использованной
Гриффитсом А.А. в 1920 г., условием развития трещины является подвод энергии к
её вершине. При разрушении находящегося под напряжением  элементарного кубика
с ребром длиною R освобождается энергия его упругого деформирования

  <math>
    U_u = \int_0^{\triangle R}{F_u dx} = ERxdx = ER \frac{\triangle R^2}{2}= \frac{\sigma^2 R^3}{2E},
  </math>
где
  <math> 
    F_u=\sigma R^2 = \frac{Ex R^2}{R} = ERx </math> - сила упругого деформирования кубика,
  Е - модуль упругости материала, <math> \triangle R = \frac{\sigma R}{E}  </math> - абсолютное удлинение одной из сторон кубика при его одноосном растяжении.
Приращение длины разрыва (трещины) на величину dR приведёт к высвобождению
дополнительного количества энергии упругого деформирования, равного &#963; <sup>2</sup> R <sup>2</sup> dR / 2E.
С другой стороны, образование разрыва приводит к увеличению площади поверхности
и поверхностной энергии тела на величину &#947; R dR
(&#947; - удельная работа разрушения на единицу площади новой поверхности). Рассмотрев
условия энергетического баланса и приравняв оба этих значения, получим формулу
Гриффитса для разрушающих напряжений тела с трещиной и критического размера
R<sub>кр</sub> трещины, после достижения которого начинается самопроизвольный её рост в
поле создаваемых ею перенапряжений

<p> &#963; ~ &#8730; 2 &#947; E / R    </p>
<p> R<sub>кр</sub> ~ 2 &#947; E / &#963; <sup>2</sup>    </p>

Несколько иная (силовая) модель разрушения была предложена Ирвином, в
которой критерием роста трещины был принят момент достижения критического
значения коэффициентом интенсивности напряжений К, являющимся функцией только
характера внешнего нагружения, геометрии тела и размеров трещины. Согласно
предложению Ирвина, трещина не развивается, когда значения К не превышают
некоторой критической. Интенсивность напряжений - это некоторая фиктивная
величина, связанная с главными напряжениями и используемая для оценки сложного
напряжённого состояния.

==Деформация упругого полупространства под действие поверхностных сил ==

Рассмотрим упругую среду. Рисунок 1 а) На поверхности упругого полупространства приложены силы б) Сила, действующая на поверхности системы

Сдвиги, вызванные силой:

  <math>
    U_x=\frac{1+\nu}{2\pi E}\left(\frac{xz}{r^3}-\frac{(1-2\nu)x}{r(r+z)}\right)F_z,
  </math>
  <math>
    U_y=\frac{1+\nu}{2\pi E}\left(\frac{yz}{r^3}-\frac{(1-2\nu)y}{r(r+z)}\right)F_z,
  </math>
  <math>
    U_z=\frac{1+\nu}{2\pi E}\left(\frac{2(1-\nu)}{r}+\frac{z^2}{r^3}\right)F_z,
  </math>
где
  <math>
    r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}
  </math>.

Смещение свободной поверхности z=0

  <math>
    U_x=-\frac{(1+\nu)(1-2\nu)}{2\pi E}\frac{x}{r^2}F_z
  </math>,
  <math>
    U_y=-\frac{(1+\nu)(1-2\nu)}{2\pi E}\frac{y}{r^2}F_z
  </math>,
  <math>
    U_z=\frac{(1-\nu^2)}{\pi E}\frac{1}{r}F_z
  </math>,

где
  <math>
    r=\sqrt{x^2+y^2}
  </math>.

в случае непрерывного распределения P (х,у) нормального давления, смещение поверхности

  <math>
    U_z=\frac{1}{\pi E^*}\iint p(x',y')\frac{dx'dy'}{r}
  </math>
  <math>
    r=\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2}
  </math>

где
  <math>
    E^*=\frac{E}{1-\nu^2}
  </math>

Предположим, что в круговой области радиуса, распределение давления
  <math>
    p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^n
  </math>

Распределение давления Герца (n=1/2)
  <math>
    p=p_0\left(1-\frac{r^2}{a^2}\right)^{1/2}
  </math>

приводит к вертикальному перемещению
  <math>
    U_z=\frac{\pi p_0}{4E^*a}(2a^2-r^2)
  </math>

