Редактирование: Решение связанных краевых задач механохимии
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 3: | Строка 3: | ||
''Научный руководитель'': [[Елена Вильчевская]]<br> | ''Научный руководитель'': [[Елена Вильчевская]]<br> | ||
− | == | + | == Введени и описание проблемы == |
− | Проблема окисления кремния сегодня является одной из важнейших проблем в химии в связи с широким использованием и значимостью технологии кремниевых интегральных схем. Так как объем молекулы диоксида кремния примерно в 2.3 раза больше атома кремния, окисление кремния сопровождается увеличением объема, порождающим внутренние деформации и напряжения. Кроме того, зачастую химическая реакция проходит также и под приложенными внешними механическими нагрузками. Это значит, что задача скорости роста превращенного слоя и распространения фронта химической реакции не может не учитывать механические напряжения. | + | Проблема окисления кремния сегодня является одной из важнейших проблем в химии в связи с широким использованием и значимостью технологии кремниевых интегральных схем. Так как объем молекулы диоксида кремния примерно в 2.3 раза больше атома кремния, окисление кремния сопровождается увеличением объема, порождающим внутренние деформации и напряжения. Кроме того, зачастую химическая реакция проходит также и под приложенными внешними механическими нагрузками. Это значит, что задача скорости роста превращенного слоя и распространения фронта химической реакции не может не учитывать механические напряжения.\\ |
− | |||
В классической химии скорость реакции определяется химическим сродством реакции, которое является комбинацией химических потенциалов участвующих в химической реакции компонент: | В классической химии скорость реакции определяется химическим сродством реакции, которое является комбинацией химических потенциалов участвующих в химической реакции компонент: | ||
<math>A = - \sum n_k M_k \mu_k,</math> | <math>A = - \sum n_k M_k \mu_k,</math> | ||
где <math>\mu_k</math> - относительный (на единицу массы) химический потенциал k-той компоненты, <math>M_k</math> - молярная масса, стохиометрический коэффициент <math>n_k</math> входит в сумму со знаком “+”, если k-тая компонента производится в результате реакции, и со знаком “-”, если расходуется. Химическое сродство широко используется в термодинамической теории химических реакций. В частности, кинетическое уравнение было сформулировано в следующем виде: | где <math>\mu_k</math> - относительный (на единицу массы) химический потенциал k-той компоненты, <math>M_k</math> - молярная масса, стохиометрический коэффициент <math>n_k</math> входит в сумму со знаком “+”, если k-тая компонента производится в результате реакции, и со знаком “-”, если расходуется. Химическое сродство широко используется в термодинамической теории химических реакций. В частности, кинетическое уравнение было сформулировано в следующем виде: | ||
<math>\omega = k_* c \left\{ {1 - \exp \left( { - \frac{{{A}}}{{RT}}} \right)} \right\}.</math> | <math>\omega = k_* c \left\{ {1 - \exp \left( { - \frac{{{A}}}{{RT}}} \right)} \right\}.</math> | ||
− | Здесь <math>\omega</math> - скорость химической реакции, <math>k_*</math> - кинетическая константа (параметр реакции), <math>R = 8.31 \mathrm{JK^{-1}mol^{-1}}</math> - универсальная газовая постоянная, T - температура, <math>c</math> - молярная концентрация газовой компоненты реакции. | + | Здесь <math>\omega</math> - скорость химической реакции, <math>k_*</math> - кинетическая константа (параметр реакции), <math>R = 8.31 \mathrm{JK^{-1}mol^{-1}}</math> - универсальная газовая постоянная, T - температура, <math>c</math> - молярная концентрация газовой компоненты реакции.\\ |
