Редактирование: Перераспределение энергии между поступательными и вращательными степенями свободы
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
===Постановка задачи=== | ===Постановка задачи=== | ||
Строка 18: | Строка 8: | ||
Все тела соединены стержнями, которые описываются уравнением балки Бернулли - Эйлера. | Все тела соединены стержнями, которые описываются уравнением балки Бернулли - Эйлера. | ||
Движение каждого тела - точки описывается уравнениями: | Движение каждого тела - точки описывается уравнениями: | ||
− | |||
<math> | <math> | ||
− | J \ | + | J \dot{\dot{\phi_{i}}} = -M_{i-1}(l) + M_{i}(0) |
</math><br /> | </math><br /> | ||
<math> | <math> | ||
− | m \ | + | m \dot{\dot{\y_{i}}} = F_{i-1}(l) - F_{i}(0), |
</math><br /> | </math><br /> | ||
− | где <math>J - </math>момент инерции тела-точки. | + | где <math>J - </math><br />момент инерции тела-точки. |
Моменты и силы находим по определению: | Моменты и силы находим по определению: | ||
− | |||
<math> | <math> | ||
M = E \cdot J_{b} \cdot y''(x) | M = E \cdot J_{b} \cdot y''(x) | ||
Строка 36: | Строка 24: | ||
где <math>E - </math> модуль юнга материала балки, <math>J_{b} - </math> момент инерции сечения балки. | где <math>E - </math> модуль юнга материала балки, <math>J_{b} - </math> момент инерции сечения балки. | ||
− | Вид функции | + | Вид функции y(x) найдем из уравнения Балки - Бернулли Эйлера: |
<math> | <math> | ||
− | E \cdot J_{b} \cdot y^ | + | E \cdot J_{b} \cdot y^(4) = 0 |
</math><br /> | </math><br /> | ||
+ | |||
получаем: | получаем: | ||
Строка 52: | Строка 41: | ||
Для поиска коэффициентов необходимы граничные условия. | Для поиска коэффициентов необходимы граничные условия. | ||
− | Для <math>i - </math>ого тела рассмотрим два участка: балка, соединяющая <math>i - 1 | + | Для <math>i - </math>ого тела рассмотрим два участка: балка, соединяющая <math>i - 1 и i</math> тела: |
<math> | <math> | ||
− | y(0) = y_{i-1} | + | y(0) = y_{i-1} y(l) = y_{i} |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
</math><br /> | </math><br /> | ||
<math> | <math> | ||
− | \phi(l) = \phi_{i} | + | \phi(0) = \phi_{i-1} \phi(l) = \phi_{i} |
</math><br /> | </math><br /> | ||
− | и на участке, соединяющим <math>i | + | и на участке, соединяющим <math>i и i+1 </math><br /> тела-точки: |
<math> | <math> | ||
− | y(0) = y_{i} | + | y(0) = y_{i} y(l) = y_{i+1} |
− | |||
− | |||
− | y(l) = y_{i+1} | ||
− | |||
− | |||
− | |||
</math><br /> | </math><br /> | ||
<math> | <math> | ||
− | \phi(l) = \phi_{i+1} | + | \phi(0) = \phi_{i} \phi(l) = \phi_{i+1} |
</math><br /> | </math><br /> | ||
Строка 86: | Строка 63: | ||
Учитывая граничные условия и все вышеприведенные формулы, находим уравнения движения <math>i - </math>ого тела: | Учитывая граничные условия и все вышеприведенные формулы, находим уравнения движения <math>i - </math>ого тела: | ||
<math> | <math> | ||
− | + | y_{i} = \frac{EJ_{b}}{m}(\frac{12}{l^3}(y_{i+1}-2y_{i}+y_{i-1}) - \frac{6}{l^2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) | |
</math><br /> | </math><br /> | ||
<math> | <math> | ||
− | + | \phi_{i} = \frac{EJ_{b}}{J}(\frac{6}{l^2}(y_{i+1}-y_{i}) - \frac{2}{l}(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1})) | |
</math><br /> | </math><br /> | ||
− | + | Перепишем уравнения в виде: | |
− | |||
− | Перепишем уравнения | ||
− | |||
<math> | <math> | ||
\frac{d^2(\frac{y_{i}}{l})}{d(t\omega_{1})^2} = ((\frac{y_{i+1}}{l}-2\frac{y_{i}}{l}+\frac{y_{i-1}}{l}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) | \frac{d^2(\frac{y_{i}}{l})}{d(t\omega_{1})^2} = ((\frac{y_{i+1}}{l}-2\frac{y_{i}}{l}+\frac{y_{i-1}}{l}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) | ||
Строка 102: | Строка 76: | ||
\frac{d^2\phi_{i}}{d(t\omega_{1})^2} = \frac{\omega_{2}^2}{\omega_{1}^2}(3(\frac{y_{i+1}}{l}-\frac{y_{i}}{l}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1})) | \frac{d^2\phi_{i}}{d(t\omega_{1})^2} = \frac{\omega_{2}^2}{\omega_{1}^2}(3(\frac{y_{i+1}}{l}-\frac{y_{i}}{l}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1})) | ||
</math><br /> | </math><br /> | ||
− | + | где | |
− | |||
<math> | <math> | ||
\omega_{1}^2 = \frac{12EJ_{b}}{ml^3} | \omega_{1}^2 = \frac{12EJ_{b}}{ml^3} | ||
Строка 113: | Строка 86: | ||
Получили обезразмеренные уравнения: | Получили обезразмеренные уравнения: | ||
− | |||
<math> | <math> | ||
− | + | \frac{d^2\overline{y_{i}}}{d(\tau)^2} = ((\overline{y_{i+1}}-2\overline{y_{i}}+\overline{y_{i-1}}) - \frac{1}{2}(\phi_{i+1}-\phi_{i-1})) | |
</math><br /> | </math><br /> | ||
<math> | <math> | ||
− | + | \frac{d^2\phi_{i}}{d(\tau)^2} = (3(\overline{y_{i+1}}-\overline{y_{i}}) -(\phi_{i+1}+4\phi_{i}+\phi_{i-1})) | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
</math><br /> | </math><br /> | ||
− | + | Теперь можно переходить к численному интегрированию. | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | + | ===Численное интегрирование=== | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
===Визуализация=== | ===Визуализация=== | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− |