Редактирование: Потенциал Кузькина-Кривцова

Парный моментный потенциал, предназначенный для описания механических свойств графена и других углеродных структур, состоящих из атомов углерода в состоянии <math>sp^2</math>
гибридизации. В качестве модели атома углерода используется точечное твердое тело. Параметры потенциала выбираются исходя из условия наилучшего соответствия результатов моделирования с известными экспериментальными данными. Также для определения параметров потенциала проводилось молекулярно-динамическое моделирование деформирования и разрушения графена, в ходе которого вычислялись макроскопические характеристики (модуль Юнга, коэффициент Пуассона, прочность, критическая деформация). Потенциал позволяет описать упругие и прочностные характеристики графена в пределах погрешности эксперимента. 

Публикация: 
[[Виталий_Кузькин|В.А. Кузькин]], [[Антон_Кривцов|А.М. Кривцов]] "Описание механических свойств графена с использованием частиц с вращательными степенями свободы" // ДАН, 2011 (направлено в печать)

Основные идеи построения данного потенциала изложенны 
[[Потенциал Кузькина-Кривцова: принцип построения|здесь]].


Приведем основные идеи построения данного потенциала, изложенные в работе 
[[Виталий_Кузькин|В.А. Кузькина]], [[Антон_Кривцов|А.М. Кривцова]] "Описание механических свойств графена с использованием частиц с вращательными степенями свободы" // ДАН, 2011 (направлено в печать)

Пусть частицы 1 и 2 взаимодействуют посредством сил  и моментов, зависящих от их
взаимного расположения и ориентации частиц. Введем следующие обозначения: <math>{\bf F}_i</math>,
<math>{\bf M}_i</math> - сила и момент, действующие на частицу i со стороны
второй частицы, причем момент <math>{\bf M}_i</math> вычислен относительно
частицы i. Величины <math>{\bf F}_i</math>, <math>{\bf M}_i</math> удовлетворяют третьему закону
Ньютона для сил, аналогу третьего закона Ньютона для моментов и
уравнению баланса энергии:

<math>
  {\bf F}_1=-{\bf F}_2 = {\bf F}, 
  \quad 
  {\bf M}_1 + {\bf M}_2-{\bf r}_{12} \times {\bf F} = 0, 
  \quad 
  \dot{U}= {\bf F}\cdot\dot{{\bf r}}_{12} - {\bf M}_1\cdot{\bf \omega}_1 - {\bf M}_2 \cdot{\bf \omega}_2,
</math>

где <math>{\bf r}_{12} = {\bf r}_2-{\bf r}_1</math>; <math>{\bf r}_i</math> - радиус-вектор
частицы i; <math> {\bf \omega}_1, {\bf \omega}_2</math> - угловые скорости частиц; U - внутренняя энергия системы. 
Будем искать внутреннюю энергию в виде функции векторов, жестко с частицами:

<math>
U = U({\bf r}_{12}, { {\bf n}_1^j }_{j \in \Lambda_1}, {{\bf n}_2^j }_{j \in \Lambda_2}),
</math>

где <math>\{ {\bf n}_1^j \}_{j \in \Lambda_1}, \{{\bf n}_2^j \}_{j \in \Lambda_2} </math> - два множества единичных векторов, жестко 
связанных с частицами 1 и 2 соответственно,
<math>\Lambda_1, \Lambda_2</math> - множества индексов. В
силу принципа материальной объективности внутренняя энергия должна
зависеть от инвариантных величин: <math> r_{12}, {\bf e}_{12}\cdot {\bf n}_i^j,
{\bf n}_1^j\cdot {\bf n}_2^k </math>.  Формулы, связывающие  силы и
моменты, действующие между частицами, с внутренней энергией имеют вид:

<math>
   {\bf F} = \frac{\partial U}{\partial {\bf r}_{12}}, \quad {\bf M}_i = \sum_{j \in \Lambda_i} \frac{\partial U}{\partial
   {\bf n}_i^j}\times{\bf n}_i^j, \quad i=1,2.
</math>

Приведем основные идеи по поводу построения моментного потенциала для sp-2 углерода, изложенные в работе В.А. Кузькина, А.М. Кривцова "Описание механических свойств графена с использованием частиц с вращательными степенями свободы" // ДАН, 2011 [статья направлена в печать]  

Вводем единичные векторы <math>{\bf n}_i^j,
j=1,..,4</math>, связанные с частицей i. Векторы <math>{\bf n}_i^1, {\bf n}_i^2,
{\bf n}_i^3</math> располагаются в одной плоскости под углами <math> 2\pi/3</math> друг к
другу. Вектор <math>{\bf n}_i^4</math> определяется соотношением <math>{\bf n}_i^4 = 2{\bf n}_i^1
\times {\bf n}_i^2/\sqrt{3}</math>. Энергия взаимодействия частиц 1 и 2
представляется в виде:

<math>
U = \phi_R(r_{12}) + \phi_A(r_{12})(U_B + U_T),
</math>

<math>
U_B = \sum_{j,k=1}^3 \eta({\bf n}_1^j\cdot{\bf n}_2^k) [\psi({\bf e}_{12}\cdot{\bf n}_1^j) + \psi({\bf e}_{21}\cdot{\bf n}_2^k)], 
</math>

<math>
U_T = U_T({\bf n}_1^4 \cdot {\bf n}_2^4, {\bf e}_{12} \cdot {\bf n}_1^4, {\bf e}_{21} \cdot {\bf n}_2^4),
</math>

где <math> {\bf e}_{12} = {\bf r}_{12}/r_{12}</math>. Функции <math> \phi_R, \phi_A</math> описывают
притяжение/отталкивание между частицами; <math>U_B, U_T</math> обеспечивают
сопротивление связи сдвигу, изгибу и кручению.