Редактирование: Преобразование механической энергии в тепловую в одномерном кристалле
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
'''''Выпускная квалификационная работа''''' | '''''Выпускная квалификационная работа''''' | ||
− | |||
− | |||
'''Выполнил:''' студент группы 43604/1 [[Старобинский Егор|Е. Б. Старобинский]] | '''Выполнил:''' студент группы 43604/1 [[Старобинский Егор|Е. Б. Старобинский]] | ||
− | ''' | + | '''Руководитель:''' доктор физ.-мат. наук, член-корр. РАН [[Кривцов Антон | А. М. Кривцов]] |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== Введение == | == Введение == | ||
Строка 31: | Строка 24: | ||
Рассмотрим модель одномерного кристалла: цепочку одинаковых частиц массы <math>m</math>, соединённых одинаковыми нелинейными пружинами (квадратичная нелинейность). | Рассмотрим модель одномерного кристалла: цепочку одинаковых частиц массы <math>m</math>, соединённых одинаковыми нелинейными пружинами (квадратичная нелинейность). | ||
− | Каждой частице присвоим свой целочисленный индекс. Принимая <math>u_k</math> за перемещение <math>k</math>-й частицы, а <math>C_1</math> и <math>C_2</math> — за коэффициенты при линейном и квадратичном членах в разложении силы взаимодействия | + | Каждой частице присвоим свой целочисленный индекс. Принимая <math>u_k</math> за перемещение <math>k</math>-й частицы, а <math>C_1</math> и <math>C_2</math> — за коэффициенты при линейном и квадратичном членах в разложении силы взаимодействия $k$-й частицы с двумя ближайшими соседями, получим следующее дифференциальное уравнение: |
<math> | <math> | ||
Строка 73: | Строка 66: | ||
</math> | </math> | ||
− | Воспользуемся | + | Воспользуемся заменой~(\ref{replace}), и тогда уравнения динамики цепочки примут следующий вид: |
<math> | <math> | ||
Строка 86: | Строка 79: | ||
Механическую энергию системы в начальный момент времени (то есть, при <math>t = 0</math>) будем задавать с помощью синусоидальной волны. Из-за теплового движения частиц волна будет терять свою форму, а её энергия перейдёт в тепловую энергию системы. Для описания этого процесса численно решим уравнения динамики кристалла. | Механическую энергию системы в начальный момент времени (то есть, при <math>t = 0</math>) будем задавать с помощью синусоидальной волны. Из-за теплового движения частиц волна будет терять свою форму, а её энергия перейдёт в тепловую энергию системы. Для описания этого процесса численно решим уравнения динамики кристалла. | ||
− | Чтобы замкнуть систему из <math>k</math> уравнений | + | Чтобы замкнуть систему из <math>k</math> уравнений~(\ref{chainEquations}), определим граничные условия, а также по <math>k</math> начальных условий на перемещения и скорости. Для задания начальных скоростей воспользуемся генератором случайных чисел с равномерным распределением. При этом дисперсию скоростей будем задавать в соответствии с требуемым температурным профилем. |
=== Начальные и граничные условия === | === Начальные и граничные условия === | ||
Строка 120: | Строка 113: | ||
где <math>A</math> — амплитуда колебаний, <math>k_0</math> — волновое число, <math>\phi</math> — фаза колебаний. | где <math>A</math> — амплитуда колебаний, <math>k_0</math> — волновое число, <math>\phi</math> — фаза колебаний. | ||
− | Величину <math>u\!\left(x\right)</math> на момент времени <math>t</math> получим интегрированием уравнения | + | Величину <math>u\!\left(x\right)</math> на момент времени <math>t</math> получим интегрированием уравнения~(\ref{runningWaveEquation1}): |
<math> | <math> | ||
Строка 139: | Строка 132: | ||
где <math>\lambda</math> — длина волны. | где <math>\lambda</math> — длина волны. | ||
− | Фазу колебаний <math>\phi</math> положим равной нулю и запишем уравнения | + | Фазу колебаний <math>\phi</math> положим равной нулю и запишем уравнения~(\ref{runningWaveEquation1}) и~(\ref{runningWaveEquation2}) для начального момента времени (<math>t=0</math>): |
<math> | <math> | ||
Строка 155: | Строка 148: | ||
</math> | </math> | ||
− | На рисунке | + | На рисунке~\ref{runningWaveInitialConditions} приведён график начальных перемещений и скоростей частиц кристалла при заданной бегущей волне. |
− | [ | + | <math> |
+ | \begin{figure}[ht!] | ||
+ | \center{\input{Data/InitialConditions/rw.tex}} | ||
+ | \caption{Начальные условия для бегущей волны} | ||
+ | \label{runningWaveInitialConditions} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
==== Начальные условия для стоячей волны ==== | ==== Начальные условия для стоячей волны ==== | ||
