Редактирование: Одномерное уравнение теплопроводности. Степанов Алексей. 6 курс 2015-2016

==Цель==
Реализовать численное решение одномерно уравнения теплопроводности.
==Постановка задачи==
Решается однородное уравнение теплопроводности на промежутке <math>\left[0\ldots L\right]</math>
:<math>\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} - a^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2} = 0</math>
С граничными условиями 
:<math> \begin{cases}
   T(0,t) = T_0 \\
   T(L,t) = T_1
 \end{cases}</math>
И начальным распределением температуры
:<math>T(x,t) = T_s</math>

==Конечно-разностная схема==

Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка.
Запишем исходное уравнение в виде
:<math>\frac{\partial T\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 T\left(x,t\right)}{\partial x^2}</math>

Введем равномерную сетку <math>0 < x_i < L</math> с шагом разбиения <math>Δx</math>. Шаг по времени назовем <math>Δt</math>
Построим явную конечно-разностную схему:
:<math>\frac{T_i^{n+1}-T_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(T_{i+1}^{n} - 2T_{i}^{n}+T_{i-1}^{n}\right)</math>
Где, <math>T_i</math> — значение температуры в <math>i</math>-ом узле.

==Компьютерная реализация==
Компьютерную реализацию программы можно найти в [[File:SAD_HeatConductivity.7z|архиве]]

==Результаты==
{| class="wikitable" width="300" floating="center"
!Количество процессов
!Время рассчета (сек)
|-
|1 
|184.2
|-
|4
|49.4
|-
|8
|28.66
|-
|10
|19.2
|-
|20
|12.89
|-
|30
|9.27
|-
|40
| 7.52
|}

==Выводы==
* Для малого числа узлов в сетке использовать многопроцессорные вычисления не выгодно: время работы программы увеличивается.
* При увеличении числа процессоров относительный выигрыш во времени уменьшается.

==Полезные ссылки==
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Уравнение теплопроводности]
@@ Строка 34: / Строка 34: @@
 |184.2
 |-
-|2
+|4
-|91.6
+|49.4
 |-
-|5
+|8
-|39.4
+|28.66
 |-
 |10
@@ Строка 44: / Строка 44: @@
 |-
 |20
-|9.9
+|12.89
 |-
 |30
-|8.1
+|9.27
 |-
 |40
-|7.5
+| 7.52
 |}