Текущая версия |
Ваш текст |
Строка 13: |
Строка 13: |
| | | |
| ==Реализация== | | ==Реализация== |
− | ===Конечно-разностная схема===
| + | * Данные для расчета |
− | [[File:Zavnuischeme.PNG|thumb|300px|Явная разностная схема|right]]
| |
− | Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка.
| |
− | Запишем исходное уравнение в виде
| |
− | :<math>\frac{\partial U\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 U\left(x,t\right)}{\partial x^2}</math>
| |
− | | |
− | Введем равномерную сетку <math>0 < x_i < L</math> с шагом разбиения <math>Δx</math>. Шаг по времени назовем <math>Δt</math>
| |
− | Построим явную конечно-разностную схему:
| |
− | :<math>\frac{U_i^{n+1}-U_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(U_{i+1}^{n} - 2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}\right)</math>
| |
− | Где, <math>U_i</math> — значение температуры в <math>i</math>-ом узле.
| |
− | * Условие сходимости явной схемы:<math>dt<dx^2/2</math>, где dt - шаг по времени, dx - шаг по координате | |
− | | |
− | ===Применение технологии MPI===
| |
− | Разветвление для уравнения теплопроводности осуществляется путем разбиением отрезка интегрирования на некоторые интервалы. На каждом интервале, процесс интегрирования осуществляется отдельным процессом, при этом в связи с использованием явной схемы, соседние процессы должны обменивать крайними значениями, получены на предыдущем шаге, для выполнения следующего шага.
| |
− | [[File:Sendandreceive.png|Схема передачи данных между процессами|center]]
| |
− | : Первый процесс обменивается данными только с вторым процессом
| |
− | : Последний процесс обменивается данными только с предпоследним процессом
| |
− | : Все центральные процессы обмениваются с процессами слево, и справо
| |
− | * Начальные и краиние значения на каждом шаге вычисляются по начальным и граничным условиям.
| |
− | | |
− | ===Данные для расчета===
| |
| :<math> \begin{cases} | | :<math> \begin{cases} |
| a=0;b=1\\ | | a=0;b=1\\ |
Строка 42: |
Строка 22: |
| k=1 | | k=1 |
| \end{cases}</math> | | \end{cases}</math> |
| + | * Скачать [[File:HeatEquation.rar|HeatEquation 2KB]] |
| | | |
| ==Результаты== | | ==Результаты== |
Строка 78: |
Строка 59: |
| | 7.52 | | | 7.52 |
| |} | | |} |
− | Для малого числа узлов в сетке использовать многопроцессорные вычисления не выгодно: время работы программы неуменьшается.
| |
| Заметим что при увеличении количества процессов, скорость расчета параллельно повысилась | | Заметим что при увеличении количества процессов, скорость расчета параллельно повысилась |
− | ==Полезные ссылки==
| |
− | [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Уравнение теплопроводности]
| |