Редактирование: Одномерное уравнение теплопроводности. Буй Ван Шань. 6 курс

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
−
==Постановка задачи==
+
==Задание==
−
[[File:Heat eqn.gif|thumb|Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки.]]
+
Решение краевой задачи для одномерного уравнения теплопроводности
−
Решается однородное [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 уравнение теплопроводности] на промежутке <math>\left[a\ldots b\right]</math>
+
dU/dt-d2U/dx2=f(x,t), a<x<b, 0<t<Tk
−
:<math>\frac{\partial U\left(x,t\right)}{\partial t} - k^2\frac{\partial^2 U\left(x,t\right)}{\partial x^2} = f(x,t)</math>
+
Начальное условие U(x,0)=U0(x)
−
С граничными условиями
+
Конечные условия U(a,t)=M1(t); U(b,t)=M2(t);
−
:<math> \begin{cases}
+
Где f(x,t), U0(x), M1(t), M2(t) - Заданные функции
−
  U(a,t) = M1(t) \\
+
* Заданы: U(x,0)=cos(x+0,48);
−
  U(b,t) = M2(t)
+
          U(0,t)=6t+0,887;
−
\end{cases}</math>
+
          U(1,t)=0,0907
−
и начальным распределением температуры
+
          0<x<1;0<t<1
−
:<math>U(x,0) = U0(x)</math>
+
==Релизация MPI==
−
*Где :<math>f(x,t), U0(x), M1(t), M2(t)</math> - Известные функции
+
# include <cstdlib>
 +
# include <iostream>
 +
# include <fstream>
 +
# include <math.h>
 +
# include <time.h>
 +
# include "mpi.h"
 +
using namespace std;
 +
double initial_condition ( double x, double time );
 +
double boundary_condition ( double time,int flag);
 +
clock_t start,finish;
 +
int main(int argv, char** argc)
 +
{
 +
int my_id,p; //p:  number of processes; my_id: id- process id
 +
MPI_Init(&argv,&argc);
 +
MPI_Comm_rank(MPI_COMM_WORLD, &my_id);  /* get current process id */
 +
    MPI_Comm_size(MPI_COMM_WORLD, &p);    /* get number of processes */
 +
if(my_id==0) // Start recording time
 +
{
 +
start=clock();
 +
}
 +
double x_min=0; //левый предел
 +
double x_max=1; // right limit
 +
double t_min=0; // starting time
 +
double t_max=1; // ending time
 +
double shagt=0.0000001; // time step
 +
int ShagovPoT=(t_max-t_min)/shagt;
 +
double shagx=0.0001;    // space step
 +
int i_shagov=(x_max-x_min)/p/shagx;
  
−
==Реализация==
+
double *T,*Tn;
−
===Конечно-разностная схема===
+
double *X;
−
[[File:Zavnuischeme.PNG|thumb|300px|Явная разностная схема|right]]
+
ofstream  myFile,infoFile;
−
Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка.
+
char file_name[100];
−
Запишем исходное уравнение в виде
+
sprintf(file_name, "result%i.txt", my_id); //file_name
−
:<math>\frac{\partial U\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 U\left(x,t\right)}{\partial x^2}</math>
+
 +
X=new double[i_shagov+3];
 +
for(int i=0;i<i_shagov+3;i++)
 +
{
 +
X[i]=x_min+(i-1)*shagx + my_id*i_shagov*shagx + my_id*shagx;
 +
}
 +
T=new double[i_shagov+3];
 +
Tn=new double[i_shagov+3];
 +
for(int i=0;i<i_shagov+3;i++) // Initial condition t=0
 +
{
 +
T[i]=initial_condition(X[i],0);
 +
}
 +
/*
 +
myFile.open(file_name,ios::app);
  