+ | В случае химических реакций в газах и жидкостях, где напряжения определяются скалярной величиной - давлением, химический потенциал также является скалярной величиной. В случае твердых реагирующих компонент химический потенциал становится тензором. В результате изучения фазового равновесия, было показано, что тензор химического потенциала для твердой компоненты определяется тензором энергии-импульса Эшелби. В работе (1) выражение для тензора химического сродства было получено как результат анализа уравнений баланса массы, импульса и энергии, а также неравенства энтропии, которое было записано для химической реакции между газовой и твердыми компонентами произвольной реологии. А именно, в диссипативном неравенстве для химической реакции было показано, что скорость реакции на ориентированной площадке с нормалью <math>\boldsymbol{n}</math> сопряжена с нормальной компонентой <math>\boldsymbol{A_{nn}} = \boldsymbol{n \cdot A \cdot n}</math> тензора <math>\boldsymbol{A}</math>, который и приняли за тензор химического сродства.\\ | ||
+ | Итак, влияние механических нагрузок на рост превращенного слоя и, соответственно, на распространения фронта химической реакции, может быть учтено несколькими способами: через вышеописанную зависимость химического сродства от напряжений, или через зависимость кинетической константы (параметра реакции) от напряжений. Помимо влияния на термодинамику, механические нагрузки также влияют и на диффузию газовой компоненты, и, соответственно, на ее концентрацию, которая входит в выражение для скорости химической реакции. Существуют различные способы представления зависимости диффузии от механических напряжений. В некоторых работах механические нагрузки учитываются через зависимость коэффициента диффузии от напряжений, эта зависимость является эмпирической. В некоторых работах механические нагрузки вводятся дополнительным членом, зависящим от напряжений, в закон Фика. Однако чаще всего при рассмотрении химических реакций под механическими нагрузками зависимость диффузии от напряжений не учитывается, и берется постоянное значение коэффициента диффузии.\\ | ||
− | В | + | В этой работе предпринимается попытка предложить разумную и обоснованную зависимость коэффициента диффузии от механический напряжений, а именно - от деформаций скелета твердого тела, что ведет к модели тензодиффузии. Для различных краевых задач проводится вычисление кинетики продвижения фронта химической реакции в зависимости от приложенных внешних нагрузок с использованием модели тензорного химического сродства. Сравниваются результаты, полученные для предложенного коэффицента диффузии, для принятого эмпирического и для постоянного коэффициента, чтобы выяснить, как диффузия под напряжением влияет на распространение фронта химической реакции, исследовать, какой из коэффициентов диффузии оказывает более сильное влияние на процесс распространения фронта химической реакции, и получить значения внешних нагрузок, при которых зависимостью коэффициента диффузии от напряжений можно пренебречь и считать его постоянным. |
− | |||
− | |||
− | |||
+ | == Цели == | ||
+ | *Исследовать кинетику химического фронта в трехмерном линейно-упругом теле с плоским химическим фронтом под влиянием механических нагрузок; | ||
+ | *Исследовать влияние зависимости коэффициента диффузии от напряжений. | ||
== Постановка задачи: Модель и уравнения == | == Постановка задачи: Модель и уравнения == | ||
Строка 38: | Строка 39: | ||
