Редактирование: Преобразование механической энергии в тепловую в одномерном кристалле
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''''Выпускная квалификационная работа''''' | '''''Выпускная квалификационная работа''''' | ||
− | |||
− | |||
'''Выполнил:''' студент группы 43604/1 [[Старобинский Егор|Е. Б. Старобинский]] | '''Выполнил:''' студент группы 43604/1 [[Старобинский Егор|Е. Б. Старобинский]] | ||
− | ''' | + | '''Руководитель:''' доктор физ.-мат. наук, член-корр. РАН [[Кривцов Антон | А. М. Кривцов]] |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== Введение == | == Введение == | ||
Строка 266: | Строка 259: | ||
где <math>T_0</math> — значение температуры при <math>t = 0</math>. | где <math>T_0</math> — значение температуры при <math>t = 0</math>. | ||
− | Перепишем выражение | + | Перепишем выражение~(\ref{vTemp2Average}): |
<math> | <math> | ||
Строка 300: | Строка 293: | ||
Тогда значение <math>\sigma_{v}^{2} = 10</math> можно трактовать следующим образом: при <math>t~=~0</math> энергия теплового шума в кристалле в <math>10</math> раз превосходит механическую энергию волны. | Тогда значение <math>\sigma_{v}^{2} = 10</math> можно трактовать следующим образом: при <math>t~=~0</math> энергия теплового шума в кристалле в <math>10</math> раз превосходит механическую энергию волны. | ||
− | + | Перепишем~(\ref{vTemp}) с учётом соотношения~(\ref{initialTemp}): | |
<math> | <math> | ||
Строка 309: | Строка 302: | ||
</math> | </math> | ||
− | Таким образом, были получены выражения для обеих компонент скорости: скорость механической волны задаётся | + | Таким образом, были получены выражения для обеих компонент скорости: скорость механической волны задаётся функцией~(\ref{initialMechanicalVelocity1}), тепловой шум определяется функцией (\ref{initialThermalVelocity}). Итоговое условие на начальные скорости в кристалле принимает следующий вид: |
<math> | <math> | ||
Строка 317: | Строка 310: | ||
</math> | </math> | ||
− | Начальные перемещения задаются | + | Начальные перемещения при рассмотрении бегущей волны задаются формулой~(\ref{initialMechanicalDisplacement1}), при рассмотрении стоячей — формулой~(\ref{initialMechanicalDisplacement2}) |
=== Вычисление механической энергии === | === Вычисление механической энергии === | ||
Строка 374: | Строка 367: | ||
</math> | </math> | ||
− | Интеграл в | + | Интеграл в формуле (\ref{initialPotentialEnergy}) равен нулю в случае стоячей волны (в начальный момент времени нет деформаций). Покажем, что этот интеграл также будет равен нулю в случае бегущей волны: |
<math> | <math> | ||
Строка 395: | Строка 388: | ||
</math> | </math> | ||
− | + | Значение (\ref{initialMechanicalEnergy}) выберем в качестве масштаба энергии. | |
Чтобы определить закон, по которому происходит переход механической энергии в тепловую, введём безразмерный параметр <math>E^*\!\left( x \right) = \frac{E\!\left( x \right)}{E\!\left( x \right)|_{t=0}}</math> — нормированное значение механической энергии цепочки: | Чтобы определить закон, по которому происходит переход механической энергии в тепловую, введём безразмерный параметр <math>E^*\!\left( x \right) = \frac{E\!\left( x \right)}{E\!\left( x \right)|_{t=0}}</math> — нормированное значение механической энергии цепочки: | ||
Строка 410: | Строка 403: | ||
=== Численное решение дифференциального уравнения === | === Численное решение дифференциального уравнения === | ||
− | Для решения системы уравнений движения | + | Для решения системы уравнений движения~(\ref{chainEquations}) воспользуемся методом центральных разностей. Перепишем граничные условия~(\ref{boundaryConditions}): |
<math> | <math> | ||