−
Введем равномерную сетку <math>0 < x_i < L</math> с шагом разбиения <math>Δx</math>. Шаг по времени назовем <math>Δt</math>
+
for(int k=1;k<i_shagov+2;k++)
−
Построим явную конечно-разностную схему:
+
{
−
:<math>\frac{U_i^{n+1}-U_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(U_{i+1}^{n} - 2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}\right)</math>
+
myFile<<T[k]<<"\t";
−
Где, <math>U_i</math> — значение температуры в <math>i</math>-ом узле.
+
}
−
* Условие сходимости явной схемы:<math>dt<dx^2/2</math>, где dt - шаг по времени, dx - шаг по координате
+
myFile<< "\n";
 +
myFile.close();
 +
*/
 +
for(int j=1;j<ShagovPoT;j++)
 +
{
  
−
===Применение технологии MPI===
+
if(my_id==0)
−
Разветвление для уравнения теплопроводности осуществляется путем разбиением отрезка интегрирования на некоторые интервалы. На каждом интервале, процесс интегрирования осуществляется отдельным процессом, при этом в связи с использованием явной схемы, соседние процессы должны обменивать крайними значениями, получены на предыдущем шаге, для выполнения следующего шага.
+
// The first process will only send and recive data with its right process
−
[[File:Sendandreceive.png|Схема передачи данных между процессами|center]]
+
{
−
: Первый процесс обменивается данными только с вторым процессом
+
double right_send=T[i_shagov+1];
−
: Последний процесс обменивается данными только с предпоследним процессом
+
double right_recive;
−
: Все центральные процессы обмениваются с процессами слево, и справо
+
MPI_Send(&right_send,1,MPI_DOUBLE,1,0,MPI_COMM_WORLD);
−
* Начальные и краиние значения на каждом шаге вычисляются по начальным и граничным условиям.
+
MPI_Recv(&right_recive,1,MPI_DOUBLE,1,0,MPI_COMM_WORLD,MPI_STATUSES_IGNORE);
 +
T[i_shagov+2]=right_recive;
 +
}
 +
else if(my_id==p-1)
 +
// The last process will only send and recive data with its left process
 +
{
 +
double  left_send=T[1];
 +
MPI_Send(&left_send,1,MPI_DOUBLE,my_id-1,0,MPI_COMM_WORLD);
 +
double left_recive;
 +
MPI_Recv(&left_recive,1,MPI_DOUBLE,my_id-1,0,MPI_COMM_WORLD,MPI_STATUSES_IGNORE);
 +
T[0]=left_recive;
 +
}
 +
else
 +
{
 +
//midle process send and recive message with left and right processes
 +
double  left_send=T[1];
 +
MPI_Send(&left_send,1,MPI_DOUBLE,my_id-1,0,MPI_COMM_WORLD);
 +
double  left_recive;
 +
MPI_Recv(&left_recive,1,MPI_DOUBLE,my_id-1,0,MPI_COMM_WORLD,MPI_STATUSES_IGNORE);
 +
T[0]=left_recive;
  
−
===Данные для расчета===
+
double  right_send= T[i_shagov+1];
−
:<math> \begin{cases}
+
double right_recive;
−
  a=0;b=1\\
+
MPI_Send(&right_send,1,MPI_DOUBLE,my_id+1,0,MPI_COMM_WORLD);
−
  M1(t)=6t+0.887\\
+
MPI_Recv(&right_recive,1,MPI_DOUBLE,my_id+1,0,MPI_COMM_WORLD,MPI_STATUSES_IGNORE);
−
  M2(t)=0.0907\\
+
T[i_shagov+2]=right_recive;
−
  U0(x)=cos(x+0.48)\\
+
}
−
  f(x,t)=0\\
+
for(int i=1;i<i_shagov+2;i++)
−
  k=1
+
{
−
\end{cases}</math>
+
//Tn[i]=T[i]+ shagt/shagx/shagx*(T[i+1]+T[i-1]-2*T[i]);
 +
Tn[i]=5;
 +
}
 +
if(my_id==0) //поправить самый левый и самый правый интервала по гранич. услов.
 +
{
 +
Tn[1]=boundary_condition(j*shagt,1);
 +
}
 +
else if(my_id==p-1)
 +
{
 +
Tn[i_shagov+1]=boundary_condition(j*shagt,2);
 +
}
 +
/*
 +
// print result to files
 +
myFile.open(file_name,ios::app);
  
