Текущая версия |
Ваш текст |
Строка 1: |
Строка 1: |
− | [[Файл:ObratnyKasakad2vyhrya.jpg|thumb|Рис.1 Взаимодействие двух вихрей.|450px]]
| + | Перенос энергии с микро на макро уровень (и обратно) - одно из фундаментальных физических явлений. |
− | Переход энергии с микро на макро уровень (и обратно) - одно из фундаментальных физических явлений. В данной работе,на примере двумерных турбулентных вихрей, рассматривается случай перехода с мелкомасштабного механического движения на крупномасштабное. В литературе это явление обычно упоминается как '''“обратный каскад” энергии'''. Построенная модель позволяет исследовать переход энергии с микро на макро уровень и корреляции скоростей в дискретной среде.
| |
− | | |
− | Модель представлена набором взаимодействующих частиц с случайными начальными скоростями. Частицы взаимодействуют за счет отталкивающих потенциальных и диссипативных сил. Динамика взаимодействия описана набором уравнений движения Ньютона:
| |
− | | |
− | <big><math>m\pmb{\ddot r}= \sum_{j}\left({{}^p}{\pmb F_{ij}} + {{}^d}{\pmb F_{ij}}\right),\qquad i,j = 1...N</math></big>
| |
− | | |
− | где m, r - масса и радиус вектор i-ой частицы, <math>{{}^p}{\pmb F_{ij}}, {{}^d}{\pmb F_{ij}}</math> - отталкивающая потенциальная и диссипативная силы соответственно.
| |
− | | |
− | Выражения для потенциальной и диссипативной сил:
| |
− | | |
− | <big><math>
| |
− | {{}^p}{\pmb F_{ij}} =
| |
− | \begin{cases}
| |
− | \frac{6D}{a^{2}}{\left(\frac{a_{c} - \pmb r_{ij}}{a_{c} - a}\right)}^{2}{\left(\frac{a}{\pmb r_{ij}}\right)}^{10}, & \text{если} \; \pmb r_{ij} \leqslant a_{c}; \\
| |
− | 0, & \text{если} \; \pmb r_{ij} > a_{c}.
| |
− | \end{cases}
| |
− | </math></big>
| |
− | | |
− | <big><math>
| |
− | {{}^d}{\pmb F_{ij}} =
| |
− | \begin{cases}
| |
− | \beta {\left(\frac{a_{c} - \pmb r_{ij}}{a_{c} - a}\right)}^{2} \left( \pmb v_{j} - \pmb v_{i}\right)\cdot \pmb e_{ij} \pmb e_{ij} , & \text{если} \; \pmb r_{ij} \leqslant a_{c}; \\
| |
− | 0, & \text{если} \; \pmb r_{ij} > a_{c}.
| |
− | \end{cases}
| |
− | </math></big>
| |
− | | |
− | где <big><math>\pmb r_{ij} =\pmb r_{i} - \pmb r_{j},\; \pmb e_{ij} = \frac{\pmb r_{ij}}{r_{ij}},\; a_{c}</math></big> - радиус обрезания, <big><math>a, D</math></big> - энергетические параметры системы, <big><math> \beta </math></big> - коэффициент вязкости.
| |
− | | |
− | Диссипативные силы уменьшают полную энергию системы. Таким образом, без внешнего добавления энергии система перейдет в состояние равновесия. В данной модели энергия добавляется при помощи термостата Берендсена. Скорости частиц на каждом шаге по времени перемножаются на параметр <big><math> s </math></big> :
| |
− | | |
− | <big><math> s = \sqrt{\frac{T_{0}}{T}},\qquad T =\frac{1}{2}\sum_{i} m {\pmb v_{i}}^{2} </math></big>
| |
− | | |
− | где <big><math> T </math></big> - температура среды
| |
− | | |
| ==Программа== | | ==Программа== |
− |
| |
− | Частички расположены впритык друг к другу и образуют прямоугольную решетку. С помощью написанной программы можно изменять количество шаров, коэффициент вязкости и температуру в среде(термостат).
