Редактирование: Определение упругих модулей материала

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''
 
 
'''Исполнитель:''' [[Фомичева Мария]]
 
 
'''Группа:''' [[Группа 10|10]] (43604/1)
 
 
'''Семестр:''' осень 2017
 
 
 
== Введение ==
 
== Введение ==
  
[[Файл:Материал для определения упругих модулей.png|thumb|Рис.1. Исследуемый материал]]
+
В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств различных материалов.  
В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств разных материалов. Эти исследования позволяют определить поведение материала при различных деформациях и напряжениях.
 
  
В данной работе проводится исследование материала на его упругие характеристики - коэффициента Пуассона и модуля Юнга. Вычисление модулей ведется с помощью компьютерного эксперимента. Пример материала, для которого производились расчеты, показан на Рис.1. При вычислении упругих коэффициентов используется метод молекулярной динамики (ММД). Кроме того, в задаче ставятся фиксированные граничные условия: левая грань материала фиксируется, правая грань растягивается вдоль горизонтально оси, все остальные грани - свободные.
+
В данной работе проводится исследование двух упругих модулей - коэффициента Пуассона и модуля Юнга. Вычисление модулей ведется с помощью компьютерного эксперимента. При вычислении используется метод молекулярной динамики (ММД). Кроме того, в задаче ставятся фиксированные граничные условия.
  
 
== Алгоритм компьютерного эксперимента ==
 
== Алгоритм компьютерного эксперимента ==
Строка 19: Строка 9:
 
Весь компьютерный эксперимент можно условно разделить на три этапа.
 
Весь компьютерный эксперимент можно условно разделить на три этапа.
  
''На первом этапе'' находится положение равновесия материала в растянутом состоянии.
+
''На первом этапе'' вычисления находится положение равновесия материала в растянутом состоянии.
При этом задается растяжение вдоль одной из осей симметрии материала (оси X). Компьютерный эксперимент производится посредством нахождения
+
При этом задается растяжение вдоль одной из оси симметрии решетки (оси X). На этом этапе решается динамическая задача
 +
достижения положения равновесия. Компьютерный эксперимент производится посредством вычисления
 
радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование
 
радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование
ведется методом центральных разностей. Данный метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются
+
ведется методом центральных разностей. Метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются
во временных точках, разделенных интервалами равными шагу интегрирования, а скорости
+
во временных точках, разделенных интервалами, равными шагу интегрирования, а скорости
 
вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:
 
вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов:
  
Строка 32: Строка 23:
 
где <math>\tau</math> – шаг интегрирования. Ускорение <math>\underline{w}(t)</math>
 
где <math>\tau</math> – шаг интегрирования. Ускорение <math>\underline{w}(t)</math>
 
вычисляется через приложенную к частице силу.
 
вычисляется через приложенную к частице силу.
Кроме того, на первом этапе вычисляется средняя деформация материала после его растяжения.
 
  
''Второй этап'' представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на
+
''
соседние с ним атомы. Зная силы, механические напряжения в решетке можно вычислить по формулам:
+
Второй этап'' представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на
 +
соседние с ним атомы. Эта часть содержит вычисление значения производных от одного
 +
слагаемого потенциальной энергии системы, т.е. потенциальной энергии, приходящейся на
 +
один атом.
 +
 
 +
Механические напряжения в решетке вычисляются по формулам:
  
 
<math>
 
<math>
Строка 41: Строка 36:
 
     \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i \underline{A}_{\alpha}^i =
 
     \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i \underline{A}_{\alpha}^i =
 
     \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i),
 
     \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i),
 +
</math>
 +
 +
иначе
 +
 +
<math>
 +
    {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i =
 +
    \frac{1}{V} \sum_{\alpha} \frac{\partial \Pi^i}{\partial \underline{A}_{\alpha}^i}
 +
    (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i), \quad \Pi^i = \frac{1}{2} \sum_{j (\neq i)} V_{ij}
 
