Редактирование: Разрезание ножом яблока в процессе полета

[[А.М. Кривцов]] > [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретическая механика]] > [[Курсовые проекты ТМ 2014|Курсовые проекты 2014]] > '''Разрезание ножом яблока в процессе полета ''' <HR>
[[File:Apple.jpg|thumb|Разрезаемое яблоко|800px]]

'''''Курсовой проект по [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретической механике]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Бондарев Сергей]]

'''Группа:''' [[Группа 08|08]] (23604)

'''Семестр:''' весна 2014
== Аннотация проекта ==
Проект направлен на изучение взаимодействия ножа и яблока в гравитационном поле Земли.
== Постановка задачи ==
- Математически рассчитать благоприятные для разрезания  яблока случаи <p>
== Общие сведения по теме == 
Рассматриваются различные случаи взаимодействия ножа и яблока в полете. Яблоко падает с какой-то высоты <math>xo</math>, без начальной скорости. Одновременно с ним падает нож, лезвием вниз, перпендикулярно земле. К ножу прикладывается сила F, начальная скорость Vo, дана масса ножа m и масса яблока М, диаметр яблока D. Сила сопротивления со стороны яблока в точке соприкосновения лезвия ножа с яблоком P.

Уравнение движения ножа : <math>mx" = F - P + Mg</math>  (*). Ось x направлена к земле.
Уравнение движения яблока : <math>y = gt^2</math>

Обозначим <math>F - P + Mg</math> за k для уменьшения объема вычислений.<p>
</p><p>'''1 Случай.'''  <math>k < 0</math> -> <math>P > F + Mg</math>. Это случай отскока ножа от яблока.</p>
'''2 Случай.''' <math>k = 0 -> P = F + Mg</math>    - равномерное разрезание яблока.
<math>mx' = mVo  -> x' = Vo = const</math>
Теперь мы можем проинтегрировать по t, подставив взамен константы mxo ( решив задачу Коши с начальными <math>x'|t=0 = Vo</math> ).<p></p>
<math>mx = mVot + mxo</math> -> <math> x = Vot - xo</math> . 
Рассчитав время падения яблока <math>tпад = \sqrt{((2/g)* (xo - D ))}</math>  мы можем смело заявить, при каких начальных скоростях возможен полный разрез яблока до его падения, а при каких - яблоко будет разрезано лишь на какую-то часть.<p>
<math>f(Vo,D,xo) = Vo - gD^2/2(xo-D)</math> (**)</p><p>
Если <math>Vo - gD^2/2(xo-D) > 0</math> - наблюдаем полный разрез яблока до падения. </p>
<math>Vo - gD^2/2(xo-D) < 0</math> - наблюдаем неполный разрез.

'''3 Случай.''' <math>k > 0 -> P < F + Mg</math>   - разрез будет проводиться с ускорением.
Дважды проинтегрируем уравнение (*) по времени t : <math>mx = kt^2/2 + mVot - mxo</math> <p></p>
Осталось сравнить время разрезания яблока и время его падения :
<math>m(-Vo + \sqrt{(Disc))/2k}</math>  и <math>\sqrt{((2/g)*(xo - D))}</math> , где <math>Disc = Vo^2 + 2D*k/m</math>


'''Окончательное уравнение, зависящее от''' <math>Vo,D,F,P,M,m,xo</math> :

<math>F(Vo,D,F,P,M,m,xo) = 2D*k/m-8(xo-D)*k^2/(m^2*g) + 4Vo*k*\sqrt{(2*(xo-D)/g)}/ m</math>                  (***)

Теперь рассмотрим частные случаи.
1) <math>F = 0</math>, то есть нож опускается с начальной скоростью, но без применения начальной силы. Тогда обозначив за <math>k` = Mg - P</math>, мы решаем те же уравнения, подставляя вместо <math>k</math> значение <math>k`</math> <p>
2) <math>V0 = 0</math> - нож летит без начальной скорости и без приложенной к нему силы, он будет лететь наравне с яблоком, так никогда не разрезав его.</p>
3) Если мы полагаем массу ножа <math>M</math> много больше массы яблока <math>m</math>, и достаточно большой, чтобы <math>к</math> было положительным, то получаем, что яблоко будет разрезано в полете, в случае, когда

<math>M > (2D/m + 4Vо/m * \sqrt{(2(xо-D)/g)})*m^2/8(xo-D) + (P-F)/g
</math><p>
4) Найдем те значения начальной скорости ножа <math>Vо</math>, при которых яблоко будет разрезано до конца. 
Полагая, что <math>k > 0</math> :
<math>Vо < (8(xo-D)*k/(m^2*g) - 2D/m) * m/(4*\sqrt{(2(x0-D)/g)}).</math></p>
Но начальная скорость ножа не может быть отрицательной, поэтому выполняется условие <math>Vо > 0</math><p>
То есть <math>(8(xo-D)*k/(m^2*g) - 2D/m) > 0</math> или после приведения подобных
<math>D < 4xо*k/(mg + 4k)</math>

== Результат ==
В результате проведенных исследований, мы можем, подставляя конкретные числа в уравнение (**) и (***), просчитать наиболее благоприятный размер яблока, подобрать начальную высоту или взять очень тяжелый нож для необходимых результатов.

== Дальнейшее развитие проекта ==

В будущем планируется усложнить систему, используя систему яблоко-пружина как на покоящейся плоскости, так и в воздухе.