</math> | </math> | ||
− | где <math>{\boldsymbol{\sigma }}_{^ - }^{} = {{\bf{C}}_{^ - }}:{{\boldsymbol{\varepsilon }}_{^ - }}</math> и <math>{{\boldsymbol{\sigma }}_{^ + }} = {{\boldsymbol{C}}_{^ + }}:({{\boldsymbol{\varepsilon }}_{^ + }} - {{\boldsymbol{\varepsilon }}_{^{{\rm{ch}}}}})</math> - тензора напряжений Коши, <math>{{\boldsymbol{C}}_{^ \pm }}</math> являются тензорами жесткости упругих компонент, <math>{{\boldsymbol{\varepsilon }}_{^ \pm }}</math> - тензора деформации, <math>c(\Gamma )</math> - концентрация газа на фронте реакции, <math>c_*</math> - растворимость газовой компоненты в сформированном материале <math>B_ +</math>. Также мы относим деформации химических превращений к <math>{{\bf{\varepsilon }}_{^{{\rm{ch}}}}}</math> и считаем, что эти деформации изотропны в объеме, т.е. <math>{{ \boldsymbol{\varepsilon }}_{^{{\rm{ch}}}}} = {\varepsilon _{^{{\rm{ch}}}}}\boldsymbol{I}</math> , где <math>\boldsymbol{I}</math> - единичный тензор. Параметр <math>\gamma (T)</math> отвечает за отсчетные уровни химических энергий. Если температура <math>Т</math> дана, <math>\gamma (T)</math> является параметром модели. | + | где <math>{\boldsymbol{\sigma }}_{^ - }^{} = {{\bf{C}}_{^ - }}:{{\boldsymbol{\varepsilon }}_{^ - }}</math> и <math>{{\boldsymbol{\sigma }}_{^ + }} = {{\boldsymbol{C}}_{^ + }}:({{\boldsymbol{\varepsilon }}_{^ + }} - {{\boldsymbol{\varepsilon }}_{^{{\rm{ch}}}}})</math> - тензора напряжений Коши, <math>{{\boldsymbol{C}}_{^ \pm }}</math> являются тензорами жесткости упругих компонент, <math>{{\boldsymbol{\varepsilon }}_{^ \pm }}</math> - тензора деформации, <math>c(\Gamma )</math> - концентрация газа на фронте реакции, <math>c_*</math> - растворимость газовой компоненты в сформированном материале <math>B_ +</math>. Также мы относим деформации химических превращений к <math>{{\bf{\varepsilon }}_{^{{\rm{ch}}}}}</math> и считаем, что эти деформации изотропны в объеме, т.е. <math>{{ \boldsymbol{\varepsilon }}_{^{{\rm{ch}}}}} = {\varepsilon _{^{{\rm{ch}}}}}\boldsymbol{I}</math> , где <math>\boldsymbol{I}</math> - единичный тензор. Параметр <math>\gamma (T)</math> отвечает за отсчетные уровни химических энергий. Если температура <math>Т</math> дана, <math>\gamma (T)</math> является параметром модели (более подробно см. (2), (3)). |
Если мы заменим скалярную величину химического сродства нормальной компонентой тензора химического сродства, скорость на элементе поверхности с нормалью <math>\boldsymbol{n}</math> будет определяться выражением: | Если мы заменим скалярную величину химического сродства нормальной компонентой тензора химического сродства, скорость на элементе поверхности с нормалью <math>\boldsymbol{n}</math> будет определяться выражением: | ||
Строка 81: | Строка 82: | ||
Первое условие следует из условия баланса массы на внешней границе тела <math>\Omega</math>, <math>\alpha</math> - константа скорости растворения молекул газа в новом материале. Второе условие следует из условия баланса массы на фронте реакции <math>\Gamma</math>. | Первое условие следует из условия баланса массы на внешней границе тела <math>\Omega</math>, <math>\alpha</math> - константа скорости растворения молекул газа в новом материале. Второе условие следует из условия баланса массы на фронте реакции <math>\Gamma</math>. | ||
− | Определение коэффициента диффузии используется согласно. Коэффициент диффузии может быть подсчитан по следующей формуле: | + | Определение коэффициента диффузии используется согласно (4). Коэффициент диффузии может быть подсчитан по следующей формуле: |
<math> | <math> | ||