Строка 420: | Строка 413: | ||
где <math>N \gg 1</math> — число независимых частиц. | где <math>N \gg 1</math> — число независимых частиц. | ||
− | Вычисление правой части | + | Вычисление правой части~(\ref{chainEquations}) аналогично решению с помощью разностной схемы. Рассчитанные таким образом ускорения частиц пересчитываем в скорости: |
<math> | <math> | ||
Строка 488: | Строка 481: | ||
|} | |} | ||
− | Значения параметров проводимых экспериментов приведены в таблицах | + | Значения параметров проводимых экспериментов приведены в таблицах~\ref{standingWaveParameters} и~\ref{runningWaveParameters}. Моделируемое время ограничено: <math>0 \leq t \leq 7 \cdot 10^4~T_0</math>. |
== Результаты == | == Результаты == | ||
Строка 518: | Строка 511: | ||
где <math>\beta</math> — функция от <math>\sigma_v^2</math>, <math>\alpha</math> — функция от <math>\sigma_v^2</math> и <math>\lambda</math>. | где <math>\beta</math> — функция от <math>\sigma_v^2</math>, <math>\alpha</math> — функция от <math>\sigma_v^2</math> и <math>\lambda</math>. | ||
− | В рамках гипотезы <math>\beta</math> имеет определённое значение для каждого значения <math>\sigma_v^2</math>. При <math>\sigma_v^2 = 0</math> показатель <math>\beta = 2</math><ref name="presTsvetkovAPM16"/>, по мере же увеличения <math>\sigma_v^2</math>, согласно рисунку | + | В рамках гипотезы~(\ref{expectationTauBeta}) <math>\beta</math> имеет определённое значение для каждого значения <math>\sigma_v^2</math>. При <math>\sigma_v^2 = 0</math> показатель <math>\beta = 2</math><ref name="presTsvetkovAPM16"/>, по мере же увеличения <math>\sigma_v^2</math>, согласно рисунку~\ref{standingWave}, величина <math>\beta</math> должна уменьшаться. |
− | Если | + | Если выражение~(\ref{expectationTauBeta}) верно, то показатель <math>\beta</math> в зависимости от величины теплового шума можно определить, перестроив график энергии~\ref{standingWave} в логарифмических осях. |
<math> | <math> | ||
Строка 535: | Строка 528: | ||
</math> | </math> | ||
− | Обозначим <math>\ln\!\left(\tau\right)</math> за <math>x</math>, а <math>\ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right)</math> за <math>y</math>, тогда уравнение сводится к линейному. Угол наклона прямой в осях <math>\left(\ln\!\left(\tau\right); \ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right) \right)</math>, выраженный в радианах, будет численно равен <math>\beta</math> для определённого значения дисперсии. | + | Обозначим <math>\ln\!\left(\tau\right)</math> за <math>x</math>, а <math>\ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right)</math> за <math>y</math>, тогда уравнение~(\ref{expectationTauBetaLine}) сводится к линейному. Угол наклона прямой в осях <math>\left(\ln\!\left(\tau\right); \ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right) \right)</math>, выраженный в радианах, будет численно равен <math>\beta</math> для определённого значения дисперсии. |
<math> | <math> | ||
Строка 546: | Строка 539: | ||
[[File:StarobinskiiThesis4.png|framed|center|Рисунок 4. Изменение механической энергии стоячей волны с течением времени в логарифмических осях]] | [[File:StarobinskiiThesis4.png|framed|center|Рисунок 4. Изменение механической энергии стоячей волны с течением времени в логарифмических осях]] | ||
− | Соответствующее преобразование графика энергии приведено на рисунке 4. Получившиеся функции успешно аппроксимируются наклонными прямыми, что подтверждает высказанную | + | Соответствующее~(\ref{expectationTauBetaLine}) преобразование графика энергии приведено на рисунке 4. Получившиеся функции успешно аппроксимируются наклонными прямыми, что подтверждает высказанную гипотезу~(\ref{expectationTauBeta}). |