| |
− |
| |
− | {{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Stepanov/inverse%20cascade3_17.12.16/newVar.html |width=950 |height=1400 |border=0 }}
| |
− | <div class="mw-collapsible mw-collapsed">
| |
− | '''Текст программы на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content">
| |
− | Файл '''"Inverse cascade.js"'''
| |
− | <syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
| |
− |
| |
− | // Версия 16.12.16
| |
− |
| |
− | function MainBalls(canvas, slider_01, text_01, slider_02, text_02) {
| |
− |
| |
− | canvas.onselectstart = function () {return false;}; // запрет выделения canvas
| |
− |
| |
− | // Предварительные установки
| |
− |
| |
− | var context = canvas.getContext("2d"); // на context происходит рисование
| |
− | canvas.oncontextmenu = function (e) {return false;}; // блокировка контекстного меню
| |
− |
| |
− | var Pi = 3.1415926; // число "пи"
| |
− |
| |
− | var m0 = 1; // масштаб массы
| |
− | var T0 = 1; // масштаб времени (период колебаний исходной системы)
| |
− | var a0 = 1; // масштаб расстояния (диаметр шара)
| |
− |
| |
− | var C0 = m0 * k0 * k0; // масштаб жесткости
| |
− | var B0 = 2 * m0 * k0; // масштаб вязкости
| |
− |
| |
− | var G = 0;
| |
− | var G1 = 0;
| |
− | var G2 = 0;
| |
− |
| |
− | // *** Задание физических параметров ***
| |
− |
| |
− | var Ny = 30; // число шаров, помещающихся по вертикали в окно (задает размер шара относительно размера окна)
| |
− | var m = 1 * m0; // масса
| |
− | var Cwall = 10 * C0; // жесткость стен
| |
− | var Cball = 0.1 * Cwall; // жесткость между частицами
| |
− |
| |
− | var Bball = 0.01 * B0; // вязкость между частицами
| |
− | var Bwall = 0.03 * B0; // вязкость на стенках
| |
− | var r = 0.5 * a0; // радиус частицы в расчетных координатах
| |
− | var K = 0.7; // все силы, зависящие от радиуса, ограничиваются значением, реализующимся при r/a = K
| |
− | var a = 2 * r; // равновесное расстояние между частицами
| |
− | var aCut = 2 * a; // радиус обрезания
| |
− |
| |
− | // *** Задание вычислительных параметров ***
| |
− |
| |
− | var fps = 50; // frames per second - число кадров в секунду (качечтво отображения)
| |
− | var spf = 100; // steps per frame - число шагов интегрирования между кадрами (скорость расчета)
| |
− | var dt = 0.045 * T0 / fps; // шаг интегрирования (качество расчета)
| |
− |
| |
− | // Выполнение программы
| |
− |
| |
− | var r2 = r * r; // ___в целях оптимизации___
| |
− | var aCut2 = aCut * aCut; // ___в целях оптимизации___
| |
− | var a2 = a * a; // ___в целях оптимизации___
| |
− | var D = a2 * Cball / 72; // энергия связи между частицами
| |
− |
| |
− | var steps = 0;
| |
− | var Temp = 0;
| |
− | Temp0 = 0.12 * D;
| |
− | var B1 = 12*Math.sqrt((2*D)/a2);
| |
− | var B = 0.026 * B1;
| |
− | var betta = 3.5*B;
| |
− | var LJCoeff = 6 * D / a2; // коэффициент для расчета потенциала Л-Дж
| |
− |
| |
− | var Ka = K * a; // ___в целях оптимизации___
| |
− | var K2a2 = K * K * a2; // ___в целях оптимизации___
| |
− |
| |
− | var dNd = null; // ссылка на захваченный курсором шар (drag & drop)
| |
− | var grad; // должен ли работать градиент (регулируется в функции setNy())
| |
− |
| |
− | this.set_01 = function(p) {betta = p * B;};
| |
− | this.set_02 = function(pT) {Temp0 = pT *D;};
| |
− |
| |
− | this.setNy = function(ny) {
| |
− | Ny = ny;
| |
− | context.fillStyle = "#3070d0"; // цвет, шара
| |
− | };
| |
− | this.setNy(Ny); // запускаем с уже присвоенным значением, чтобы обновились настройки градиента
| |
− |
| |
− | // Запуск новой системы
| |
− |
| |
− | // следующие переменные должны пересчитываться каждый раз, когда мы изменяем значение Ny
| |
− | var scale, w, h;
| |
− | var rScale13, rScaleShift;