D = {D_0}{e^{ - p{V_d}/kT}}, D < {D_{{\rm{max}}}} | D = {D_0}{e^{ - p{V_d}/kT}}, D < {D_{{\rm{max}}}} | ||
Строка 89: | Строка 90: | ||
== Решение для различных видов механических нагрузок == | == Решение для различных видов механических нагрузок == | ||
+ | В этом разделе мы представим аналитическое решение задачи для простейшей геометрии. Станем рассматривать трехмерный прямоугольный параллелепипед: <math>{x_1} \in \left[ { - {l_1},{l_1}} \right], \qquad {x_2} \in \left[ { - {l_2},{l_2}} \right], \qquad {x_3} \in \left[ { - {0},{H}} \right]</math> с реакцией, распространяющейся в направлении оси <math>x_3</math> и фронтом реакции, представленным плоскостью <math>x_3 = h</math>. Считаем, что концентрация не зависит от координат <math>x_1</math> и <math>x_2</math>, поэтому <math>c=c(x_3)</math>, <math>c(\Gamma)=c(h)</math>. | ||
+ | [[File:drawing.png|500px]] | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Будет изучено два случая механической нагрузки: | ||
+ | первый, перемещения на поверхности тела заданы, и второй, напряжения на поверхности заданы. | ||
+ | |||
+ | Считаем, что нам даны перемещения, которые приложены к телу следующим образом: | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <math>u_1^{{ + \mathord{\left/ | ||
+ | {\vphantom { + - }} \right. | ||
+ | } - }}\left( {{x_1} = \pm {l_1},\;\;{x_2} \in \left[ { - {l_2},{l_2}} \right],\;\;{x_3} \in \left\{ \begin{array}{l} | ||
+ | \left( {0,h} \right){\rm{if }} + \\ | ||
+ | \left( {h,H} \right){\rm{if }} - | ||
+ | \end{array} \right.} \right) = u_1^0\nonumber\\ | ||
+ | u_2^{{ + \mathord{\left/ | ||
+ | {\vphantom { + - }} \right. | ||
+ | } - }}\left( {{x_1} \in \left[ { - {l_1},{l_1}} \right],\;\;{x_2} = \pm {l_2},\;\;{x_3} \in \left\{ \begin{array}{l} | ||
+ | \left( {0,h} \right){\rm{if }} + \\ | ||
+ | \left( {h,H} \right){\rm{if }} - | ||
+ | \end{array} \right.} \right) = u_2^0 | ||
+ | </math> | ||
+ | Тогда деформации равномерно распределены по всему телу: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \varepsilon _{11}^ - = \;\varepsilon _{11}^ + = \varepsilon _{11}^0 = \frac{{u_1^0}}{{{l_1}}}, \qquad \varepsilon _{22}^ - = \;\varepsilon _{22}^ + = \varepsilon _{22}^0 = \frac{{u_2^0}}{{{l_2}}} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Сдвиговые деформации отсутствуют, т.е. <math>\varepsilon _{ij}^ \pm = 0,i \ne j</math>. | ||
+ | |||
+ | Считаем, что напряжения по оси <math>x_3</math> отсутствуют, т.е. имеем дело с плосконапряженной задачей. | ||
+ | Тогда из закона Гука можем вычислить оставшиеся напряжения и деформации: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \varepsilon _{33}^ - = - \frac{{{\lambda ^ - }}}{{{\lambda ^ - } + 2{\mu ^ - }}}(\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0) | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \sigma _{11}^ - = {\lambda ^ - }\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0 - \frac{{{\lambda ^ - }}}{{{\lambda ^ - } + 2{\mu ^ - }}}(\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0)} \right) + 2{\mu ^ - }\varepsilon _{11}^0\nonumber\\ | ||
+ | |||
