Редактирование: Определение упругих модулей материала
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== Введение == | == Введение == | ||
− | + | В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств различных материалов. | |
− | В настоящее время большое внимание уделяется исследованию упругих свойств | ||
− | В данной работе проводится исследование | + | В данной работе проводится исследование двух упругих модулей - коэффициента Пуассона и модуля Юнга. Вычисление модулей ведется с помощью компьютерного эксперимента. При вычислении используется метод молекулярной динамики (ММД). Кроме того, в задаче ставятся фиксированные граничные условия. |
== Алгоритм компьютерного эксперимента == | == Алгоритм компьютерного эксперимента == | ||
Строка 19: | Строка 9: | ||
Весь компьютерный эксперимент можно условно разделить на три этапа. | Весь компьютерный эксперимент можно условно разделить на три этапа. | ||
− | ''На первом этапе'' находится положение равновесия материала в растянутом состоянии. | + | ''На первом этапе'' вычисления находится положение равновесия материала в растянутом состоянии. |
− | При этом задается растяжение вдоль одной из | + | При этом задается растяжение вдоль одной из оси симметрии решетки (оси X). На этом этапе решается динамическая задача |
+ | достижения положения равновесия. Компьютерный эксперимент производится посредством вычисления | ||
радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование | радиус векторов и векторов скорости частиц в зависимости от времени. Интегрирование | ||
− | ведется методом центральных разностей. | + | ведется методом центральных разностей. Метод состоит в том, что координаты и силы вычисляются |
− | во временных точках, разделенных интервалами равными шагу интегрирования, а скорости | + | во временных точках, разделенных интервалами, равными шагу интегрирования, а скорости |
вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов: | вычисляются во временных точках, находящихся в серединах вышеупомянутых интервалов: | ||
Строка 32: | Строка 23: | ||
где <math>\tau</math> – шаг интегрирования. Ускорение <math>\underline{w}(t)</math> | где <math>\tau</math> – шаг интегрирования. Ускорение <math>\underline{w}(t)</math> | ||
вычисляется через приложенную к частице силу. | вычисляется через приложенную к частице силу. | ||
− | |||
− | ''Второй этап'' представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на | + | '' |
− | соседние с ним атомы. | + | Второй этап'' представляет собой определение слагаемых сил, действующих на один атом системы и на |
+ | соседние с ним атомы. Эта часть содержит вычисление значения производных от одного | ||
+ | слагаемого потенциальной энергии системы, т.е. потенциальной энергии, приходящейся на | ||
+ | один атом. | ||
+ | |||
+ | Механические напряжения в решетке вычисляются по формулам: | ||
<math> | <math> | ||
Строка 41: | Строка 36: | ||
\frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i \underline{A}_{\alpha}^i = | \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i \underline{A}_{\alpha}^i = | ||
\frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i), | \frac{1}{2V} \sum_{\alpha} \underline{F}_{\alpha}^i (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i), | ||
+ | </math> | ||
+ | |||
+ | иначе | ||
+ | |||
+ | <math> | ||
+ | {{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i = | ||
+ | \frac{1}{V} \sum_{\alpha} \frac{\partial \Pi^i}{\partial \underline{A}_{\alpha}^i} | ||
+ | (\underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i), \quad \Pi^i = \frac{1}{2} \sum_{j (\neq i)} V_{ij} | ||
</math> | </math> | ||
Здесь <math>{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i</math> – тензор механических напряжений для частицы с номером <math>i</math>. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений | Здесь <math>{{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i</math> – тензор механических напряжений для частицы с номером <math>i</math>. При однородном поле деформации находится средний тензор напряжений | ||
− | <math>({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)</math> по всем частицам. <math>V</math> – объем ячейки периодичности. <math>\underline{A}_{\alpha}^i</math> – вектор относительного | + | <math>({{\underline{\underline{\tau\hspace{-0.5mm}}}\hspace{0.5mm}}}_i)</math> по всем частицам. <math>V</math> – объем ячейки периодичности.\frac{\partial \Pi^i}{\partial \underline{A}_{\alpha}^i}</math>, где <math>\alpha</math> – номер |
+ | соседней частицы к частице с номером <math>i</math>. <math>\underline{A}_{\alpha}^i</math> – вектор относительного | ||
положения соседней частицы: <math>\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i</math>, | положения соседней частицы: <math>\underline{A}_{\alpha}^i = \underline{r}_{\alpha}^i - \underline{r}_i</math>, | ||
где <math>\underline{r}_i</math> | где <math>\underline{r}_i</math> | ||
– радиус-вектор частицы с номером <math>i</math>, <math>\underline{r}_{\alpha}^i</math> – радиус-вектор соседней | – радиус-вектор частицы с номером <math>i</math>, <math>\underline{r}_{\alpha}^i</math> – радиус-вектор соседней | ||
− | частицы (<math>\alpha</math>). | + | частицы (<math>\alpha</math>). <math>V_{ij}</math> – энергия, приходящаяся на одну связь. |
− | ''Третий этап'' представляет собой нахождение упругих модулей через коэффициенты упругости. Для нахождения коэффициентов упругости воспользуемся формулами их выражения через компоненты тензоров напряжения и деформации. | + | ''Третий этап'' представляет собой нахождение упругих модулей через коэффициенты упругости. Для нахождения коэффициентов упругости воспользуемся формулами для их выражения через компоненты тензоров напряжения и деформации. |
В трехмерном материале коэффициенты упругости | В трехмерном материале коэффициенты упругости | ||
Строка 67: | Строка 71: | ||
− | Модули упругости выражаются | + | Модули упругости выражаются по формулам: |
<math> | <math> | ||
\nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad | \nu = \frac{C_{12}}{C_{11} + C_{12}},\quad | ||
E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})}, | E = \frac{(C_{11} - C_{12}) (C_{11} + 2 C_{12})}{(C_{11} + C_{12})}, | ||
− | + | где | |
− | + | E - модуль Юнга, | |
− | + | \nu - коэффициент Пуассона | |
+ | </math> | ||
− | + | При выборе конкретного материалана основе ГЦК с расстоянием между частицами <math>d = 0.33, | |
− | + | </math> упругие модули получились следующими | |
− | + | <math>E = 0.926682, \nu = 0.2274 | |
− | + | </math> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | <math>E | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− |