[[File:StarobinskiiThesis5.png|framed|center|Рисунок 5. Значения <math>\beta</math> при разных значениях дисперсии, стоячая волна]] | [[File:StarobinskiiThesis5.png|framed|center|Рисунок 5. Значения <math>\beta</math> при разных значениях дисперсии, стоячая волна]] | ||
− | Найденные значения <math>\beta</math> приведены на рисунке | + | Найденные значения <math>\beta</math> приведены на рисунке~\ref{standingWaveBeta}. Тепловая энергия в реальном материале может превосходить механическую на несколько порядков. Чтобы оценить значение <math>\beta</math> в таком случае, построим аппроксимацию этого графика и определим предельное значение показателя при условии <math>\sigma_v^2 \rightarrow \infty</math>. |
− | + | Перестроим график из осей <math>\left(\sigma_{v}^{2} ; \beta \right)</math> в <math>\left(\ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right) ; \ln\!\left(\beta - 1\right) \right)</math>. Результат приведён на рисунке~\ref{standingWaveBetaLog}. Начиная с <math>x = 1.5</math> значения могут быть аппроксимированы прямой: | |
− | |||
− | Перестроим график из осей <math>\left(\sigma_{v}^{2} ; \beta \right)</math> в <math>\left(\ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right) ; \ln\!\left(\beta - 1\right) \right)</math>. Результат приведён на рисунке | ||
<math> | <math> | ||
Строка 565: | Строка 556: | ||
где <math>x = \ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right)</math>, <math>y = \ln\!\left(\beta\right)</math>. | где <math>x = \ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right)</math>, <math>y = \ln\!\left(\beta\right)</math>. | ||
− | Выражая | + | Выражая из~(\ref{standingWaveApproximation}) функцию <math>\beta</math>, получаем следующее: |
<math> | <math> | ||
Строка 575: | Строка 566: | ||
где <math>\sigma_{v}</math> — среднеквадратическое отклонение скоростей частиц, отнесённое к своему начальному значению (при <math>\tau~=~0</math>). | где <math>\sigma_{v}</math> — среднеквадратическое отклонение скоростей частиц, отнесённое к своему начальному значению (при <math>\tau~=~0</math>). | ||
+ | |||
+ | [[File:StarobinskiiThesis6.png|framed|center|Рисунок 6. Значения функции <math>\beta \! \left(\sigma_{v}^{2} \right)</math> в логарифмических осях, стоячая волна]] | ||
[[File:StarobinskiiThesis7.png|framed|center|Рисунок 7. Аппроксимация графика <math>\beta</math>, стоячая волна]] | [[File:StarobinskiiThesis7.png|framed|center|Рисунок 7. Аппроксимация графика <math>\beta</math>, стоячая волна]] | ||
Строка 590: | Строка 583: | ||
</math> | </math> | ||
− | Можно считать, для больших значений <math>\sigma_{v}^{2}</math> механическая энергия будет переходить в тепловую по закону <math>E^* = e^{-\alpha \tau}</math>. Сходимость <math>\beta</math> к единице также видна на рисунке | + | Можно считать, для больших значений <math>\sigma_{v}^{2}</math> механическая энергия будет переходить в тепловую по закону <math>E^* = e^{-\alpha \tau}</math>. Сходимость <math>\beta</math> к единице также видна на рисунке~\ref{standingWaveBetaApproximation} (снизу). Уже при <math>\sigma_{v} = 12 \cdot 10^3</math> ошибка в определении <math>\beta</math> единицей составит менее процента. |
[[File:StarobinskiiThesis9.png|framed|center|Рисунок 9. Аппроксимация графика <math>\alpha</math>, стоячая волна]] | [[File:StarobinskiiThesis9.png|framed|center|Рисунок 9. Аппроксимация графика <math>\alpha</math>, стоячая волна]] | ||