− | Начальные условия | + | Начальные условия~(\ref{initialMechanicalVelocity1}) и~(\ref{initialMechanicalDisplacement1}) позволяют задать бегущую волну. Получим подобные условия также для стоячей волны. Для этого рассмотрим две волны амплитуды <math>\frac{A}{2}</math>, бегущие в противоположных направлениях с разностью фаз <math>\pi</math>: |
<math> | <math> | ||
Строка 178: | Строка 177: | ||
</math> | </math> | ||
− | Аналогично, проинтегрируем | + | Аналогично, проинтегрируем уравнение~(\ref{standingWaveEquation1}) по времени <math>t</math>: |
<math> | <math> | ||
Строка 187: | Строка 186: | ||
</math> | </math> | ||
− | Подставляя в | + | Подставляя в~(\ref{standingWaveEquation1}) и~(\ref{standingWaveEquation2}) <math>k_0 = \frac{2 \pi}{L}</math> и <math>t = 0</math>, получим начальные условия для стоячей волны: |
<math> | <math> | ||
Строка 203: | Строка 202: | ||
</math> | </math> | ||
− | Соответствующий график начальных перемещений и скоростей частиц цепочки приведён на рисунке | + | Соответствующий график начальных перемещений и скоростей частиц цепочки приведён на рисунке~\ref{standingWaveInitialConditions}. |
− | [ | + | <math> |
+ | \begin{figure}[ht!] | ||
+ | \center{\input{Data/InitialConditions/sw.tex}} | ||
+ | \caption{Начальные условия для стоячей волны} | ||
+ | \label{standingWaveInitialConditions} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
− | Функции скоростей в начальный момент времени для бегущей и стоячей волн совпадают, различаются только начальные перемещения. | + | Функции скоростей в начальный момент времени для бегущей~(\ref{initialMechanicalVelocity1}) и стоячей~(\ref{initialMechanicalVelocity2}) волн совпадают, различаются только начальные перемещения. |
==== Начальные условия теплового движения ==== | ==== Начальные условия теплового движения ==== | ||
Строка 266: | Строка 271: | ||
где <math>T_0</math> — значение температуры при <math>t = 0</math>. | где <math>T_0</math> — значение температуры при <math>t = 0</math>. | ||
− | Перепишем выражение | + | Перепишем выражение~(\ref{vTemp2Average}): |
<math> | <math> | ||
Строка 300: | Строка 305: | ||
Тогда значение <math>\sigma_{v}^{2} = 10</math> можно трактовать следующим образом: при <math>t~=~0</math> энергия теплового шума в кристалле в <math>10</math> раз превосходит механическую энергию волны. | Тогда значение <math>\sigma_{v}^{2} = 10</math> можно трактовать следующим образом: при <math>t~=~0</math> энергия теплового шума в кристалле в <math>10</math> раз превосходит механическую энергию волны. | ||
− | + | Перепишем~(\ref{vTemp}) с учётом соотношения~(\ref{initialTemp}): | |
<math> | <math> | ||
Строка 309: | Строка 314: | ||
</math> | </math> | ||
− | Таким образом, были получены выражения для обеих компонент скорости: скорость механической волны задаётся | + | Таким образом, были получены выражения для обеих компонент скорости: скорость механической волны задаётся функцией~(\ref{initialMechanicalVelocity1}), тепловой шум определяется функцией (\ref{initialThermalVelocity}). Итоговое условие на начальные скорости в кристалле принимает следующий вид: |
<math> | <math> | ||
Строка 317: | Строка 322: | ||
</math> | </math> | ||
− | Начальные перемещения задаются | + | Начальные перемещения при рассмотрении бегущей волны задаются формулой~(\ref{initialMechanicalDisplacement1}), при рассмотрении стоячей — формулой~(\ref{initialMechanicalDisplacement2}) |
=== Вычисление механической энергии === | === Вычисление механической энергии === | ||
Строка 374: | Строка 379: | ||
</math> | </math> | ||
− | Интеграл в | + | Интеграл в формуле (\ref{initialPotentialEnergy}) равен нулю в случае стоячей волны (в начальный момент времени нет деформаций). Покажем, что этот интеграл также будет равен нулю в случае бегущей волны: |
<math> | <math> | ||
Строка 395: | Строка 400: | ||
</math> | </math> | ||
− | + | Значение (\ref{initialMechanicalEnergy}) выберем в качестве масштаба энергии. | |
Чтобы определить закон, по которому происходит переход механической энергии в тепловую, введём безразмерный параметр <math>E^*\!\left( x \right) = \frac{E\!\left( x \right)}{E\!\left( x \right)|_{t=0}}</math> — нормированное значение механической энергии цепочки: | Чтобы определить закон, по которому происходит переход механической энергии в тепловую, введём безразмерный параметр <math>E^*\!\left( x \right) = \frac{E\!\left( x \right)}{E\!\left( x \right)|_{t=0}}</math> — нормированное значение механической энергии цепочки: | ||
Строка 410: | Строка 415: | ||
=== Численное решение дифференциального уравнения === | === Численное решение дифференциального уравнения === | ||
− | Для решения системы уравнений движения | + | Для решения системы уравнений движения~(\ref{chainEquations}) воспользуемся методом центральных разностей. Перепишем граничные условия~(\ref{boundaryConditions}): |