+ | \sigma _{22}^ - = {\lambda ^ - }\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0 - \frac{{{\lambda ^ - }}}{{{\lambda ^ - } + 2{\mu ^ - }}}(\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0)} \right) + 2{\mu ^ - }\varepsilon _{22}^0 | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Для региона "+": | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | {\varepsilon _{33}}^ + = \frac{{{\textstyle{2 \over 3}}{\mu ^ + } - {k^ + }}}{{{k^ + } + {\textstyle{4 \over 3}}{\mu ^ + }}}\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0} \right) + \frac{{3{k^ + }}}{{{k^ + } + {\textstyle{4 \over 3}}{\mu ^ + }}}{\varepsilon _{{\rm{ch}}}} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \sigma _{11}^ + = {\lambda ^ + }\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0 - \frac{{{\lambda ^ + }}}{{{\lambda ^ + } + 2{\mu ^ + }}}\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0} \right) + \frac{{3{k^ + }}}{{{\lambda ^ + } + 2{\mu ^ + }}}{\varepsilon _{{\rm{ch}}}}} \right) + 2{\mu ^ + }\varepsilon _{11}^0 - 3{k^ + }{\varepsilon _{{\rm{ch}}}}\nonumber\\ | ||
+ | |||
+ | \sigma _{22}^ + = {\lambda ^ + }\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0 - \frac{{{\lambda ^ + }}}{{{\lambda ^ + } + 2{\mu ^ + }}}\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0} \right) + \frac{{3{k^ + }}}{{{\lambda ^ + } + 2{\mu ^ + }}}{\varepsilon _{{\rm{ch}}}}} \right) + 2{\mu ^ + }\varepsilon _{22}^0 - 3{k^ + }{\varepsilon _{{\rm{ch}}}} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Для удобства расчетов с значениями параметров конкретного материала перейдем к модулю Юнга, <math>E</math>, и коэффициенту Пуассона, <math>\nu</math>, и запишем выражение для функции напряжений, входящей в состав выражения для вычисления <math>c_{eq}</math>: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \left( {{\boldsymbol\sigma _ - }:{\boldsymbol\varepsilon _ - } - {\boldsymbol\sigma _ + }:{\boldsymbol\varepsilon _ + } + {\boldsymbol\sigma _ + }:{\boldsymbol\varepsilon _{{\rm{ch}}}}} \right) =\nonumber\\ | ||
+ | \left( {\frac{{{E_ - }}}{{1 - \nu _ - ^2}} - \frac{{{E_ + }}}{{1 - \nu _ + ^2}}} \right)\mathop {\varepsilon _{11}^0}\nolimits^2 + \left( {\frac{{{E_ - }}}{{1 - \nu _ - ^2}} - \frac{{{E_ + }}}{{1 - \nu _ + ^2}}} \right)\mathop {\varepsilon _{22}^0}\nolimits^2 + | ||
+ | {2\left( {\frac{{{\nu _ - }{E_ - }}}{{1 - \nu _ - ^2}} - \frac{{{\nu _ + }{E_ + }}}{{1 - \nu _ + ^2}}} \right)\varepsilon _{11}^0\varepsilon _{22}^0 + \frac{{2{E_ + }}}{{\left( {1 - \nu _ + ^{}} \right)}}\varepsilon _{{\rm{ch}}}^{}(\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0) - \frac{{2{E_ + }}}{{\left( {1 - \nu _ + ^{}} \right)}}\varepsilon _{{\rm{ch}}}^2} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Реакция идет только при <math>{A_{nn}} > 0</math>. Следовательно, при отсутствии внешних деформаций <math>\varepsilon _{11}^0 = 0,\;{\rm{ }}\varepsilon _{22}^0 = 0</math> и при <math>{c_{{\rm{eq}}}} = {c_*}</math> реакция может идти только при: | ||
+ | <math> | ||
+ | \gamma > {\gamma _*} = \frac{{{E_ + }}}{{1 - {{\rm{\nu }}_ + }}}\varepsilon _{{\rm{ch}}}^2 | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | В этом случае выражение для коэффициента диффузии примет вид : | ||
+ | <math> | ||
+ | D = {D_0}{e^{\left( {\frac{{{E_ + }}}{{3(1 - \nu _ + )}}\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0 - 2{\varepsilon _{{\rm{ch}}}}} \right)} \right){V_d}/kT}} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <math>D</math> не зависит от координаты <math>x_3</math>, поэтому уравнение диффузии примет вид: | ||
+ | <math> | ||