− | Исследуем поведение <math>\alpha</math> в зависимости от величины теплового шума. Для этого воспользуемся уравнениями прямых, полученных аппроксимацией механической энергии <math>E^*</math> в логарифмических осях (см. рисунок | + | Исследуем поведение <math>\alpha</math> в зависимости от величины теплового шума. Для этого воспользуемся уравнениями прямых, полученных аппроксимацией механической энергии <math>E^*</math> в логарифмических осях (см. рисунок~\ref{standingWaveBetaLog}). Подставив в уравнение (\ref{lineEquation}) <math>x = 0</math>, определим значения <math>\ln\!\left(\alpha\right)</math> как функции от <math>\sigma_{v}^{2}</math>. Результат приведён на рисунке 9. Была получена следующая формула для аппроксимации <math>\alpha</math>: |
<math> | <math> | ||
Строка 603: | Строка 596: | ||
</math> | </math> | ||
− | Аналогично выражению для <math>\beta</math>, | + | Аналогично выражению для <math>\beta</math>, уравнение \ref{standingWaveAlpha} имеет предельное значение при <math>\sigma_{v}^{2}~\to~\infty</math>: |
<math> | <math> | ||
Строка 646: | Строка 639: | ||
где <math>E</math> — модуль Юнга, <math>\rho</math> — плотность, <math>2 \gamma</math> — безразмерный коэффициент при диссипативном члене, <math>x</math> — безразмерная переменная расстояния. | где <math>E</math> — модуль Юнга, <math>\rho</math> — плотность, <math>2 \gamma</math> — безразмерный коэффициент при диссипативном члене, <math>x</math> — безразмерная переменная расстояния. | ||
− | Решение дифференциального уравнения имеет вид: | + | Решение дифференциального уравнения~(\ref{oscillationEquation}) имеет вид: |
<math> | <math> | ||
Строка 657: | Строка 650: | ||
где <math>\omega_{c} = k_{c} \sqrt{\frac{E T_{0}^{2}}{\rho a^2} - \gamma}</math>, <math>k_{c} = \frac{a}{2} k</math>, <math>A_{c} = \frac{a}{T0} A</math>. | где <math>\omega_{c} = k_{c} \sqrt{\frac{E T_{0}^{2}}{\rho a^2} - \gamma}</math>, <math>k_{c} = \frac{a}{2} k</math>, <math>A_{c} = \frac{a}{T0} A</math>. | ||
− | Данный результат был представлен в работе К. Ю. Аристовича<ref>К. Ю. Аристович. Зависимость макроскопических параметров колебаний кристаллического стержня от микроструктуры. Труды XXI международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов», 2:23–35, 2006.</ref> и хорошо согласуется с формулой | + | Данный результат был представлен в работе К. Ю. Аристовича<ref>К. Ю. Аристович. Зависимость макроскопических параметров колебаний кристаллического стержня от микроструктуры. Труды XXI международной конференции «Математическое моделирование в механике сплошных сред. Методы граничных и конечных элементов», 2:23–35, 2006.</ref> и хорошо согласуется с формулой~(\ref{standingWaveEquation2}), переписанной в безразмерных величинах: |
<math> | <math> | ||
Строка 668: | Строка 661: | ||
где <math>\hat{\omega_{c}} = T_{0} \omega_{0}.</math> | где <math>\hat{\omega_{c}} = T_{0} \omega_{0}.</math> | ||
− | Сопоставим | + | Сопоставим решение~(\ref{oscillationEquationSolution}) с~(\ref{standingWaveEquation3}) и определим значений <math>\gamma</math>: |
<math> | <math> | ||
Строка 677: | Строка 670: | ||
Покажем необратимость преобразования механической энергии в тепловую. Парадокс Ферми-Паста-Улама продемонстрировал явление возврата формы и механической энергии волны<ref name="Fermi1965"/>. Обратный переход энергии цепочки в механическую энергию был описан для одномерного нелинейного кристалла без теплового движения<ref>Д. В. Цветков. Распределение тепла в одномерном кристалле. Диссертация магистра, pages 19–23, 2015.</ref>. Такой переход также был экспериментально получен в данной работе. Рассмотрим влияние теплового шума на этот процесс. | Покажем необратимость преобразования механической энергии в тепловую. Парадокс Ферми-Паста-Улама продемонстрировал явление возврата формы и механической энергии волны<ref name="Fermi1965"/>. Обратный переход энергии цепочки в механическую энергию был описан для одномерного нелинейного кристалла без теплового движения<ref>Д. В. Цветков. Распределение тепла в одномерном кристалле. Диссертация магистра, pages 19–23, 2015.</ref>. Такой переход также был экспериментально получен в данной работе. Рассмотрим влияние теплового шума на этот процесс. | ||