<math> | <math> | ||
Строка 420: | Строка 425: | ||
где <math>N \gg 1</math> — число независимых частиц. | где <math>N \gg 1</math> — число независимых частиц. | ||
− | Вычисление правой части | + | Вычисление правой части~(\ref{chainEquations}) аналогично решению с помощью разностной схемы. Рассчитанные таким образом ускорения частиц пересчитываем в скорости: |
<math> | <math> | ||
Строка 448: | Строка 453: | ||
Для достоверного численного решения дифференциального уравнения относительно <math>\left(u\!\left(x\right), \dot u\!\left(x\right)\right)</math> длина цепочки должна стремиться к бесконечной, чтобы соответствовать модели идеального кристалла. При проведении численных экспериментов удовлетворительная точность расчётов достигалась на цепочках из 10 миллионов частиц и более. | Для достоверного численного решения дифференциального уравнения относительно <math>\left(u\!\left(x\right), \dot u\!\left(x\right)\right)</math> длина цепочки должна стремиться к бесконечной, чтобы соответствовать модели идеального кристалла. При проведении численных экспериментов удовлетворительная точность расчётов достигалась на цепочках из 10 миллионов частиц и более. | ||
− | Статистические характеристики системы также можно вычислить путём усреднения бесконечного множества реализаций (каждая реализация — задача Коши для цепочки). Благодаря этому подходу, предложенному в | + | Статистические характеристики системы также можно вычислить путём усреднения бесконечного множества реализаций (каждая реализация — задача Коши для цепочки). Благодаря этому подходу, предложенному в работах \cite{art1}, \cite{art2}, достигается эффективность проводимых численных экспериментов. |
Результаты, приводимые далее, получены усреднением <math>5 \cdot 10^4</math> реализаций цепочки c <math>N = 10^3</math> (за исключением <math>\rho</math> все параметры в рамках серии сохранялись). Такая конфигурация будет аналогична модели кристалла с 50 миллионами частиц, но допускает параллельный компьютерный расчёт реализаций. Проведение параллельного моделирования коротких цепочек на суперкомпьютерных системах привело к существенному сокращению общего времени вычислений. | Результаты, приводимые далее, получены усреднением <math>5 \cdot 10^4</math> реализаций цепочки c <math>N = 10^3</math> (за исключением <math>\rho</math> все параметры в рамках серии сохранялись). Такая конфигурация будет аналогична модели кристалла с 50 миллионами частиц, но допускает параллельный компьютерный расчёт реализаций. Проведение параллельного моделирования коротких цепочек на суперкомпьютерных системах привело к существенному сокращению общего времени вычислений. | ||
Строка 467: | Строка 472: | ||
! <math>\sigma_v^2</math> !! <math>\Delta \sigma_v^2</math> !! <math>\Delta t</math> !! Постоянные параметры | ! <math>\sigma_v^2</math> !! <math>\Delta \sigma_v^2</math> !! <math>\Delta t</math> !! Постоянные параметры | ||
|- | |- | ||
− | | <math>[0; 14]</math> || <math>1</math> || <math>0.05~T_0</math> || <math>\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0. | + | | <math>[0; 14]</math> || <math>1</math> || <math>0.05~T_0</math> || <math>\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0.01</math> |
|- | |- | ||
− | | <math>[15; 60]</math> || <math>5</math> || <math>0.05~T_0</math> || <math>\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0. | + | | <math>[15; 60]</math> || <math>5</math> || <math>0.05~T_0</math> || <math>\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0.01</math> |
|- | |- | ||
− | | <math>[65; 75]</math> || <math>5</math> || <math>0.005~T_0</math> || <math>\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0. | + | | <math>[65; 75]</math> || <math>5</math> || <math>0.005~T_0</math> || <math>\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0.01</math> |
|- | |- | ||
− | | <math>[80; 100]</math> || <math>5</math> || <math>0.005~T_0</math> || <math>\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0. | + | | <math>[80; 100]</math> || <math>5</math> || <math>0.005~T_0</math> || <math>\omega_0 = 1, \quad \alpha_0 = 1, \quad A = 0.01</math> |
|} | |} | ||
Строка 488: | Строка 493: | ||
|} | |} | ||
− | Значения параметров проводимых экспериментов приведены в таблицах | + | Значения параметров проводимых экспериментов приведены в таблицах~\ref{standingWaveParameters} и~\ref{runningWaveParameters}. Моделируемое время ограничено: <math>0 \leq t \leq 7 \cdot 10^4~T_0</math>. |
== Результаты == | == Результаты == | ||
Строка 494: | Строка 499: | ||