−
==Результаты==
+
for(int k=1;k<i_shagov+2;k++)
−
* Решение
+
{
−
** 2 процесса
+
myFile<<Tn[k]<<"\t";
−
[[File:Result.PNG|thumb|500px|Решение при запуске 2-х процессов|center]]
+
}
−
*4 процесса
+
myFile<< "\n";
−
[[File:Result2.png|thumb|500px|Решение при запуске 4-х процессов|center]]
+
myFile.close();
−
* Погрешность вычисления
+
*/
−
* Зависимость времени расчета от количества процессов при постоянных шагах вычисления: dx = 0.001; dt = 0.000001
+
for(int i=0;i<i_shagov+3;i++)
 +
{
 +
T[i]=Tn[i];
 +
}
 +
T[0]=T[1];
 +
T[i_shagov+2]=T[i_shagov+1];
 +
}
 +
 +
MPI_Finalize();
 +
if(my_id==0) 
 +
{
 +
  finish=clock();// Stop recording time
 +
  double second =finish-start;
 +
  //myFile.open(file_name,ios::app);
 +
  infoFile.open("infoSolution.txt");
 +
  infoFile<<"Calculating with "<<p<<" processes"<<endl;
 +
  infoFile<<"It took "<< second/CLOCKS_PER_SEC<< " seconds";
 +
  //infoFile<<""
 +
  //printf ("It took me %d clicks (%f seconds).\n",second,((float)second)/CLOCKS_PER_SEC);
 +
}
 +
}
 +
double initial_condition ( double x, double time )
 +
{
 +
double value;
 +
value=cos(x+0.48);
 +
return value;
 +
}
 +
double boundary_condition ( double t,int flag)
 +
{
 +
double value;
 +
if(flag==1)
 +
{
 +
value=6*t+0.886994923;
 +
}
 +
else if(flag==2)
 +
{
 +
value=0.090671624;
 +
}
 +
return value;
  
−
[[File:Processing time.PNG|thumb|500px|Зависимость времени расчета от кол. процессов|center]]
+
}
−
{| class="wikitable" width="300" floating="center"
+
 
−
!Количество процессов
+
==Цель работы==
−
!Время рассчета (сек)
 
−
|-
 
−
|2
 
−
|96.58
 
−
|-
 
−
|4
 
−
|49.4
 
−
|-
 
−
|8
 
−
|28.66
 
−
|-
 
−
|10
 
−
|23.63
 
−
|-
 
−
|20
 
−
|12.89
 
−
|-
 
−
|30
 
−
|9.27
 
−
|-
 
−
|40
 
−
| 7.52
 
−
|}
 
−
Для малого числа узлов в сетке использовать многопроцессорные вычисления не выгодно: время работы программы неуменьшается.
 
−
Заметим что при увеличении количества процессов, скорость расчета параллельно повысилась
 
−
==Полезные ссылки==
 
−
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Уравнение теплопроводности]
 
Вам запрещено изменять защиту статьи.
Связанное содержимое ↓
Edit Создать редактором
Шаблоны быстрого доступа

Обратите внимание, что все добавления и изменения текста статьи рассматриваются как выпущенные на условиях лицензии Public Domain (см. Department of Theoretical and Applied Mechanics:Авторские права). Если вы не хотите, чтобы ваши тексты свободно распространялись и редактировались любым желающим, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого.
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ МАТЕРИАЛЫ, ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ!

To protect the wiki against automated edit spam, we kindly ask you to solve the following CAPTCHA:

Отменить | Справка по редактированию  (в новом окне)
Источник — «http://tm.spbstu.ru/Одномерное_уравнение_теплопроводности._Буй_Ван_Шань._6_курс»