+ | {\rm{\Delta }}c = 0\;\quad \Rightarrow \quad \frac{{{\partial ^2}c}}{{\partial x_3^2}} = 0 | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Решением этого уравнения будет линейная функция <math>c = A{x_3} + B</math>. Из граничных условий можно найти константы <math>A</math> и <math>B</math>. В итоге, функция концентрации будет выглядеть следующим образом: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | c = \;\frac{{D\alpha {c_*} + {n_*}^2{k_*}\alpha h{c_*} - D{n_*}^2{k_*}{c_{{\rm{eq}}}} - \alpha {n_*}^2{k_*}\left( {{c_*} - {c_{{\rm{eq}}}}} \right){x_3}}}{{\left( {D\alpha + {n_*}^2{k_*}\alpha h - D{n_*}^2{k_*}} \right)}} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Подставляя полученное выражение в уравнение для скорости распространения реакции, окончательно получим: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | V = \frac{{{n_ - }{M_ - }{n_*}{k_*}D\alpha {c_*}(1 - \frac{{{c_{{\rm{eq}}}}}}{{{c_*}}})}}{{{\rho _ - }\left( {D\alpha + {n_*}^2{k_*}\alpha h - D{n_*}^2{k_*}} \right)}} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | В случае заданных усилий на поверхности можно найти напряжения <math>\sigma _{11}^0,\sigma _{22}^0</math>, отвечающие условиям баланса сил и моментов: | ||
+ | <math> | ||
+ | \int\limits_0^H {\sigma _{11}^0} d{x_3} = \int\limits_0^h {{{\left. {\sigma _{11}^ + } \right|}_{{x_1} = {l_1}}}} d{x_3} + \int\limits_h^H {{{\left. {\sigma _{11}^ - } \right|}_{{x_1} = {l_1}}}} d{x_3}, \nonumber\\\int\limits_0^H {\sigma _{22}^0} d{x_3} = \int\limits_0^h {{{\left. {\sigma _{22}^ + } \right|}_{{x_2} = {l_2}}}} d{x_3} + \int\limits_h^H {{{\left. {\sigma _{22}^ - } \right|}_{{x_2} = {l_2}}}} d{x_3}\nonumber\\ | ||
+ | \int\limits_0^H {{x_3}\sigma _{11}^0} d{x_3} = \int\limits_0^h {{{\left. {{x_3}\sigma _{11}^ + } \right|}_{{x_1} = {l_1}}}} d{x_3} + \int\limits_h^H {{{\left. {{x_3}\sigma _{11}^ - } \right|}_{{x_1} = {l_1}}}} d{x_3}, \nonumber\\\int\limits_0^H {{x_3}\sigma _{22}^0} d{x_3} = \int\limits_0^h {{{\left. {{x_3}\sigma _{22}^ + } \right|}_{{x_2} = {l_2}}}} d{x_3} + \int\limits_h^H {{{\left. {{x_3}\sigma _{22}^ - } \right|}_{{x_2} = {l_2}}}} d{x_3} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Чтобы найти напряжения из закона Гука, сделаем предположение, что <math>\varepsilon _{11}^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle + $} | ||
+ | \kern-0.1em/\kern-0.15em | ||
+ | \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle - $}}} = A_1^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle + $} | ||
+ | \kern-0.1em/\kern-0.15em | ||
+ | \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle - $}}}{x_3} + B_1^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle + $} | ||
+ | \kern-0.1em/\kern-0.15em | ||
+ | \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle - $}}}, {\rm{ }}\varepsilon _{22}^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle + $} | ||
+ | \kern-0.1em/\kern-0.15em | ||
+ | \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle - $}}} = A_2^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle + $} | ||
+ | \kern-0.1em/\kern-0.15em | ||
+ | \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle - $}}}{x_3} + B_2^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle + $} | ||
+ | \kern-0.1em/\kern-0.15em | ||
+ | \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle - $}}}</math>, и что <math> | ||
+ | \sigma_{33}=0</math>. | ||
+ | Из-за условий неразрывности мы получим, что <math>A_{1,2}^ + = A_{1,2}^ - = {A_{1,2}},{\rm{ }}B_{1,2}^ + = B_{1,2}^ - = {B_{1,2}}</math>. В этом случае напряжения будут выглядеть следующим образом: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \sigma _{11}^ - = \frac{{{E_ - }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ - ^2}}\left( {\left( {{A_1} + {\rm{\nu }}_ - {A_2}} \right){x_3} + {B_1} + {\rm{\nu }}_ - {B_2}} \right)\nonumber\\ | ||
+ | \sigma _{22}^ - = \frac{{{E_ - }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ - ^2}}\left( {\left( {{\rm{\nu }}_ - {A_1} + {A_2}} \right){x_3} + {\rm{\nu }}_ - {B_1} + {B_2}} \right)\nonumber\\ | ||