=== Преобразование механической энергии стоячей волны === | === Преобразование механической энергии стоячей волны === | ||
− | На рисунке | + | На рисунке~\ref{standingWave} приведены вычисленные значения нормированной механической энергии стоячей волны <math>E^*\!\left(\tau\right)</math> для нескольких значений <math>\sigma_v^2</math> (здесь и далее <math>\tau = \frac{t}{T_0}</math> – безразмерное время). |
− | [ | + | <math> |
+ | \begin{figure}[!htb] | ||
+ | \center{\input{Data/Energy/sw.tex}} | ||
+ | \caption{Изменение нормированной механической энергии стоячей волны в зависимости от $t$} | ||
+ | \label{standingWave} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
− | Для одномерного кристалла при отсутствии теплового шума (<math>\sigma_v^2 = 0</math>) была установлена | + | Для одномерного кристалла при отсутствии теплового шума (<math>\sigma_v^2 = 0</math>) была установлена \cite{presTsvetkovAPM16} следующая зависимость для механической энергии волны: |
<math> | <math> | ||
Строка 518: | Строка 529: | ||
где <math>\beta</math> — функция от <math>\sigma_v^2</math>, <math>\alpha</math> — функция от <math>\sigma_v^2</math> и <math>\lambda</math>. | где <math>\beta</math> — функция от <math>\sigma_v^2</math>, <math>\alpha</math> — функция от <math>\sigma_v^2</math> и <math>\lambda</math>. | ||
− | В рамках гипотезы <math>\beta</math> имеет определённое значение для каждого значения <math>\sigma_v^2</math>. При <math>\sigma_v^2 = 0</math> показатель <math>\beta = 2</math> | + | В рамках гипотезы~(\ref{expectationTauBeta}) <math>\beta</math> имеет определённое значение для каждого значения <math>\sigma_v^2</math>. При <math>\sigma_v^2 = 0</math> показатель <math>\beta = 2</math>~\cite{presTsvetkovAPM16}, по мере же увеличения <math>\sigma_v^2</math>, согласно рисунку~\ref{standingWave}, величина <math>\beta</math> должна уменьшаться. |
− | Если | + | Если выражение~(\ref{expectationTauBeta}) верно, то показатель <math>\beta</math> в зависимости от величины теплового шума можно определить, перестроив график энергии~\ref{standingWave} в логарифмических осях. |
<math> | <math> | ||
Строка 535: | Строка 546: | ||
</math> | </math> | ||
− | Обозначим <math>\ln\!\left(\tau\right)</math> за <math>x</math>, а <math>\ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right)</math> за <math>y</math>, тогда уравнение сводится к линейному. Угол наклона прямой в осях <math>\left(\ln\!\left(\tau\right); \ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right) \right)</math>, выраженный в радианах, будет численно равен <math>\beta</math> для определённого значения дисперсии. | + | Обозначим <math>\ln\!\left(\tau\right)</math> за <math>x</math>, а <math>\ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right)</math> за <math>y</math>, тогда уравнение~(\ref{expectationTauBetaLine}) сводится к линейному. Угол наклона прямой в осях <math>\left(\ln\!\left(\tau\right); \ln\!\left(\ln\!\left(\frac{1}{E^*}\right)\right) \right)</math>, выраженный в радианах, будет численно равен <math>\beta</math> для определённого значения дисперсии. |
<math> | <math> | ||
Строка 544: | Строка 555: | ||
</math> | </math> | ||
− | [ | + | <math> |
+ | \begin{figure}[!htb] | ||
+ | \center{\input{Data/Energy/swLine.tex}} | ||
+ | \caption{Изменение механической энергии стоячей волны с течением времени в логарифмических осях} | ||
+ | \label{standingWaveLine} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
− | Соответствующее преобразование графика энергии приведено на рисунке | + | Соответствующее~(\ref{expectationTauBetaLine}) преобразование графика энергии приведено на рисунке~\ref{standingWaveLine}. Получившиеся функции успешно аппроксимируются наклонными прямыми, что подтверждает высказанную гипотезу~(\ref{expectationTauBeta}). |
− | [ | + | <math> |
− | + | \begin{figure}[!htb] | |
− | + | \center{\input{Data/Beta/swNoLine.tex}} | |
+ | \caption{Значения $\beta$ при разных значениях дисперсии, стоячая волна} | ||
+ | \label{standingWaveBeta} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
− | + | Найденные значения <math>\beta</math> приведены на рисунке~\ref{standingWaveBeta}. Тепловая энергия в реальном материале может превосходить механическую на несколько порядков. Чтобы оценить значение <math>\beta</math> в таком случае, построим аппроксимацию этого графика и определим предельное значение показателя при условии <math>\sigma_v^2 \rightarrow \infty</math>. | |
