Редактирование: Степанов Алексей. Курсовой проект по теоретической механике

== Тема проекта ==
Описание колебаний плавающих тел.

== Постановка задачи ==
Найти уравнение колебаний для следующих тел:
1) Шар<br>
2) Параллелепипед<br>
#2.1 Вертикальные колебания<br>
#2.2 "Бортовая качка"<br>

== Решение ==
1) '''Шар'''<br>

[[Файл:P1.jpg‎| 400px]]<br>


ПУР: <math>mg = \rho g V_0 = \frac{\pi \rho g} {3} d_0^2 (3R-d_0);</math><br>
<math>d_o</math> - начальная глубина погружения <math>\rho</math> - плотность жидкости <math>R</math> - радиус шара<br>
Второй закон Ньютона примет вид: <br>
<math>m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(d_0+x)^2(3R-d_0-x)</math><br>
После возведения в квадрат получаем:<br>
<math>m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(d_0^2 + 2 d_0x + x^2)(3R-d_0-x)</math><br>
Проводим линеаризацию уравнения<br>
<math>m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(d_0^2 + 2 d_0x + o(x^2))(3R-d_0-x)</math><br>
Раскроем скобки:<br>
<math>m \ddot x = -\frac{\pi \rho g} {3} d_0^3 + \pi \rho g d_0^2R - \frac{\pi \rho g} {3}(3d_o^2R - d_0^3 + 6d_0Rx - 3d_0^2x)</math><br>
В результате имеем:<br>
<math>m \ddot x =  \pi \rho g d_0(-2 R + d_0)x</math>; <br>
Так как <math>(-2 R + d_0) < 0</math> формула имеет вид <math>m \ddot x + \pi \rho g d_0(2 R - d_0)x = 0</math> <br>
Остается проверить размерность величины <math>\omega^2 = \frac{\pi \rho g d_0(2 R - d_0)} {m} = \frac {1} {s^2}</math> <br>
Уравнение колебаний найдено.<br>
2) '''Вертикальные колебания параллелепипеда''' <br>
[[Файл:P2.bmp‎| 400px]]<br>

ПУР: <math>mg = \rho g V_0 = \rho g S d_o;</math><br>
<math>d_o</math> - начальная глубина погружения <math>\rho</math> - плотность жидкости <math>S</math> - площадь сечения<br>
Второй закон Ньютона примет вид: <br>
<math>m \ddot x = mg -\rho g S (d_o + x)</math><br>
После сокращения:<br>
<math>m \ddot x =  -\rho g S x</math><br>
Остается проверить размерность величины <math>\omega^2 = \frac{\rho g S} {m} = \frac {kg m^3} {s^2 m^3 kg} = \frac {1} {s^2}</math> <br>
Уравнение колебаний найдено.<br>
2) '''Бортовая качка''' <br>
[[Файл:P3.bmp‎| 400px]]
Очевидно, что модуль силы Архимеда остается постоянным(так как постоянным остается объем погруженной части тела в силу симметрии тела).
Меняется только точка приложения, что и создает момент силы Архимеда, вызывающий колебания. Тогда уравнения примут вид:<br>
<math>\Theta_c \ddot \varphi = -F_a l \cos \varphi = -F_a l</math><br>
<math>\Theta_c</math> - момент инерции тела относительно центра масс <math>F_a</math> - сила Архимеда <math>l</math> - плечо силы Архимеда<br>
<math>l = h \frac {h {\rm tg}\varphi} {6 d} = = h \frac {h \varphi} {6 d}, h</math> - ширина, <math>d</math> - высота<br>
Так как тело плавает <math>F_a = mg</math><br>
<math>\Theta_c \ddot \varphi = -\frac {mg h^2} {6 d} \varphi</math><br>
Итоговое уравнение:<br>
<math>\ddot \varphi + \frac {mg h^2} {6 d\Theta_c}\varphi = 0 </math><br>

== Обсуждение результатов и выводы ==
1) Можно заметить, что угловая частота колебаний шара имеет максимум в точке <math>d_0 = R</math><br>
2) Интересно то, что <math>\frac{\rho g S} {m} = k \frac{g} {l}</math>, где l - полная высота параллелепипеда, а k - коэффициент, равный отношению жидкости тела к плотности тела <br>
3)Пусть тело площадью сечения <math>10^{-2} m^2</math> и массой <math>1  kg</math> плавает в воде(<math>\rho = 10^3 \frac{kg} {m^3}</math>). Период вертикальных колебаний будет равен <math>T = 0.62 \ c</math><br> Предположим, что это тело - куб с длиной стороны <math> 10 \ sm</math>. Момент инерции куба относительно оси, проходящей через его центр масс, перпендикулярно поверхности <math>\Theta_c = \frac {m a^2} {6}</math>, где <math>a</math> - длина стороны куба. Тогда <math>T = 0.62 c</math> В общем случае отношение периодов колебаний параллелепипеда при вертикальной качке и бортовой равно <math>\sqrt{\frac {h^2 + d^2} {2d^2}}</math><br>
4) Частоты колебаний параллелепипида оказываются схожими с частотой колебаний математического маятника при вертикальной качке и с частотой колебаний физического маятника при "бортовой качке".<br>
Например, сравним <math>T = 2 \pi \sqrt{\frac{\Theta_c} {mgr}}</math> и <math>T = 2 \pi \sqrt{\frac{\Theta_c} {m g \frac{h} {2}} \frac {3d} {h}}</math>, <math>r</math> - расстояние от точки подвеса до центра тяжести физ. маятника, а<math>d</math> и <math>h</math> высота и длина параллелепипеда соответственно.

== Ссылки по теме ==
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%C0%F0%F5%E8%EC%E5%E4 Архимед]

== См. также ==

* [[Справка:Содержание|Справочная информация]]
* [[Курсовые проекты ТМ 20510 (2012)|Список курсовых проектов]]
* [[Кафедра "Теоретическая механика"]]
* [[Степанов Алексей]]


[[Category: Студенческие проекты]]