+ | |||
+ | На рисунке 10 можно заметить дополнительный изгиб графика энергии <math>E^*\!\left(T\right)</math> при малых значениях <math>\sigma_v^2</math>. Так, для <math>\sigma_v^2 = 0</math> возврат механической энергии наблюдается примерно в диапазоне от <math>\tau=60</math> до <math>\tau=75</math>. Для <math>\sigma_v^2 = 1</math> этот диапазон уже: от <math>\tau=65</math> до <math>\tau=70</math>, при этом прирост энергии значительно меньше. Для высоких значений <math>\sigma_v^2</math> обратный переход энергии не удаётся продемонстрировать. Можно утверждать, что процесс преобразования механической энергии в тепловую в больших системах с высокими значениями отношения тепловой энергии к механической (соответствует реальным системам) является необратимым. | ||
[[File:StarobinskiiThesis10.png|framed|center|Рисунок 10. Изменение энергии стоячей волны]] | [[File:StarobinskiiThesis10.png|framed|center|Рисунок 10. Изменение энергии стоячей волны]] | ||
− | |||
− | |||
=== Преобразование механической энергии бегущей волны === | === Преобразование механической энергии бегущей волны === | ||
Строка 724: | Строка 717: | ||
[[File:StarobinskiiThesis15.png|framed|center|Рисунок 16. Сравнение значений <math>\beta</math> для стоячей волны (в масштабе 4:1) и для бегущей волны]] | [[File:StarobinskiiThesis15.png|framed|center|Рисунок 16. Сравнение значений <math>\beta</math> для стоячей волны (в масштабе 4:1) и для бегущей волны]] | ||
− | |||
− | |||
Также одним из результатов поставленных компьютерных экспериментов является обнаружение влияния теплового шума на развал скорости задаваемой механической волны. В случае нулевой дисперсии (<math>\sigma_v^2 = 0</math>) наклон графика скорости волны возрастает вплоть до критического значения, после чего образуется дополнительный колебательный процесс (рисунок 19, слева). Свойства этого процесса были изучен<ref>С. Д. Александров. Исследование свойств солитона в нелинейном одномерном кристалле. Выпускная квалификационная работа, pages 13–18, 2016.</ref>. Однако увеличение <math>\sigma_v^2</math>, как было показано ранее, приводит к росту скорости убывания энергии волны и, как следствие, качественно влияет на процесс развала (рисунок 19, справа). | Также одним из результатов поставленных компьютерных экспериментов является обнаружение влияния теплового шума на развал скорости задаваемой механической волны. В случае нулевой дисперсии (<math>\sigma_v^2 = 0</math>) наклон графика скорости волны возрастает вплоть до критического значения, после чего образуется дополнительный колебательный процесс (рисунок 19, слева). Свойства этого процесса были изучен<ref>С. Д. Александров. Исследование свойств солитона в нелинейном одномерном кристалле. Выпускная квалификационная работа, pages 13–18, 2016.</ref>. Однако увеличение <math>\sigma_v^2</math>, как было показано ранее, приводит к росту скорости убывания энергии волны и, как следствие, качественно влияет на процесс развала (рисунок 19, справа). | ||
− | |||
− | |||