− | Перестроим график из осей <math>\left(\sigma_{v}^{2} ; \beta \right)</math> в <math>\left(\ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right) ; \ln\!\left(\beta - 1\right) \right)</math>. Результат приведён на рисунке | + | Перестроим график из осей <math>\left(\sigma_{v}^{2} ; \beta \right)</math> в <math>\left(\ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right) ; \ln\!\left(\beta - 1\right) \right)</math>. Результат приведён на рисунке~\ref{standingWaveBetaLog}. Начиная с <math>x = 1.5</math> значения могут быть аппроксимированы прямой: |
<math> | <math> | ||
Строка 565: | Строка 586: | ||
где <math>x = \ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right)</math>, <math>y = \ln\!\left(\beta\right)</math>. | где <math>x = \ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right)</math>, <math>y = \ln\!\left(\beta\right)</math>. | ||
− | Выражая | + | Выражая из~(\ref{standingWaveApproximation}) функцию <math>\beta</math>, получаем следующее: |
<math> | <math> | ||
Строка 576: | Строка 597: | ||
где <math>\sigma_{v}</math> — среднеквадратическое отклонение скоростей частиц, отнесённое к своему начальному значению (при <math>\tau~=~0</math>). | где <math>\sigma_{v}</math> — среднеквадратическое отклонение скоростей частиц, отнесённое к своему начальному значению (при <math>\tau~=~0</math>). | ||
− | [ | + | <math> |
+ | \begin{figure}[!htb] | ||
+ | \center{\input{Data/Beta/swLog.tex}} | ||
+ | \caption{Значения функции $\beta \! \left(\sigma_{v}^{2} \right)$ в логарифмических осях, стоячая волна} | ||
+ | \label{standingWaveBetaLog} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
− | [ | + | <math> |
+ | \begin{figure}[!htb] | ||
+ | \begin{subfigure}{\linewidth} | ||
+ | \center{\input{Data/Beta/sw.tex}} | ||
+ | \caption{} | ||
+ | \end{subfigure} | ||
+ | \par\medskip | ||
+ | \begin{subfigure}{\linewidth} | ||
+ | \center{\input{Data/Beta/swLongLine.tex}} | ||
+ | \caption{} | ||
+ | \end{subfigure} | ||
+ | \caption{Аппроксимация графика $\beta$, стоячая волна} | ||
+ | \label{standingWaveBetaApproximation} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
− | Аппроксимированный график <math>\beta</math> от <math>\sigma_{v}^{2}</math> приведён на | + | Аппроксимированный график <math>\beta</math> от <math>\sigma_{v}^{2}</math> приведён на рисунке~\ref{standingWaveBetaApproximation} (сверху). Найдём предельное значение <math>\beta</math>: |
<math> | <math> | ||
Строка 590: | Строка 631: | ||
</math> | </math> | ||
− | Можно считать, для больших значений <math>\sigma_{v}^{2}</math> механическая энергия будет переходить в тепловую по закону <math>E^* = e^{-\alpha \tau}</math>. Сходимость <math>\beta</math> к единице также видна на рисунке | + | Можно считать, для больших значений <math>\sigma_{v}^{2}</math> механическая энергия будет переходить в тепловую по закону <math>E^* = e^{-\alpha \tau}</math>. Сходимость <math>\beta</math> к единице также видна на рисунке~\ref{standingWaveBetaApproximation} (снизу). Уже при <math>\sigma_{v} = 12 \cdot 10^3</math> ошибка в определении <math>\beta</math> единицей составит менее процента. |
− | [ | + | <math> |
+ | \begin{figure}[!htb] | ||
+ | \center{\input{Data/Alpha/swLog.tex}} | ||
+ | \caption{Аппроксимация графика $\alpha$, стоячая волна} | ||
+ | \label{standingWaveAlphaApproximation} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
− | Исследуем поведение <math>\alpha</math> в зависимости от величины теплового шума. Для этого воспользуемся уравнениями прямых, полученных аппроксимацией механической энергии <math>E^*</math> в логарифмических осях (см. рисунок | + | Исследуем поведение <math>\alpha</math> в зависимости от величины теплового шума. Для этого воспользуемся уравнениями прямых, полученных аппроксимацией механической энергии <math>E^*</math> в логарифмических осях (см. рисунок~\ref{standingWaveBetaLog}). Подставив в уравнение (\ref{lineEquation}) <math>x = 0</math>, определим значения <math>\ln\!\left(\alpha\right)</math> как функции от <math>\sigma_{v}^{2}</math>. Результат приведён на рисунке~\ref{standingWaveAlphaApproximation}. Была получена следующая формула для аппроксимации <math>\alpha</math>: |
<math> | <math> | ||
Строка 603: | Строка 650: | ||
</math> | </math> | ||
− | Аналогично выражению для <math>\beta</math>, | + | Аналогично выражению для <math>\beta</math>, уравнение \ref{standingWaveAlpha} имеет предельное значение при <math>\sigma_{v}^{2}~\to~\infty</math>: |
<math> | <math> | ||
Строка 646: | Строка 693: | ||
где <math>E</math> — модуль Юнга, <math>\rho</math> — плотность, <math>2 \gamma</math> — безразмерный коэффициент при диссипативном члене, <math>x</math> — безразмерная переменная расстояния. | где <math>E</math> — модуль Юнга, <math>\rho</math> — плотность, <math>2 \gamma</math> — безразмерный коэффициент при диссипативном члене, <math>x</math> — безразмерная переменная расстояния. | ||
