Редактирование: Потенциал Кузькина-Кривцова
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | + | Пусть частицы 1 и 2 взаимодействуют посредством сил и моментов, зависящих от их | |
+ | взаимного расположения и ориентации частиц. Введем следующие обозначения: <math>{\bf F}_i</math>, | ||
+ | <math>{\bf M}_i</math> - сила и момент, действующие на частицу i со стороны | ||
+ | второй частицы, причем момент <math>{\bf M}_i</math> вычислен относительно | ||
+ | частицы i. Величины <math>{\bf F}_i</math>, <math>{\bf M}_i</math> удовлетворяют третьему закону | ||
+ | Ньютона для сил, аналогу третьего закона Ньютона для моментов и | ||
+ | уравнению баланса энергии: | ||
− | + | <math> | |
− | + | {\bf F}_1=-{\bf F}_2 = {\bf F}, | |
+ | \quad | ||
+ | {\bf M}_1 + {\bf M}_2-{\bf r}_{12} \times {\bf F} = 0, | ||
+ | \quad | ||
+ | \dot{U}= {\bf F}\cdot\dot{{\bf r}}_{12} - {\bf M}_1\cdot{\bf \omega}_1 - {\bf M}_2 \cdot{\bf \omega}_2, | ||
+ | </math> | ||
− | + | где <math>{\bf r}_{12} = {\bf r}_2-{\bf r}_1</math>; <math>{\bf r}_i</math> - радиус-вектор | |
− | + | частицы i; <math> {\bf \omega}_1, {\bf \omega}_2</math> - угловые скорости частиц; U - внутренняя энергия системы. | |
+ | Будем искать внутреннюю энергию в виде функции векторов, жестко с частицами: | ||
− | + | <math> | |
+ | U = U({\bf r}_{12}, { {\bf n}_1^j }_{j \in \Lambda_1}, {{\bf n}_2^j }_{j \in \Lambda_2}), | ||
+ | </math> | ||
− | + | где <math>\{ {\bf n}_1^j \}_{j \in \Lambda_1}, \{{\bf n}_2^j \}_{j \in \Lambda_2} </math> - два множества единичных векторов, жестко | |
− | + | связанных с частицами 1 и 2 соответственно, | |
− | + | <math>\Lambda_1, \Lambda_2</math> - множества индексов. В | |
+ | силу принципа материальной объективности внутренняя энергия должна | ||
+ | зависеть от инвариантных величин: <math> r_{12}, {\bf e}_{12}\cdot {\bf n}_i^j, | ||
+ | {\bf n}_1^j\cdot {\bf n}_2^k </math>. Формулы, связывающие силы и | ||
+ | моменты, действующие между частицами, с внутренней энергией имеют вид: | ||
+ | <math> | ||
+ | {\bf F} = \frac{\partial U}{\partial {\bf r}_{12}}, \quad {\bf M}_i = \sum_{j \in \Lambda_i} \frac{\partial U}{\partial | ||
+ | {\bf n}_i^j}\times{\bf n}_i^j, \quad i=1,2. | ||
+ | </math> | ||
− | [ | + | Приведем основные идеи по поводу построения моментного потенциала для sp-2 углерода, изложенные в работе В.А. Кузькина, А.М. Кривцова "Описание механических свойств графена с использованием частиц с вращательными степенями свободы" // ДАН, 2011 [статья направлена в печать] |
− | [ | + | |
+ | Вводем единичные векторы <math>{\bf n}_i^j, | ||
+ | j=1,..,4</math>, связанные с частицей i. Векторы <math>{\bf n}_i^1, {\bf n}_i^2, | ||
+ | {\bf n}_i^3</math> располагаются в одной плоскости под углами <math> 2\pi/3</math> друг к | ||
+ | другу. Вектор <math>{\bf n}_i^4</math> определяется соотношением <math>{\bf n}_i^4 = 2{\bf n}_i^1 | ||
+ | \times {\bf n}_i^2/\sqrt{3}</math>. Энергия взаимодействия частиц 1 и 2 | ||
+ | представляется в виде: | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | U = \phi_R(r_{12}) + \phi_A(r_{12})(U_B + U_T), | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | U_B = \sum_{j,k=1}^3 \eta({\bf n}_1^j\cdot{\bf n}_2^k) [\psi({\bf e}_{12}\cdot{\bf n}_1^j) + \psi({\bf e}_{21}\cdot{\bf n}_2^k)], | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | U_T = U_T({\bf n}_1^4 \cdot {\bf n}_2^4, {\bf e}_{12} \cdot {\bf n}_1^4, {\bf e}_{21} \cdot {\bf n}_2^4), | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | где <math> {\bf e}_{12} = {\bf r}_{12}/r_{12}</math>. Функции <math> \phi_R, \phi_A</math> описывают | ||
+ | притяжение/отталкивание между частицами; <math>U_B, U_T</math> обеспечивают | ||
+ | сопротивление связи сдвигу, изгибу и кручению. |