Редактирование: Свободные колебания груза с массой зависящей от времени

==Описание==
===Постановка задачи===
Рассмотреть свободные колебания груза на пружинке с массой, зависящей от времени.
Проанализировать полученные результаты. 

===Начальные сведения===
Дифференциальное уравнение колебаний имеет вид:
<math>  m(t) \ddot x + c x=0</math>
,где
:<math> m(t) = 
 \begin{cases}
   m_1 &\text{ $ t < t_0$}\\
   m_2 &\text{ $ t > t_0$}
 \end{cases}
</math> - масса груза;
:<math>c</math> - жесткость пружины;
:<math>x</math> - отклонение от положения равновесия;

==Решение==
Для решения задачи Коши возьмем начальные условия в виде <math>x(0) = x_0,  \dot x(0)= 0</math>.
Тогда для <math>t < t_0</math> решение будет иметь вид:
:<math>x_1 = x_0 \cos \omega_1 t </math>
А для  <math>t > t_0</math> решение имеет вид:
: <math>x_2 = A \cos \omega_2 t + B \sin \omega_2 t  </math>
где константы интегрирования необходимо найти из условия сшивания:
: <math> x_1(t_0)=x_2(t_0) </math>
: <math>  \dot x_1(t_0)=\dot x_2(t_0) </math>
Запишем эти условия в виде системы линейных уравнений:
: <math>
\begin{cases}
    A \cos \omega_2 t_0 + B \sin \omega_2 t_0 =  x_0 \cos \omega_1 t_0 \\
    \omega_2(-A \sin \omega_2 t_0 + B \cos \omega_2 t_0) = -\omega_1  x_0 \sin \omega_1 t_0\\
\end{cases}
</math>
Рассмотрим два частных случая:
:1) <math> \cos \omega_1 t_0 = 1 , \sin \omega_1 t_0 = 0 </math>
:2) <math> \cos \omega_1 t_0 = 0 , \sin \omega_1 t_0 = 1 </math>
Для первого случая получим решение в виде:
:<math>x_2 = x_0 \cos \omega_2 (t-t_0) </math>
Видим, что амплитуда колебаний остается прежней, а частота колебаний меняется.
Для второго случая решение имеет вид:
:<math>x_2 = x_0 \sqrt{\frac{m_2}{m_1}} \sin \omega_2 (t+t_0) </math>
В данном случае видим, что амплитуда зависит от корня из отношения масс. Это значит что она может как уменьшиться, так и увеличиться.

==Визуализация==
Для визуализации воспользуемся [[Интерактивная модель простейшей колебательной системы|данной]] моделью груза на пружине.
Чтобы наблюдать эффект изменения/сохранения амплитуды, необходимо резко поменять массу системы.