− | Решение дифференциального уравнения имеет вид: | + | Решение дифференциального уравнения~(\ref{oscillationEquation}) имеет вид: |
<math> | <math> | ||
Строка 657: | Строка 704: | ||
где <math>\omega_{c} = k_{c} \sqrt{\frac{E T_{0}^{2}}{\rho a^2} - \gamma}</math>, <math>k_{c} = \frac{a}{2} k</math>, <math>A_{c} = \frac{a}{T0} A</math>. | где <math>\omega_{c} = k_{c} \sqrt{\frac{E T_{0}^{2}}{\rho a^2} - \gamma}</math>, <math>k_{c} = \frac{a}{2} k</math>, <math>A_{c} = \frac{a}{T0} A</math>. | ||
− | Данный результат был представлен в работе | + | Данный результат был представлен в работе~\cite{aristovich2006oscillations} и хорошо согласуется с формулой~(\ref{standingWaveEquation2}), переписанной в безразмерных величинах: |
<math> | <math> | ||
Строка 668: | Строка 715: | ||
где <math>\hat{\omega_{c}} = T_{0} \omega_{0}.</math> | где <math>\hat{\omega_{c}} = T_{0} \omega_{0}.</math> | ||
− | Сопоставим | + | Сопоставим решение~(\ref{oscillationEquationSolution}) с~(\ref{standingWaveEquation3}) и определим значений <math>\gamma</math>: |
<math> | <math> | ||
Строка 676: | Строка 723: | ||
</math> | </math> | ||
− | Покажем необратимость преобразования механической энергии в тепловую. Парадокс Ферми-Паста-Улама продемонстрировал явление возврата формы и механической энергии волны<ref name="Fermi1965"/>. Обратный переход энергии цепочки в механическую энергию был описан для одномерного нелинейного кристалла без теплового движения | + | Покажем необратимость преобразования механической энергии в тепловую. Парадокс Ферми-Паста-Улама продемонстрировал явление возврата формы и механической энергии волны<ref name="Fermi1965"/>. Обратный переход энергии цепочки в механическую энергию был описан для одномерного нелинейного кристалла без теплового движения \cite{tsvetkov2015heatIn1D}. Такой переход также был экспериментально получен в данной работе. Рассмотрим влияние теплового шума на этот процесс. |
− | + | На рисунке~\ref{returningEnergy} можно заметить дополнительный изгиб графика энергии <math>E^*\!\left(T\right)</math> при малых значениях <math>\sigma_v^2</math>. Так, для <math>\sigma_v^2 = 0</math> возврат механической энергии наблюдается примерно в диапазоне от <math>\tau=60</math> до <math>\tau=75</math>. Для <math>\sigma_v^2 = 1</math> этот диапазон уже: от <math>\tau=65</math> до <math>\tau=70</math>, при этом прирост энергии значительно меньше. Для высоких значений <math>\sigma_v^2</math> обратный переход энергии не удаётся продемонстрировать. Можно утверждать, что процесс преобразования механической энергии в тепловую в больших системах с высокими значениями отношения тепловой энергии к механической (соответствует реальным системам) является необратимым. | |
− | + | <math> | |
+ | \begin{figure}[!htb] | ||
+ | \center{\input{Data/Energy/swLong.tex}} | ||
+ | \caption{Изменение энергии стоячей волны} | ||
+ | \label{returningEnergy} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
=== Преобразование механической энергии бегущей волны === | === Преобразование механической энергии бегущей волны === | ||
− | Рассмотрим график убывания механической энергии бегущей волны с течением времени (рисунок | + | Рассмотрим график убывания механической энергии бегущей волны с течением времени (рисунок~\ref{runningWave}). Качественно он совпадает с графиком энергии стоячей волны (рисунок~\ref{standingWave}). При отсутствии теплового шума для энергии волны также выполняется равенство~(\ref{expectationTau2}). |
− | + | Чтобы найти зависимость <math>\beta\!\left(\sigma_v^2\right)</math>, аналогичным образом перестроим график энергии <math>E^{*}\!\left(\tau\right)</math> в логарифмических осях (см. рисунок~\ref{runningWaveLine}) и определим угол наклона <math>\beta</math>. | |
− | + | Вид <math>\beta</math> приведён на рисунке~\ref{runningWaveBetaApproximation}. Аппроксимация также была получена переводом осей <math>\left(\sigma_{v}^{2} ; \beta \right)</math> в <math>\left(\ln\!\left(\sigma_{v}^{2}\right) ; \ln\!\left(\beta\right)\right)</math> (см. рисунок~\ref{runningWaveBetaLog}). | |
− | [ | + | <math> |
+ | \begin{figure}[!htb] | ||
+ | \center{\input{Data/Energy/rw.tex}} | ||
+ | \caption{Изменение энергии бегущей волны в зависимости от $\tau$} | ||
+ | \label{runningWave} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
− | + | <math> | |
− | + | \begin{figure}[!htb] | |
− | + | \center{\input{Data/Energy/rwLine.tex}} | |
− | + | \caption{Изменение механической энергии стоячей волны с течением времени в логарифмических осях} | |
− | + | \label{runningWaveLine} | |
− | + | \end{figure} | |
