Редактирование: Решение двумерного уравнения теплопроводности. Черногорский Вячеслав. 6 курс

==Цель==
Численное решение уравнения теплопроводности в единичном квадрате с помощью функций библиотеки MPI.
==Постановка задачи==
[[File:Физпостановка.png|Физическая постановка]]


Имеется пластина в форме квадрата с ребром единичной длины. Пусть пластина разогрета до температуры Т<sub>нач.</sub>, и затем помещена в среду, которая имеет отличную температуру Т<sub>среды</sub>. В этой задаче нас интересует процесс численного решения уравнения теплопроводности для пластины, которое выглядит следующим образом:

<br>
<math>\frac{\partial U}{\partial t} - a^2(\frac{\partial^2 U}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 U}{\partial y^2}) = 0</math> <br>

С граничными условиями 
:<math> \begin{cases}
   T(G,t) = 10\\
  
 \end{cases}</math>
И начальным распределением температуры
:<math>T(x,y,t) = 50 </math>

==Конечно-разностная схема==

Задача содержит производную по времени первого порядка и производные по пространственным координатам второго порядка.
Запишем конечно-разностные аналоги слагаемых, входящих в уравнение

[[File:formula11.png]]

==Компьютерная реализация==
Компьютерную реализацию программы можно найти в [[File:prill11.rar|архиве]]. В первую очередь область исследования покрывается конечно-разностной сеткой, и решение мы будем искать в узлах этой сетки. Для граничных узлов сетки, решение уже известно из граничных условий, для внутренних условий решение мы должны найти. Так как процесс у нас протекающий во времени, то решение мы будем искать по слоям сетки, в пределах заданного времени. 

==Результаты==
{| class="wikitable" width="300" floating="center"
!Количество процессов
!Время рассчета (сек)
|-
|1 
|5.77525
|-
|4
|1.97889
|-
|9
|91.8818
|-

|}

==Выводы==
* При использовании более 4 процессов скорость расчета увеличивается из-за особенностей ПК.
* При увеличении числа процессоров скорость расчета уменьшается.