Текущая версия |
Ваш текст |
Строка 3: |
Строка 3: |
| Научный руководитель: [[Антон_Кривцов|Кривцов А. М.]] | | Научный руководитель: [[Антон_Кривцов|Кривцов А. М.]] |
| | | |
− | | + | Презентация: [[media: Presentation7.ppt|Моделирование динамики толпы]] |
− | Скачать:
| |
− | *[[media:Tsvetkov Master's graduation work.pdf|диплом]];
| |
− | *[[media:Tsvetkov_Master's_presentation.pdf|презентацию]];
| |
− | *[[media:Tsvetkov Master's poster.png|постер]].
| |
− | | |
− | <math>
| |
− | \def\({\left(}
| |
− | \def\){\right)}
| |
− | </math>
| |
| | | |
| == Введение == | | == Введение == |
Строка 136: |
Строка 127: |
| \varepsilon_i = \rho_i\sqrt{\frac K\varPi_{\rho}} | | \varepsilon_i = \rho_i\sqrt{\frac K\varPi_{\rho}} |
| </math> | | </math> |
− |
| |
− | === Граничные условия ===
| |
− | Граничные условия --- зеркальные. Это значит, что значения перемещения и скорости частицы на границе равны значениям перемещения и скорости соседней частицы:
| |
− | :<math>
| |
− | u_1 = u_2, \quad u_N = u_{N-1}, \\
| |
− | v_1 = v_2, \quad v_N = v_{N-1},
| |
− | </math>
| |
− | где <math>N</math> --- число частиц в цепочке.
| |
− |
| |
− |
| |
− | [[Файл: Tcvet masters Theme1 BC.png|600px|Граничные условия]]
| |
− |
| |
− | При данных условиях энергия не убывает и не прибывает --- на границах стержня выполняется условие теплоизоляции.
| |
| | | |
| === Результаты === | | === Результаты === |
− |
| |
− | На рисунке аналитическое решение сравнивается со стохастическим решением и численным решением дифференциального уравнения. Численное решение получено для 125 реализаций цепочки из 10000 частиц. Легко видеть, что решения совпадают с точностью до малых тепловых осцилляций.
| |
− |
| |
− | [[Файл: Tcvet masters Theme1 result.png|600px|Результаты]]
| |
| | | |
| == Задача о переходе энергии механических колебаний в тепло для нелинейного одномерного кристалла == | | == Задача о переходе энергии механических колебаний в тепло для нелинейного одномерного кристалла == |
| === Постановка задачи === | | === Постановка задачи === |
− | Рассмотрим одномерный кристалл: цепочку одинаковых частиц массы <math>m</math>, соединенных одинаковыми нелинейными пружинами с жесткостью <math>C</math>.
| |
− | Уравнения динамики кристалла имеют вид:
| |
− |
| |
− | :<math>
| |
− | \ddot u_k = \omega_0^2 (u_{k-1} - 2u_k + u_{k+1})(1 + u_{k+1} - u_{k-1}),\quad \omega_0 = \sqrt{\frac{C}{m}},
| |
− | </math>
| |
− | где <math>u_k</math> --- перемещение <math>k</math>-й частицы; <math>k</math> --- индекс, принимающий произвольные целые значения.
| |
− | Будем считать, что выполнены условия периодичности: <math>u_{k+N} = u_k</math>, где <math>N \gg 1</math> --- число независимых частиц.
| |
− |
| |
− | Рассматриваются два случая:
| |
− | * Детерминированная задача --- при <math>t = 0</math> перемещения частиц равны нулю, а скорости распределены по синусоидальному закону.
| |
− | * Стохастическая задача --- к скоростям в детерминированной задаче добавляются случайные флуктуации.
| |
− |
| |
| === Детерминированная задача === | | === Детерминированная задача === |
| ==== Начальные условия ==== | | ==== Начальные условия ==== |
− | Начальные скорости в кристалле задаются следующим образом:
| |
− | :<math>
| |
− | \left. v(x) \right |_{t = 0} = A \sin \( \frac{2\pi x}{L} \),
| |
− | </math>
| |
− | где <math>A</math> --- амплитуда, <math>L</math> --- длина кристалла, <math>x\in [0, L]</math>.
| |
− |
| |
− | [[Файл: Tcvet_masters_Theme3_IC.png|600px|Начальная скорость]]
| |
− |
| |
− | Начальные перемещения равны нулю по всей длине кристалла.