+ | </math> | ||
Для <math>\beta</math> был получен следующий вид уравнения аппроксимации: | Для <math>\beta</math> был получен следующий вид уравнения аппроксимации: | ||
Строка 708: | Строка 768: | ||
</math> | </math> | ||
− | При условии, что <math>\sigma_{v}^{2} \to \infty</math>, | + | При условии, что <math>\sigma_{v}^{2} \to \infty</math>, значение~(\ref{runningWaveApproximation}) стремится к единице, аналогично~(\ref{standingWaveLimit}) в случае стоячей волны. |
− | Значения <math>\alpha</math> для различных <math>\sigma_{v}^{2}</math> также были получены (рисунок | + | Значения <math>\alpha</math> для различных <math>\sigma_{v}^{2}</math> также были получены (рисунок~\ref{runningWaveAlphaLog}). Предел аппроксимирующей функции~(\ref{standingWaveAlpha}) равен соответствующему значению~(\ref{standingWaveAlphaLimit2}) для стоячей волны. Таким образом, в реальных материалах формула~(\ref{energySolution}) для механической энергии выполняется вне зависимости от типа заданной механической волны. |
− | + | На рисунке~\ref{runningAndStandinsWavesBeta} приведён график значений <math>\beta</math> для стоячей волны, растянутый по горизонтальной оси в 4 раза. В таком масштабе экспериментальные значения <math>\beta</math> для бегущей и стоячей волн могут быть аппроксимированы одной и той же кривой (заданной уравнением~(\ref{runningWaveApproximation})). То есть, в случае бегущей волны было получено в 4 раза более медленное убывание механической энергии, чем в случае стоячей. Такая же пропорциональность наблюдается для значений <math>\alpha</math> (см. рисунок~\ref{runningAndStandinsWavesAlpha}). | |
− | |||
− | |||
<math> | <math> | ||
Строка 723: | Строка 781: | ||
</math> | </math> | ||
− | [ | + | <math> |
+ | \begin{figure}[!htb] | ||
+ | \center{\input{Data/Beta/rw.tex}} | ||
+ | \caption{Аппроксимация графика $\beta$, бегущая волна} | ||
+ | \label{runningWaveBetaApproximation} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
− | [ | + | <math> |
+ | \begin{figure}[!htb] | ||
+ | \center{\input{Data/Beta/rwLog.tex}} | ||
+ | \caption{Значения функции $\beta \! \left(\sigma_{v}^{2} \right)$ в логарифмических осях, бегущая волна} | ||
+ | \label{runningWaveBetaLog} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
− | + | <math> | |
+ | \begin{figure}[!htb] | ||
+ | \center{\input{Data/Alpha/rwLog.tex}} | ||
+ | \caption{Значения функции $\alpha \! \left(\sigma_{v}^{2} \right)$ в логарифмических осях, бегущая волна} | ||
+ | \label{runningWaveAlphaLog} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
− | + | <math> | |
+ | \begin{figure}[!htb] | ||
+ | \center{\input{Data/Beta/rw_sw.tex}} | ||
+ | \caption{Сравнение значений $\beta$ для стоячей волны (в масштабе 4:1) и для бегущей волны} | ||
+ | \label{runningAndStandinsWavesBeta} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
− | + | Также одним из результатов поставленных компьютерных экспериментов является обнаружение влияния теплового шума на развал скорости задаваемой механической волны. В случае нулевой дисперсии (<math>\sigma_v^2 = 0</math>) наклон графика скорости волны возрастает вплоть до критического значения, после чего образуется дополнительный колебательный процесс (рисунок~\ref{waveEvolution}, слева). Свойства этого процесса были изучены \cite{alexandrov2016solitons}. Однако увеличение <math>\sigma_v^2</math>, как было показано ранее, приводит к росту скорости убывания энергии волны и, как следствие, качественно влияет на процесс развала (рисунок~\ref{waveEvolution}, справа). | |
− | + | Нагляднее это влияние можно рассмотреть на рисунке~\ref{waveAt27T0}, где приведено развитие скоростей механической волны для разных значений дисперсии по состоянию на один и тот же момент времени. При <math>\sigma_v^2 = 5</math> побочный колебательный процесс выражен неявно, а при <math>\sigma_v^2 = 20</math> вовсе отсутствует. Объясняется это тем, что затухание волны происходит слишком быстро, и наклон графика не достигает критического значения. | |
− | + | При достаточно <math>\sigma_{v}^{2}</math> амплитуда волны продолжает падать, но форма остаётся практически неизменной. На рисунке~\ref{waveAt115T0} видно, что график скоростей в кристалле со значением <math>\sigma_v^2~=~7</math> и при <math>\tau~=~115.5</math> по форме близок к графику начального возмущения (см. рисунок~\ref{runningWaveInitialConditions}). | |
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \begin{figure}[!htb] | ||
+ | \center{\input{Data/Alpha/rw_swLog.tex}} | ||
+ | \caption{Сравнение значений $\alpha$ для стоячей волны (в масштабе 4:1) и для бегущей волны} | ||
