Редактирование: Одномерное уравнение теплопроводности. Буй Ван Шань. 6 курс

==Постановка задачи==
[[File:Heat eqn.gif|thumb|Пример численного решения уравнения теплопроводности. Цветом и высотой поверхности передана температура данной точки.]]
Решается однородное [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 уравнение теплопроводности] на промежутке <math>\left[a\ldots b\right]</math>
:<math>\frac{\partial U\left(x,t\right)}{\partial t} - k^2\frac{\partial^2 U\left(x,t\right)}{\partial x^2} = f(x,t)</math>
С граничными условиями 
:<math> \begin{cases}
   U(a,t) = M1(t) \\
   U(b,t) = M2(t)
 \end{cases}</math>
и начальным распределением температуры
:<math>U(x,0) = U0(x)</math>
*Где :<math>f(x,t), U0(x), M1(t), M2(t)</math> - Известные функции

==Реализация==
===Конечно-разностная схема===
[[File:Zavnuischeme.PNG|thumb|300px|Явная разностная схема|right]]
Задача содержит производную по времени первого порядка и производную по пространственной координате второго порядка.
Запишем исходное уравнение в виде
:<math>\frac{\partial U\left(x,t\right)}{\partial t} = a^2\frac{\partial^2 U\left(x,t\right)}{\partial x^2}</math>

Введем равномерную сетку <math>0 < x_i < L</math> с шагом разбиения <math>Δx</math>. Шаг по времени назовем <math>Δt</math>
Построим явную конечно-разностную схему:
:<math>\frac{U_i^{n+1}-U_i^{n}}{Δ t} = \frac{a^2}{Δx^2}\left(U_{i+1}^{n} - 2U_{i}^{n}+U_{i-1}^{n}\right)</math>
Где, <math>U_i</math> — значение температуры в <math>i</math>-ом узле.
* Условие сходимости явной схемы:<math>dt<dx^2/2</math>, где dt - шаг по времени, dx - шаг по координате

===Применение технологии MPI===
Разветвление для уравнения теплопроводности осуществляется путем разбиением отрезка интегрирования на некоторые интервалы. На каждом интервале, процесс интегрирования осуществляется отдельным процессом, при этом в связи с использованием явной схемы, соседние процессы должны обменивать крайними значениями в предыдущем шаге для выполнения следующего шага.
[[File:Sendandreceive.png|Схема передачи данных между процессами|center]]
: Первый процесс обменивается данными только с вторым процессом
: Последний процесс обменивается данными только с предпоследним процессом 
: Все центральные процессы обмениваются с процессами слево, и справо
* Начальные и краиние значения на каждом шаге вычисляются по начальным и граничным условиям.

===Данные для расчета===
:<math> \begin{cases}
   a=0;b=1\\
   M1(t)=6t+0.887\\
   M2(t)=0.0907\\
   U0(x)=cos(x+0.48)\\
   f(x,t)=0\\
   k=1
 \end{cases}</math>

==Результаты==
* Решение 
** 2 процесса 
[[File:Result.PNG|thumb|500px|Решение при запуске 2-х процессов|center]]
*4 процесса
[[File:Result2.png|thumb|500px|Решение при запуске 4-х процессов|center]]
* Погрешность вычисления
* Зависимость времени расчета от количества процессов при постоянных шагах вычисления: dx = 0.001; dt = 0.000001 

[[File:Processing time.PNG|thumb|500px|Зависимость времени расчета от кол. процессов|center]]
{| class="wikitable" width="300" floating="center"
!Количество процессов
!Время рассчета (сек)
|-
|2 
|96.58
|-
|4
|49.4
|-
|8
|28.66
|-
|10
|23.63
|-
|20
|12.89
|-
|30
|9.27
|-
|40
| 7.52
|}
Для малого числа узлов в сетке использовать многопроцессорные вычисления не выгодно: время работы программы неуменьшается.
Заметим что при увеличении количества процессов, скорость расчета параллельно повысилась
==Полезные ссылки==
[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%82%D0%B5%D0%BF%D0%BB%D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Уравнение теплопроводности]