| |
− |
| |
| ==== Метод определения формы кристалла в различные моменты времени ==== | | ==== Метод определения формы кристалла в различные моменты времени ==== |
− | При малых <math>t</math> в распределении скоростей по длине цепочки явно прослеживается форма синуса, однако, при возрастании <math>t</math> цепочка теряет свою форму и движение частиц неотличимо от теплового. Это случается из за нелинейного взаимодействия между частицами. Однако, с течением времени цепочка вновь принимает форму синуса, искривленного тепловым движением.
| |
− |
| |
− | <gallery caption="Трансформации синуса" perrow=3 widths="250px" heights="250px">
| |
− | Файл:Tcvet_masters_Theme3_sin_trans_T0.png|а) <math>T = 0</math>
| |
− | Файл:Tcvet_masters_Theme3_sin_trans_T1100.png|б) <math>T = 15</math>
| |
− | Файл:Tcvet_masters_Theme3_sin_trans_T4500.png|в) <math>T = 45</math>
| |
− | Файл:Tcvet_masters_Theme3_sin_trans_T9000.png|г) <math>T = 90</math>
| |
− | Файл:Tcvet_masters_Theme3_sin_trans_T18000.png|д) <math>T = 180</math>
| |
− | Файл:Tcvet_masters_Theme3_sin_trans_T36035.png|е) <math>T = 360</math>
| |
− | </gallery>
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− | Чтобы более точно определить, насколько форма цепочки близка к форме синуса, посчитаем параметр <math>E^*</math> --- отношение полной механической энергии <math>E</math> к начальной полной механической энергии <math>E_0</math> по следующей формуле:
| |
− |
| |
− | :<math>
| |
− | E^* = \left(\frac{\int\limits_{L} v(x)\sin\(\frac{2\pi x}{L}\)\,dx}
| |
− | {A\int\limits_{L} \sin^2\(\frac{2\pi x}{L}\)\,dx}\right)^2
| |
− | + \left(\frac{\int\limits_{L} D(x)\cos\(\frac{2\pi x}{L}\)\,dx}
| |
− | {A\int\limits_{L} \sin^2\(\frac{2\pi x}{L}\)\,dx}\right)^2.
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− | <math>E^* \in [0, 1]</math>. Чем больше параметр <math>E^*</math>, тем больше форма кристалла похожа на синус.
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
| ==== Анализ решения задачи на большом отрезке времени ==== | | ==== Анализ решения задачи на большом отрезке времени ==== |
− | Время в данной главе измеряется в количестве осцилляций синуса. Под этим подразумевается время, за которое любая движущаяся со временем точка графика скорости кристалла совершит полное колебание. На рисунке ниже продемонстрирована одна осцилляция синуса.
| |
− |
| |
− | <gallery caption="T --- период осцилляции синуса" perrow=3 widths="250px" heights="250px">
| |
− | Файл:Tcvet_masters_Theme3_sin_T0.png|а) <math>T = 0</math>
| |
− | Файл:Tcvet_masters_Theme3_sin_T75.png|б) <math>T = 0.125</math>
| |
− | Файл:Tcvet_masters_Theme3_sin_T150.png|в) <math>T = 0.25</math>
| |
− | Файл:Tcvet_masters_Theme3_sin_T225.png|г) <math>T = 0.375</math>
| |
− | Файл:Tcvet_masters_Theme3_sin_T300.png|д) <math>T = 0.5</math>
| |
− | Файл:Tcvet_masters_Theme3_sin_T600.png|е) <math>T = 1</math>
| |
− | </gallery>
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− | Использованы следующие параметры системы: амплитуда <math>A = 0.01</math>, количество частиц <math>N = 100</math>;
| |
− |
| |
− | По графику ниже видно, что через некоторое время система возвращается к состоянию, близкому к начальному. Это означает, что распределение скоростей вновь приобретает форму синуса. Также видно, что система возвращается к начальному состоянию не на <math>100\%</math>, а с некоторым отклонением.
| |
− |
| |
− | [[Файл: Tcvet_masters_Theme3_Temperature_short.png|600px|Результаты]]
| |
− |
| |
− |
| |
− | На рисунке ниже изображен тот же график, но на больший промежуток времени. По нему можно определить, в какой момент и насколько (относительно) распределение скоростей в цепочке было максимально похоже на начальное. Видно, что высота пика не снижается постоянно, а меняется по определенному закону.
| |
− |
| |
− | [[Файл: Tcvet_masters_Theme3_Temperature_long.png|600px|Результаты, большое <math>T</math>]]
| |
− |
| |
| ==== Зависимость времени возвращения кристалла к начальному состоянию от количества частиц и амплитуды синуса ==== | | ==== Зависимость времени возвращения кристалла к начальному состоянию от количества частиц и амплитуды синуса ==== |
− |
| |
− | При фиксированной амплитуде имеется линейная зависимость между количеством частиц в цепочке и временем, требуемым для возвращения синуса к начальному состоянию (время измеряется в периоде колебаний синуса).
| |
− |
| |
− | Амплитуда <math>A = 0.01</math>.
| |
− |
| |
− | Для того, чтобы глубже понять характер зависимости между временем, требуемым для возвращения кристалла к начальному состоянию, количеством частиц и амплитудой синуса, рассчитаны значения <math>T(N)</math> для разных амплитуд. Графики зависимостей <math>T(N)</math> представлены на рисунке ниже:
| |
− |
| |
− | [[Файл: Tcvet_masters_Theme3_time_reverse(N,A)_6_lines.png|600px|<math>T(N)</math> для различных значений амплитуды]]
| |
− |
| |
− | По рисунку видно, что при увеличении амплитуды синуса время, требуемое на возврат системы к начальному состоянию уменьшается.
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
| ==== Высота второго пика ==== | | ==== Высота второго пика ==== |
− | На рисунке ниже показана зависимость высоты второго пика функции <math>E^*(T)</math> от количества частиц в цепочке. Амплитуда <math>A = 0.01</math>.
| |
− | Под вторым пиком подразумевается второй по времени локальный максимум функции <math>E^*(T)</math>, который означает, что после преобразования механической энергии кристалла в тепловую, произошло обратное преобразование, и тепловая энергия кристалла в максимальной степени преобразовалась в механическую. В этот момент распределение скоростей в кристалле вновь приобретает форму синуса.
| |
− |
| |
− | По графику можно предположить, что с увеличением количества частиц значение асимптотически стремится к нулю, но рассчитать его для большего <math>N</math> затруднительно, т.к. время, требуемое на расчет такой системы, растет нелинейно с увеличением количества частиц в цепочке.
| |
− |
| |
− | [[Файл: Tcvet_masters_Theme3_second_peak_height.png|600px|Высота второго пика от <math>N</math>]]
| |
− |
| |
| === Стохастическая задача === | | === Стохастическая задача === |
− | | + | ==== Начальные условия ==== |
| + | ==== Время перехода механической энергии в тепловую ==== |
| == Заключение == | | == Заключение == |
− | Рассчитан одномерный кристалл, нагретый с помощью ультракороткого лазерного импульса. Проведено сравнение трех решений:
| |
− |
| |
− | * решения стохастической задачи, где одномерный кристалл представлен как цепочка частиц, для которых задается масса, жесткость и температура как дисперсия скоростей частиц.
| |
− | * решения дифференциального уравнения, взятого из <ref name="krivtsov_1dcrystal_2014"/>
| |
− | * аналитического решения из <ref name="babenkov_tcvetkov"/>.
| |
− |
| |
− | Полученное решение стохастической задачи совпадает с решением дифференциального уравнения и аналитическим решением с точностью до малых тепловых осцилляций.
| |
− |
| |
− | Исследована задача о переходе механической энергии в тепловую и обратно в нелинейном одномерном кристалле.
| |
− | Заданная изначально механическая энергия в нелинейном одномерном кристалле постепенно переходит в тепловую. Если кристалл достаточно короткий, то через некоторое время происходит обратная трансформация энергии --- некоторая часть тепловой энергии переходит обратно в механическую.
| |
− |
| |
− | Чем длиннее кристалл, тем дольше нужно ждать обратной трансформации энергии, и тем меньше тепловой энергии перейдет обратно в механическую.
| |
− |
| |
− | Время <math>T_r</math>, требуемое на то, чтобы тепловая энергия трансформировалась обратно в механическую, зависит от начальных условий. Если распределение скоростей в кристалле задано с помощью синусоиды, то <math>T_r</math> обратно пропорционально амплитуде её колебаний.
| |
− |
| |
− | == Список использованной литературы==
| |
− |
| |
− | <references>
| |
− | <ref name="krivtsov_1dcrystal_2014">Кривцов А.М. Колебания энергий в одномерном кристалле.
| |
− | --- Доклады Академии Наук, 2014, том 458, №3, с. 279-281.</ref>
| |
− | <ref name="babenkov_tcvetkov">Бабенков М.Б., Цветков Д.В. Распространие тепла в линейном одномерном кристалле.
| |
− | --- в печати.</ref>
| |
− | <ref name="Putilov1963">Путилов К.А. Курс физики. Том III. Оптика. Атомная физика. Ядерная физика.
| |
− | --- М.: ГИ ФМЛ, 1963, 636 с.</ref>
| |
− |
| |
− | </references>
| |
− |
| |
− | [[Category: Проект "Термокристалл"]]
| |