+ | \sigma _{11}^ + = \frac{{{E_ + }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ + ^2}}\left( {\left( {{A_1} + {\rm{\nu }}_ + {A_2}} \right){x_3} + {B_1} + {\rm{\nu }}_ + {B_2}} \right) - \frac{{{E_ + }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ + ^{}}}{\varepsilon _{{\rm{ch}}}}\nonumber\\ | ||
+ | \sigma _{11}^ + = \frac{{{E_ + }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ + ^2}}\left( {\left( {{\rm{\nu }}_ + {A_1} + {A_2}} \right){x_3} + {\rm{\nu }}_ + {B_1} + {B_2}} \right) - \frac{{{E_ + }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ + }}{\varepsilon _{{\rm{ch}}}} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Константы <math>A_1, A_2, B_1, B_2</math> можно найти из уравнений баланса. Функцию напряжений можно найти, заменив <math>\varepsilon_{11}</math> и <math>\varepsilon_{22}</math> на <math>\varepsilon _{11} = A_1{x_3} + B_1,{\rm{ }}\varepsilon _{22} = A_2{x_3} + B_2</math> соответственно. | ||
+ | При постоянном коэффициенте диффузии, проводя вычисления, аналогичные предыдущему пункту, получим, что <math>V\sim(1-\frac{c_{\rm{eq}}}{c_*})</math>. | ||
+ | Если коэффициент диффузии зависит от напряжений, то в данном случае он принимает следующий вид: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | D = {D_0}{{\rm{e}}^{\left( {\frac{{{E_ + }}}{{3(1 - {{\rm{\nu }}_ + })}}\left( {\left( {{A_1} + {A_2}} \right){x_3} + \left( {{B_1} + {B_2} - 2{\varepsilon _{{\rm{ch}}}}} \right)} \right)} \right){V_d}/kT}} \Rightarrow D = {D_0}{{\rm{e}}^{\widetilde A{x_3} + \widetilde B}} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Тогда задача диффузии запишется следующим образом: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \frac{\partial }{{\partial {x_3}}}\left( {{D_0}{e^{\widetilde A{x_3} + \widetilde B}}\frac{{\partial c}}{{\partial {x_3}}}} \right) = 0\;\quad \Rightarrow \quad \frac{{{{\rm{d}}^2}c}}{{{\rm{d}}{x_3}^2}} + \widetilde A\frac{{{\rm{d}}c}}{{{\rm{d}}{x_3}}} = 0 | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Решением этого уравнения будет функция <math>c = {c_1}{e^{ - \widetilde A{x_3}}} + {c_2}</math>, с граничными условиями, которые будут выглядеть как: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | - {D_0}{e^{\widetilde B}}\widetilde A{c_1} + \alpha ({c_*} - {c_1} - {c_2}) = 0,\qquad - {D_0}{e^{\widetilde B}}\widetilde A{c_1} + {n_*}^2{k_*}({c_1}{e^{ - \widetilde Ah}} + {c_2} - {c_{{\rm{eq}}}}) = 0 | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Окончательно, концентрация будет выглядеть следующим образом: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | c = \frac{{\alpha {c_*}{n_*}^2{k_*}(1 - \frac{{{c_{{\rm{eq}}}}}}{{{c_*}}}){e^{ - \widetilde A{x_3}}} + {D_0}{e^{\widetilde B}}\widetilde A{c_*}\left( {\alpha + {n_*}^2{k_*}\frac{{{c_{{\rm{eq}}}}}}{{{c_*}}}} \right) + \alpha {n_*}^2{k_*}{c_*}(\frac{{{c_{{\rm{eq}}}}}}{{{c_*}}} - {e^{ - \widetilde Ah}})}}{{{D_0}{e^{\widetilde B}}\widetilde A\left( {\alpha + {n_*}^2{k_*}} \right) + \alpha {n_*}^2{k_*}(1 - {e^{ - \widetilde Ah}})}} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | Скорость в этом случае запишется согласно следующей формуле: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | V = \frac{{{n_ - }{M_ - }}}{{{\rho _ - }}}\frac{{{D_0}{e^{\widetilde B}}\widetilde A\alpha {c_*}{k_*}{n_*}\left( {1 - \frac{{{c_{{\rm{eq}}}}}}{{{c_*}}}} \right)}}{{{D_0}{e^{\widetilde B}}\widetilde A\left( {\alpha + {n_*}^2{k_*}} \right) + \alpha {n_*}^2{k_*}(1 - {e^{ - \widetilde Ah}})}} | ||
+ | </math> | ||
== Результаты == | == Результаты == |