Редактирование: Реализация симплектического метода для вращательного движения твердого тела

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Ершов Александр]]

'''Группа:'''  3630103/60101

'''Семестр:''' осень 2019


==Постановка задачи==
Реализовать симплектический для вращательного движения твердого тела.

Построить графики изменения полной энергии системы. Убедиться в симплектичности метода.

==Теория==
Данный метод  был получен Девидом Финчамом как аналог метода Верле для вращательного движения. Для описания поворота в данной статье используются кватернионы.
Алгоритм состоит из двух частей.

Вспомогательная часть:

<math>
1.\: \underline{J}^{n} = \underline{J}^{n-1/2} +\frac{1}{2}\Delta t \:  \underline{T}^{n}
\\
2. \: \underline{J}^{n}_{p} = \underline{\underline{A}}^{n} \: \underline{J}^{n}
\\
3.\: \omega_{pi}^{n} = {J}^{n}_{pi}/I
\\
4.\: \underline{q}^{n+1/2}=\underline{q}^{n}+\frac{1}{2}\Delta t \: \underline{\underline{Q}}^{n}\underline{\omega}_{p}^{n}
\\
5.\: Использовать\: \underline{q}^{n+1/2}\: для\: вычисления\: \underline{\underline{A}}^{n+1/2} \: и\: \underline{\underline{Q}}^{n+1/2}.
</math>

Главная часть:

<math>
6.\: \underline{J}^{n+1/2} = \underline{J}^{n-1/2} +\Delta t \:  \underline{T}^{n}
\\
7.\: \underline{J}^{n+1/2}_{p} = \underline{\underline{A}}^{n+1/2} \: \underline{J}^{n}
\\
8.\: \omega_{pi}^{n_1/2} = {J}^{n+1/2}_{pi}/I
\\
9.\: \underline{q}^{n+1}=\underline{q}^{n}+\Delta t \: \underline{\underline{Q}}^{n+1/2}\underline{\omega}_{p}^{n+1/2}
\\
10. \: Сохранить \: \underline{J}^{n+1/2} \: и \: \underline{q}^{n+1} \: для\: следующих\: шагов.
</math>

Где <math></math>

==Результаты==
Алгоритм был реализован на языке программирования Python.

В качестве модели для расчета был взят куб закрепленный пружинами на углах, повернутый в начальном положении вокруг оси <math>z</math>.

Полученные графики:

[[File:Symplecticint1.gif]]

Здесь красная линия - потенциальная энергия системы, зеленая - кинетическая, черная - полная.

Как можно заметить полная энергия системы не растет со временем, а лишь колеблется около одного значения. В данном случае, отклонения не превышают 5% от среднего значения.

==Ссылки==
1. D. Fincham, Mol. Simul. 8, 165 (1992).
@@ Строка 45: / Строка 45: @@
 </math>
-,где <math>\underline{J}</math> -кинетический момент, <math>\underline{T}</math> - внешний момент, <math>\underline{q}</math> - кватернион, описывающий поворот, <math>\underline{\omega}</math> -угловая скорость, <math>I</math> - момент инерции, <math>\underline{\underline{A}}</math> - матрица поворота
+Где <math></math>
-<math>
-\underline{\underline{Q}} = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}
-q_{0} & -q_{1} & -q_{2} & -q_{3}\\
-q_{1} & q_{0} & -q_{3} & q_{2}\\
-q_{2} & q_{3} & q_{0} & -q_{1}\\
-q_{3} & -q_{2} & q_{1} & q_{0}
-\end{pmatrix}
-</math>
 ==Результаты==
 Алгоритм был реализован на языке программирования Python.
-В качестве модели для расчета был взят куб закрепленный пружинами на углах, повернутый в начальном положении вокруг оси <math>(0,sin\frac{\pi}{3},cos\frac{\pi}{3})</math>.
+В качестве модели для расчета был взят куб закрепленный пружинами на углах, повернутый в начальном положении вокруг оси <math>z</math>.
 Полученные графики: