Текущая версия |
Ваш текст |
Строка 1: |
Строка 1: |
− | [[А.М. Кривцов]] > [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретическая механика]] > [[Курсовые проекты ТМ 2014|Курсовые проекты 2014]] > '''Разрезание ножом яблока в процессе полета ''' <HR>
| |
− | [[File:Apple.jpg|thumb|Разрезаемое яблоко|800px]]
| |
− |
| |
− | '''''Курсовой проект по [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретической механике]]'''''
| |
− |
| |
− | '''Исполнитель:''' [[Бондарев Сергей]]
| |
− |
| |
− | '''Группа:''' [[Группа 08|08]] (23604)
| |
− |
| |
− | '''Семестр:''' весна 2014
| |
| == Аннотация проекта == | | == Аннотация проекта == |
| Проект направлен на изучение взаимодействия ножа и яблока в гравитационном поле Земли. | | Проект направлен на изучение взаимодействия ножа и яблока в гравитационном поле Земли. |
− | == Постановка задачи ==
| |
− | - Математически рассчитать благоприятные для разрезания яблока случаи <p>
| |
− | == Общие сведения по теме ==
| |
− | Рассматриваются различные случаи взаимодействия ножа и яблока в полете. Яблоко падает с какой-то высоты <math>xo</math>, без начальной скорости. Одновременно с ним падает нож, лезвием вниз, перпендикулярно земле. К ножу прикладывается сила F, начальная скорость Vo, дана масса ножа m и масса яблока М, диаметр яблока D. Сила сопротивления со стороны яблока в точке соприкосновения лезвия ножа с яблоком P.
| |
− | Нож разрезает яблоко строго по диаметру.<p> Нас интересуют те случаи, когда яблоко будет полностью разрезано до падения на землю или в крайнем случае в момент его соприкосновения с землей.</p>
| |
− |
| |
− | Уравнение движения ножа : <math>mx" = F - P + Mg</math> (*). Ось x направлена к земле.
| |
− | Уравнение движения яблока : <math>y = gt^2</math>
| |
− |
| |
− | Обозначим <math>F - P + Mg</math> за k для уменьшения объема вычислений.<p>
| |
− | </p><p>'''1 Случай.''' <math>k < 0</math> -> <math>P > F + Mg</math>. Это случай отскока ножа от яблока.</p>
| |
− | '''2 Случай.''' <math>k = 0 -> P = F + Mg</math> - равномерное разрезание яблока.
| |
− | <math>mx' = mVo -> x' = Vo = const</math>
| |
− | Теперь мы можем проинтегрировать по t, подставив взамен константы mxo ( решив задачу Коши с начальными <math>x'|t=0 = Vo</math> ).<p></p>
| |
− | <math>mx = mVot + mxo</math> -> <math> x = Vot - xo</math> .
| |
− | Рассчитав время падения яблока <math>tпад = \sqrt{((2/g)* (xo - D ))}</math> мы можем смело заявить, при каких начальных скоростях возможен полный разрез яблока до его падения, а при каких - яблоко будет разрезано лишь на какую-то часть.<p>
| |
− | <math>f(Vo,D,xo) = Vo - gD^2/2(xo-D)</math> (**)</p><p>
| |
− | Если <math>Vo - gD^2/2(xo-D) > 0</math> - наблюдаем полный разрез яблока до падения. </p>
| |
− | <math>Vo - gD^2/2(xo-D) < 0</math> - наблюдаем неполный разрез.
| |
− |
| |
− | '''3 Случай.''' <math>k > 0 -> P < F + Mg</math> - разрез будет проводиться с ускорением.
| |
− | Дважды проинтегрируем уравнение (*) по времени t : <math>mx = kt^2/2 + mVot - mxo</math> <p></p>
| |
− | Осталось сравнить время разрезания яблока и время его падения :
| |
− | <math>m(-Vo + \sqrt{(Disc))/2k}</math> и <math>\sqrt{((2/g)*(xo - D))}</math> , где <math>Disc = Vo^2 + 2D*k/m</math>
| |
− |
| |
− |
| |
− | '''Окончательное уравнение, зависящее от''' <math>Vo,D,F,P,M,m,xo</math> :
| |
− |
| |
− | <math>f(Vo,D,F,P,M,m,xo) = 2D*k/m-8(xo-D)*k^2/(m^2*g) + 4Vo*k*\sqrt{(2*(xo-D)/g)}/ m</math> (***)
| |
− |
| |
− | Теперь рассмотрим частные случаи.
| |
− | 1) <math>F = 0</math>, то есть нож опускается с начальной скоростью, но без применения начальной силы. Тогда обозначив за <math>k` = Mg - P</math>, мы решаем те же уравнения, подставляя вместо <math>k</math> значение <math>k`</math> <p>
| |
− | 2) <math>V0 = 0</math> - нож летит без начальной скорости и без приложенной к нему силы, он будет лететь наравне с яблоком, так никогда не разрезав его.</p>
| |
− | 3) Если мы полагаем массу ножа <math>M</math> много больше массы яблока <math>m</math>, и достаточно большой, чтобы <math>к</math> было положительным, то получаем, что яблоко будет разрезано в полете, в случае, когда
| |
− |
| |
− | <math>M > (2D/m + 4Vо/m * \sqrt{(2(xо-D)/g)})*m^2/8(xo-D) + (P-F)/g
| |
− | </math><p>
| |
− | 4) Найдем те значения начальной скорости ножа <math>Vо</math>, при которых яблоко будет разрезано до конца.
| |
− | Полагая, что <math>k > 0</math> :
| |
− | <math>Vо < (8(xo-D)*k/(m^2*g) - 2D/m) * m/(4*\sqrt{(2(x0-D)/g)}).</math></p>
| |
− | Но начальная скорость ножа не может быть отрицательной, поэтому выполняется условие <math>Vо > 0</math><p>
| |
− | То есть <math>(8(xo-D)*k/(m^2*g) - 2D/m) > 0</math> или после приведения подобных
| |
− | <math>D < 4xо*k/(mg + 4k)</math>
| |
− |
| |
− | == Результат ==
| |
− | В результате проведенных исследований, мы можем, подставляя конкретные числа в уравнение (**) и (***), просчитать наиболее благоприятный размер яблока, подобрать начальную высоту или взять очень тяжелый нож для необходимых результатов.
| |
− |
| |
− | == Дальнейшее развитие проекта ==
| |
− |
| |
− | В будущем планируется усложнить систему, используя систему яблоко-пружина как на покоящейся плоскости, так и в воздухе.
| |