</math>
 
</math>
  
 
Здесь <math>{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i</math> – тензор механических напряжений для частицы с номером <math>i</math>. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений
 
Здесь <math>{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i</math> – тензор механических напряжений для частицы с номером <math>i</math>. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений
<math>({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)</math> по всем частицам. <math>V</math> – объем ячейки периодичности. <math>\underline{A}_{\alpha}^i</math> – вектор относительного
+
<math>({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)</math> по всем частицам. <math>V</math> – объем ячейки периодичности.\frac{\partial \Pi^i}{\partial \underline{A}_{\alpha}^i}</math>, где <math>\alpha</math> – номер
 +
соседней частицы к частице с номером <math>i</math>. <math>\underline{A}_{\alpha}^i</math> – вектор относительного
 
положения соседней частицы: <math>\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i</math>,
 
положения соседней частицы: <math>\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i</math>,
 
где <math>\underline{r}_i</math>
 
где <math>\underline{r}_i</math>
 
– радиус-вектор частицы с номером <math>i</math>, <math>\underline{r}_{\alpha}^i</math> – радиус-вектор соседней
 
– радиус-вектор частицы с номером <math>i</math>, <math>\underline{r}_{\alpha}^i</math> – радиус-вектор соседней
частицы (<math>\alpha</math>).
+
частицы (<math>\alpha</math>). <math>V_{ij}</math> – энергия, приходящаяся на одну связь.
  
  
''Третий этап'' представляет собой нахождение упругих модулей через коэффициенты упругости. Для нахождения коэффициентов упругости воспользуемся формулами их выражения через компоненты тензоров напряжения и деформации.
+
''Третий этап'' представляет собой нахождение упругих модулей через коэффициенты упругости. Для нахождения коэффициентов упругости воспользуемся формулами для их выражения через компоненты тензоров напряжения и деформации.
  
 
В трехмерном материале коэффициенты упругости
 
В трехмерном материале коэффициенты упругости
Строка 67: Строка 71:
  
  
Модули упругости выражаются формулами:
+
Модули упругости выражаются по формулам:
  
 
<math>
 
<math>
 
     \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad
 
     \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad
 
     E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},
 
     E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})},
</math> где  
+
где  
<math> </math> - модуль Юнга,  
+
E  - модуль Юнга,  
<math>\nu </math> - коэффициент Пуассона
+
\nu - коэффициент Пуассона
 +
</math>
  
== Компьютерный эксперимент с конкретным материалом ==
+
При выборе конкретного материалана основе ГЦК с расстоянием между частицами <math>d = 0.33,  
 
+
</math> упругие модули получились следующими
При компьютерном эксперименте был рассмотрен изотропный материал со следующими параметрами:
+
<math>E = 0.926682, \nu = 0.2274
 
+
</math>
Расстояние между частицами - <math>d = 0.33,</math>
 
 
 
Количество частиц - <math> N = 8000,</math>
 
 
 
Радиус обрезания - <math> A_c = 1.3</math>
 
 
 
Масса частиц, жесткость частиц и длина ребра материала приняты равными единице.
 
 
При растяжении такого материала упругие модули получаются следующими:
 
<math>E/E* = 0.808,</math> где <math> E/E*</math> - обезразмеренный модуль Юнга
 
 
 
<math>\nu = 0.396</math>
 
 
 
==Ссылки== 
 
*Автор проекта: [[ Фомичева Мария]]
 
*[[Виртуальная лаборатория]]
 
Вам запрещено изменять защиту статьи. Edit Создать редактором

Обратите внимание, что все добавления и изменения текста статьи рассматриваются как выпущенные на условиях лицензии Public Domain (см. Department of Theoretical and Applied Mechanics:Авторские права). Если вы не хотите, чтобы ваши тексты свободно распространялись и редактировались любым желающим, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого.
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ МАТЕРИАЛЫ, ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ!

To protect the wiki against automated edit spam, we kindly ask you to solve the following CAPTCHA:

Отменить | Справка по редактированию  (в новом окне)