Редактирование: Определение эффективных упругих характеристик в материале с трещинами

'''МАГИСТЕРСКАЯ РАБОТА'''<br>
''Автор работы'': [[Лапин Руслан| Р. Л. Лапин]]<br>
''Руководитель'': [[Кузькин В.А. | доцент кафедры ТМ В. А. Кузькин]]<br>

==Введение==

Задачи связанные с учетом трещин в материале исследуются в различных научных областях:
*Механика твердого тела
*Геология 
*Механика материалов
*Нефтедобыча и газодобыча
Включения (трещины, поры) могут значительно влиять на эффективные модули материала – уменьшать компоненты тензора жесткости в несколько раз.
Определение эффективных характеристик является важной задачей. Первым приближением является приближение невзаимодействия - каждая трещина считается изолированной, и не чувствует влияния соседних трещин. Результаты полученные с помощью данного метода могут значительно отличаться от полученных другими методами. Однако, в приближении невзаимодействия доказано - материал с трещинами при любой конфигурации трещин является ортотропным. Важным вопросом является вопрос - будет ли он ортотропным при учете взаимодействия.

==Постановка задачи==

Исследуется материал со случайно расположенными трещинами в плоско-деформированной постановке. Характеристикой трещин является плотность
<math>\rho = \frac{Nl^2}{4A} </math>, где <math>N </math> - число трещин, <math>l</math> - длина трещины, <math> A </math> - площадь рассматриваемой области.  
Цель данной работы
*Реализовать метода разрывных смещений на языке С++ для решения задач напряженно-деформированного состояния материала с различными конфигурациями при различных нагрузках.
*Провести серию расчетов для различных постановок, с целью определения отклонения тензора податливости от ортотропного
**Семейство параллельных трещин
**Два семейства параллельных трещин при различных наклонах
**Три семейства параллельных трещин
*Определить углы ортотропии для постановок в которых отсутствует геометрическая ортотропия
*Проанализировать полученные результаты.
Для каждой постановки рассматривается диапазон плотностей <math>\rho = [0.01;0.8]</math>. Для каждой плотности проводится операция усреднения - проводится 450-650 расчетов с различными конфигурациями.

==Создание начальных конфигураций==
{|align="right"
 |-valign="top"
|[[Файл:Config example.PNG|200px|thumb|right|Пример конфигурации трещин]]
|[[Файл:Bad_config.bmp|200px|thumb|right|Пример плохой конфигурации трещин с раскрытием трещин]]
|[[Файл:Good_conf.bmp|200px|thumb|right|Пример хорошей конфигурации]]
|}
В ходе работы над задачей возникла проблема создания начальных конфигураций. При близком расположении трещин численный метод (метод разрывных смещений) неустойчив. В виду этого было определено минимальное расстояние достаточное для устойчивости - 0,1 длины трещины. Использование данного ограничения значительно улучшает результаты. 

==Оценка ортотропности==

[[Файл:S_allComponents.bmp|350px|thumb|right|Отклонения для семейства параллельных трещин]]
[[Файл:ErrorParWithPoints.bmp|200px|right|Отклонения для семейства параллельных трещин]]
Вычисленный тензор податливости может отличаться от ортотропности, для оценки используется оценка 
<math>\delta = \sqrt{\frac{(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})(S_{ijkl}-S_{ijkl}^{ort})}{S_{prqs}S_{prqs}}}</math>

Результаты отклонения тензора податливости дял семейства параллельных трещин не превышает 3%.


==Определение углов ортотропии==

Углы ортотропии могут отличаться от начальных осей. Для определения углов ортотропии предполагается минимум отклонения тензора податливости от ортотропного. 
Для поворота тензора подаливости используется тензор поворота, в матричном виде он имеет вид

<math>F = \begin{pmatrix} \cos \alpha^2  & \sin \alpha^2 & \sin 2\alpha \\ \sin \alpha^2  & \cos \alpha^2 & -\sin 2\alpha \\ -\frac{\sin \alpha}{2}  & -\frac{\sin \alpha}{2} & \cos 2\alpha \end{pmatrix}</math>

Для постановок двух и трех семейств трещин определены углы поворота к осям ортотропии 
*Для двух семейств:
**Для наклоненных под углом <math>30^0</math> - <math>9.5^0</math>
**Для наклоненных под углом <math>15^0</math> - <math>5^0</math>
**Для наклоненных под углом <math>40^0</math> - <math>18^0</math>
*Для трех семейств - <math>15^0</math>

{|align="right"
 |-valign="top"
|[[Файл:Ort_2fam30Alpha.bmp|200px|thumb|right|Углы к осям ортотропии для двух семейств трещин, наклоненных под углом 30 градусов]]
|[[Файл:Ort_3_fam_alpha.bmp|200px|thumb|right|Углы к осям ортотропии для трех семейств трещин]]
|}

Отклонение тензора податливости для всех постановок не превышает 5%.

{|align="right"
 |-valign="top"
|[[Файл:Err2Fam30withPoints.bmp|200px|thumb|right|Отклонение от ортотропного тензора  для двух семейств трещин, наклоненных под углом 30 градусов]]
|[[Файл:Ort_3fam_err.bmp|200px|thumb|right|Отклонение от ортотропного тензора для трех семейств трещин]]
|}

==Выводы==

В ходе работы были решены сразу несколько задач:

В работе над данной задаче были получены следующие результаты:
*Реализован метод разрывных смещений на языке С++ в виде вычислительного модуля для определения эффективных свойств материала с трещинами, позволяющий решать задачи в различных постановках
*Проведено тестирование метода для задачи об одной трещине под растягивающей внешней нагрузкой. Отклонение полученных результатов от аналитического решения для среднего раскрытия не превышает 3%.
*Решена задача создания начальных конфигураций. Определено минимальное расстояние между трещинами, позволяющее повысить устойчивость численного метода. Данное расстояние соответствует 0.1 длины трещины.
*Проведено сравнение численных значений компонент тензора жесткости для задачи о параллельных трещинах с известными решениями [1]. Получено хорошее качественное совпадение.
*Для задачи двух семейств трещин, наклоненных под углом 300, определены углы поворота к осям ортотропии. Полученные результаты хорошо согласуются с известным аналитическим решением [3].
*Определены углы поворота к осям ортотропии для постановок, в которых отсутствует геометрическая ортотропия. В частности, для задачи двух семейств трещин, наклоненных под углом <math>30^0</math> – угол поворота <math>9^0</math>, наклоненных <math>15^0</math> – <math>5^0</math>, наклоненных <math>40^0</math> – <math>18^0</math>. Для трех семейств трещин угол поворота – <math>15^0</math>.
*Рассмотрены несколько постановок с различными семействами трещин (5 различных постановок) при различных плотностях. Для каждой плотности проведено 450 расчетов для реализации операции усреднения.
*Исследовано влияние взаимодействия трещин на орторопные свойства материала с трещинами при различных постановках. Даже в материале, в котором отсутствует геометрическая ортотропия, наблюдается незначительное влияние взаимодействия –5%.

==Материалы работы==
Материал, посвященный работе.
*'''[[Медиа:NIR_bakalavrskayLapinR.pdf|Презентация работы(pdf)]]'''
*'''[[Медиа:SlideLapinRL_magistr.pdf|Превью(pdf)]]'''
*'''[[Медиа:PosterMagistrLapinRL.pdf|Плакат(pdf)]]'''

==Литература==

1) VI Kushch, I Sevostianov, L Mishnaevsky, «Effect of crack orientation statistics on effective stiffness of mircocracked solid,» International Journal of Solids and Structures, т. vol.46, pp. 1574-1588, 2009.

2) Bernarn Budiamsky,Richard J. O'Connell, «Elastic moduli of a cracked solid,» International journal of Solids and structures, № 12, pp. 81-97, 1976.

3)M.Kachanov, «Elastic solids with many cracks and related problems,» ADVANCES IN APPLIED MECHANIC, т. vol.30, pp. 260-438, 1993.

4)Vladimir Grechka,Mark Kachanov, «Effective elasticity of rocks with closely spaced and intersecting cracks,» GEOPHYSICS, т. 71, № 3, pp. D85-D91, 2006.

5)Erik H. Saenger,Oliver S. Kruger and Serge A. Shapiro, «Effective elastic properties of randomly fractured soils: 3D numerical experiments,» Geophysical Prospecting, № 52, pp. 183-195, 2004.

6) Y.J. Liu, X.L. Chen, «Evaluations of the effective material properties of carbon nanotube-based composites using a nanoscale representative volume element,» Mechanics of Materials, № 35, pp. 69-81, 2003.

7) Y. BENVENISTE, «A new approach to the application of Mori-Tanaka's theory in composite materials,» Mechanics of Materials, № 6, pp. 147-157, 1987.

8) И. Баюк, «Основные принципы математического моделирования макроскопических физических свойств коллекторов углеводородов,» Seismic Technology , № 10, pp. 5-18, 2011.

9) И. Баюк, «Междисциплинарный подход к определению эффективных физических свойств коллекторов,» в Galperin Readings 2011 , Galperin , 2011.

10) Igor Sevostianov, Mark Kachanov, «On approximate symmetries of the elastic properties and elliptic orthotropy,» International Journal of Engineering Science, № 46, pp. 211-223, 2008.

11) M.Kachanov, «Effective elastic properties of cracked solids: critical review of some basic concepts,» Appl Mech Rev, № vol. 45, pp. 304-305, 1992.

12) Crouch S.L., Starfield A.M, «Boundary Element Methods in Solid Mechanics: with Applications in Rock Mechanics and Geological Engineering,» George Allen and Union, p. 322, 1983.

13) K. J. Willam, «Advanced Mechanics of Materials,» CVEN 5161, 2003.