Нагляднее это влияние можно рассмотреть на рисунке 18, где приведено развитие скоростей механической волны для разных значений дисперсии по состоянию на один и тот же момент времени. При <math>\sigma_v^2 = 5</math> побочный колебательный процесс выражен неявно, а при <math>\sigma_v^2 = 20</math> вовсе отсутствует. Объясняется это тем, что затухание волны происходит слишком быстро, и наклон графика не достигает критического значения. | Нагляднее это влияние можно рассмотреть на рисунке 18, где приведено развитие скоростей механической волны для разных значений дисперсии по состоянию на один и тот же момент времени. При <math>\sigma_v^2 = 5</math> побочный колебательный процесс выражен неявно, а при <math>\sigma_v^2 = 20</math> вовсе отсутствует. Объясняется это тем, что затухание волны происходит слишком быстро, и наклон графика не достигает критического значения. | ||
При достаточно <math>\sigma_{v}^{2}</math> амплитуда волны продолжает падать, но форма остаётся практически неизменной. На рисунке 17 видно, что график скоростей в кристалле со значением <math>\sigma_v^2~=~7</math> и при <math>\tau~=~115.5</math> по форме близок к графику начального возмущения (см. рисунок 1). | При достаточно <math>\sigma_{v}^{2}</math> амплитуда волны продолжает падать, но форма остаётся практически неизменной. На рисунке 17 видно, что график скоростей в кристалле со значением <math>\sigma_v^2~=~7</math> и при <math>\tau~=~115.5</math> по форме близок к графику начального возмущения (см. рисунок 1). | ||
+ | |||
+ | [[File:StarobinskiiThesis16.png|framed|center|Рисунок 17. Сравнение значений <math>\alpha</math> для стоячей волны (в масштабе 4:1) и для бегущей волны]] | ||
+ | |||
+ | [[File:StarobinskiiThesis17.png|framed|center|Рисунок 18. Скорость механической волны на момент <math>\tau~=~115.5</math> для <math>\sigma_v^2~=~0</math> (слева) и <math>\sigma_v^2~=~7</math> (справа)]] | ||
+ | |||
[[File:StarobinskiiThesis18.png|framed|center|Рисунок 19. Скорость механической волны на момент <math>\tau = 27.0</math> для разных значений <math>\sigma_v^2</math>]] | [[File:StarobinskiiThesis18.png|framed|center|Рисунок 19. Скорость механической волны на момент <math>\tau = 27.0</math> для разных значений <math>\sigma_v^2</math>]] | ||
Строка 773: | Строка 767: | ||
Результаты работы были получены с использованием вычислительных ресурсов суперкомпьютерного центра Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. Каждый расчёт производился на отдельном ядре CPU с использованием технологии MPI, одновременно задействовалось <math>1000</math> ядер. Таким образом, для получения <math>5 \cdot 10^4</math> реализаций вычисления повторялись <math>50</math> раз, в среднем общее время моделирования для одного значения <math>\sigma^{2}_{v}</math> составило <math>20</math> минут при шаге <math>\Delta t = 0.05 T_0</math>, <math>6</math> часов при <math>\Delta t = 0.005 T_0</math> и <math>12</math> часов при <math>\Delta t = 0.0005 T_0</math> (<math>T_0</math> – заданный масштаб времени). | Результаты работы были получены с использованием вычислительных ресурсов суперкомпьютерного центра Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. Каждый расчёт производился на отдельном ядре CPU с использованием технологии MPI, одновременно задействовалось <math>1000</math> ядер. Таким образом, для получения <math>5 \cdot 10^4</math> реализаций вычисления повторялись <math>50</math> раз, в среднем общее время моделирования для одного значения <math>\sigma^{2}_{v}</math> составило <math>20</math> минут при шаге <math>\Delta t = 0.05 T_0</math>, <math>6</math> часов при <math>\Delta t = 0.005 T_0</math> и <math>12</math> часов при <math>\Delta t = 0.0005 T_0</math> (<math>T_0</math> – заданный масштаб времени). | ||
− | Автор благодарен | + | Автор благодарен Д. В. Цветкову за полезные обсуждения. |
== Список литературы == | == Список литературы == | ||
+ | <references> |