+ | \label{runningAndStandinsWavesAlpha} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
+ | <math> | ||
+ | \begin{figure}[!htb] | ||
+ | \begin{subfigure}{\linewidth} | ||
+ | \scalebox{0.6}{\input{Data/WaveBreaking/f0t770.tex}}\hfill | ||
+ | \scalebox{0.6}{\input{Data/WaveBreaking/f7t770.tex}} | ||
+ | \end{subfigure} | ||
+ | \par\medskip | ||
+ | \caption{Скорость механической волны на момент $\tau~=~115.5$ для $\sigma_v^2~=~0$ (слева) и $\sigma_v^2~=~7$ (справа)} | ||
+ | \label{waveAt115T0} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
− | [[ | + | <math> |
+ | \begin{figure}[!htb] | ||
+ | \begin{subfigure}{\linewidth} | ||
+ | \scalebox{0.6}{\input{Data/WaveBreaking/f0t180.tex}}\hfill | ||
+ | \scalebox{0.6}{\input{Data/WaveBreaking/f1t180.tex}} | ||
+ | \caption{$\sigma_v^2 = 0$ (слева), $\sigma_v^2 = 1$ (справа)} | ||
+ | \end{subfigure} | ||
+ | \par\medskip | ||
+ | \begin{subfigure}{\linewidth} | ||
+ | \scalebox{0.6}{\input{Data/WaveBreaking/f5t180.tex}}\hfill | ||
+ | \scalebox{0.6}{\input{Data/WaveBreaking/f20t180.tex}} | ||
+ | \caption{$\sigma_v^2 = 5$ (слева), $\sigma_v^2 = 20$ (справа)} | ||
+ | \end{subfigure} | ||
+ | \par\medskip | ||
+ | \caption{Скорость механической волны на момент $\tau = 27.0$ для разных значений $\sigma_v^2$} | ||
+ | \label{waveAt27T0} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | \begin{figure}[!htb] | ||
+ | \begin{subfigure}{\linewidth} | ||
+ | \scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f0t1.tex}}\hfill | ||
+ | \scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f1t1.tex}} | ||
+ | \caption{$\tau = 0$} | ||
+ | \end{subfigure} | ||
+ | \par\medskip | ||
+ | \begin{subfigure}{\linewidth} | ||
+ | \scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f0t100.tex}}\hfill | ||
+ | \scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f1t100.tex}} | ||
+ | \caption{$\tau = 15.0$} | ||
+ | \end{subfigure} | ||
+ | \par\medskip | ||
+ | \begin{subfigure}{\linewidth} | ||
+ | \scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f0t150.tex}}\hfill | ||
+ | \scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f1t150.tex}} | ||
+ | \caption{$\tau = 22.5$} | ||
+ | \end{subfigure} | ||
+ | \par\medskip | ||
+ | \begin{subfigure}{\linewidth} | ||
+ | \scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f0t250.tex}}\hfill | ||
+ | \scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f1t250.tex}} | ||
+ | \caption{$\tau = 37.5$} | ||
+ | \end{subfigure} | ||
+ | \par\medskip | ||
+ | \begin{subfigure}{\linewidth} | ||
+ | \scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f0t350.tex}}\hfill | ||
+ | \scalebox{0.5}{\input{Data/WaveBreaking/f1t350.tex}} | ||
+ | \caption{$\tau = 52.5$} | ||
+ | \end{subfigure} | ||
+ | \par\medskip | ||
+ | \caption{Эволюция скорости механической волны для $\sigma_v^2~=~0$ (слева) и $\sigma_v^2~=~1$ (справа)} | ||
+ | \label{waveEvolution} | ||
+ | \end{figure} | ||
+ | </math> | ||
== Заключение == | == Заключение == | ||
Строка 773: | Строка 928: | ||
Результаты работы были получены с использованием вычислительных ресурсов суперкомпьютерного центра Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. Каждый расчёт производился на отдельном ядре CPU с использованием технологии MPI, одновременно задействовалось <math>1000</math> ядер. Таким образом, для получения <math>5 \cdot 10^4</math> реализаций вычисления повторялись <math>50</math> раз, в среднем общее время моделирования для одного значения <math>\sigma^{2}_{v}</math> составило <math>20</math> минут при шаге <math>\Delta t = 0.05 T_0</math>, <math>6</math> часов при <math>\Delta t = 0.005 T_0</math> и <math>12</math> часов при <math>\Delta t = 0.0005 T_0</math> (<math>T_0</math> – заданный масштаб времени). | Результаты работы были получены с использованием вычислительных ресурсов суперкомпьютерного центра Санкт-Петербургского политехнического университета Петра Великого. Каждый расчёт производился на отдельном ядре CPU с использованием технологии MPI, одновременно задействовалось <math>1000</math> ядер. Таким образом, для получения <math>5 \cdot 10^4</math> реализаций вычисления повторялись <math>50</math> раз, в среднем общее время моделирования для одного значения <math>\sigma^{2}_{v}</math> составило <math>20</math> минут при шаге <math>\Delta t = 0.05 T_0</math>, <math>6</math> часов при <math>\Delta t = 0.005 T_0</math> и <math>12</math> часов при <math>\Delta t = 0.0005 T_0</math> (<math>T_0</math> – заданный масштаб времени). | ||
− | Автор благодарен | + | Автор благодарен Д. В. Цветкову за полезные обсуждения. |
== Список литературы == | == Список литературы == | ||
+ | <references> |