Полная сила
  <math>
    F=\int_0^a{p(r)2 \pi rdr} = \frac {2}{3}p_0 \pi a^2
  </math>

==Контакт Герца==
[[Файл: R2.PNG‎|340px|thumb|right|Рисунок 2 Жесткий шар в контакте с упругим полупространством]]
На рисунке 2 схематически показан контакт между жесткой сферой и упругим полупространством. Смещение точек поверхности и площадь контакта между первоначально плоской поверхностью и жесткой сферой радиусом R равна

  <math>
    U_z=d-\frac{r^2}{2R}
  </math>

Уравнение вертикальных перемещений, является квадратичным распределением вертикальных смещений по распределению давления в форме.

Подберем параметры <math>a</math> и <math>p_0</math>, так что распределение давления точного перемещения, вызванные:

  <math>
    \frac{1}{E^*} \frac{\pi p_0}{4a} (2a^2-r^2)=d-\frac{r^2}{2R}
  </math>

<math>a</math> и <math>d</math> должны отвечать следующим требованиям

  <math>
    a=\frac{\pi p_0 R}{2E^*},  d=\frac{\pi a p_0}{2E^*}
  </math>

контакт с радиусом

  <math>
    a^2=Rd
  </math> 

максимальное давление
  <math>
    p_0=\frac{2}{\pi}E^*\left(\frac{d}{R}\right)^{1/2}
  </math> 
 
получаем Нормальная сила

  <math>
    F=\frac{4}{3} E^* R^{1/2} d^{3/2}
  </math>

==Контакт между двух упругих тел с изогнутыми поверхностями==
[[Файл: R3.PNG|340px|thumb|right|Рисунок 3. Контакт между двумя телами с изогнутыми поверхностями]]
Оба тела упруги, поэтому воспользуемся следующим выражением <math>E^*</math>

  <math>
    \frac{1}{E*}=\frac{1- \nu_1^2}{E_1}+\frac{1- \nu_2^2}{E_2}
  </math>

<math>E_1</math> и <math>E_2</math> - модуль упругости, <math>\nu_1</math> и <math>\nu_2</math> - коэффициент Пуассона

Если у двух сфер с радиусами <math>R_1</math> и <math>R_2</math> в контакте (рисунок 3), то уравнения (см. выше) по-прежнему в соответствии с радиусом R

  <math>
    \frac{1}{R}=\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}
  </math>


Нормальная сила:

:<math> F_n = \frac{4}{3} \times E^* \times \sqrt{R^*} \times \delta_n^{\frac{3}{2}} </math>

:<math> \frac{1}{E^*} = \frac{(1-\nu_i^2)}{E_i} + \frac{(1-\nu_j^2)}{E_j} </math>

:<math> \frac{1}{R^*} = \frac{1}{R_i} + \frac{1}{R_j} </math>

:<math> F_n(\delta_n) = \frac{2}{3} \times \frac{E}{(1-\nu^2)} \times \sqrt{\frac{R}{2}} \times \delta_n^{\frac{3}{2}} </math>

Сила адгезии:

:<math> F_c = k \times A </math>

:<math> A = \pi \times h^2 </math>

A - площадь круга 

:<math> h = \sqrt{R^2 - (R-\frac{\delta_n}{2})^2} </math>

h - 1/2 хорды

:<math> F_c(\delta_n) = k \times \pi \times (R^2 - (R - \frac{\delta_n}{2})^2) </math>


:<math> F = F_n(\delta_n) + F_c(\delta_n) </math>


:<math> F = \delta_n (k \pi (R - \frac{\delta_n}{4}) + \frac{E \sqrt{2 R \delta_n}}{3 (1 - \nu^2)}) </math>

[[История_Разрушений|История разрушений]]

== Постановка задачи ==

== Используемые методы ==

== План работы ==

== Ссылки ==
[http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/tehnologiya_i_promyshlennost/RAZRUSHENIYA_MEHANIZMI.html Механизмы разрушения]

[http://www.krugosvet.ru/enc/nauka_i_tehnika/tehnologiya_i_promyshlennost/METALLOV_ISPITANIYA.html Испытания металлов]

[http://en.wikipedia.org/wiki/Help:Displaying_a_formula Тех]

== См. также ==

* [[Устинова Алеся]]