| |
− | this.newSystem = function() {
| |
− | scale = canvas.height / Ny / a0; // масштабный коэффициент для перехода от расчетных к экранным координатам
| |
− | w = canvas.width / scale; // ширина окна в расчетных координатах
| |
− | h = canvas.height / scale; // высота окна в расчетных координатах
| |
− |
| |
− | rScale13 = r * scale * 1.3; // ___в целях оптимизации___
| |
− | rScaleShift = r * scale / 5; // ___в целях оптимизации___
| |
− |
| |
− | this.setMy();
| |
− | };
| |
− |
| |
− | // настройка слайдеров и текстовых полей
| |
− | slider_01.min = 0.1; slider_01.max = 20;
| |
− | slider_01.step = 0.1;
| |
− | slider_01.value = betta / B; // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
| |
− | text_01.value = betta / B;
| |
− |
| |
− | // настройка слайдеров и текстовых полей
| |
− | slider_02.min = 0.1; slider_02.max = 1;
| |
− | slider_02.step = 0.1;
| |
− | slider_02.value = Temp0 / D; // начальное значение ползунка должно задаваться после min и max
| |
− | text_02.value = Temp0 / D;
| |
− |
| |
− | // график
| |
− | var vGraph1 = new TM_graph( // определить график
| |
− | "#vGraph1", // на html-элементе #vGraph
| |
− | 20000, // сколько шагов по оси "x" отображается
| |
− | 0, 1,0.1); // мин. значение оси Y, макс. значение оси Y, шаг по оси Y
| |
− |
| |
− | // Работа с массивом
| |
− |
| |
− | var balls = []; // массив шаров
| |
− | var addNewBall = function(x, y, check) {
| |
− | // проверка - не пересекается ли новый шар со стенами или уже существующими шарами
| |
− | if (check) {
| |
− | if (x - r < 0 || x + r > w || y - r < 0 || y + r > h) return null;
| |
− | for (var i = 0; i < balls.length; i++) {
| |
− | var rx = balls[i].x - x;
| |
− | var ry = balls[i].y - y;
| |
− | var rLen2 = rx * rx + ry * ry;
| |
− | if (rLen2 < 4 * r2) return null;
| |
− | }
| |
− | }
| |
− |
| |
− | var b = [];
| |
− |
| |
− | b.x = x; b.y = y; // расчетные координаты шара
| |
− | b.fx = 0; b.fy = 0; // сила, действующая на шар
| |
− | b.vx = (3 * (1 - 2 * Math.random())); b.vy = (3 * (1 - 2 * Math.random())); // скорость
| |
− |
| |
− | // balls[balls.length] = b; // добавить элемент в конец массива
| |
− | balls.push(b);
| |
− | return b;
| |
− | };
| |
− |
| |
− | this.setMy = function() {
| |
− | balls = [];
| |
− | for (var j = 0; j < Ny; j++)
| |
− | for (var i = 0; i < Ny; i++)
| |
− | addNewBall(w*j/Ny + r, h*i/Ny + r , true); // задаем 50x50
| |
− | document.getElementById('ballsNum').innerHTML = balls.length;
| |
− | }
| |
− |
| |
− | // Основной цикл программы
| |
− |
| |
− | function control() {
| |
− | physics();
| |
− | draw();
| |
− | }
| |
− |
| |
− | // Расчетная часть программы
| |
− |
| |
− | function physics() { // то, что происходит каждый шаг времени
| |
− | for (var s = 1; s <= spf; s++) {
| |
− |
| |
− | for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) {
| |
− | Temp = 1/2 * (balls[i0].vx * balls[i0].vx + balls[i0].vy * balls[i0].vy) / Ny;
| |
− | var stat = Math.sqrt(Temp0/Temp);
| |
− | balls[i0].vx*=stat;
| |
− | balls[i0].vy*=stat;
| |
− | }
| |
− | for (var i = 0; i < balls.length; i++)
| |
− | {
| |
− | // расчет взаимодействия производится со всеми следующими шарами в массиве,
| |
− | // чтобы не считать каждое взаимодействие дважды
| |
− | var b = balls[i];
| |
− | for (var j = i + 1; j < balls.length; j++) {
| |
− | var b2 = balls[j];
| |
− | var rx = b.x - b2.x; var ry = b.y - b2.y; // вектор смотрит на первый шар (b)
| |
− | var r2 = rx * rx + ry * ry; // квадрат расстояния между шарами
| |
− | if (r2 > aCut2) continue; // проверка на радиус обрезания
| |
− | var rLen = (Math.sqrt(r2));
| |
− |
| |
− | // если расстояние между частицами мало, силы будут посчитаны для K * a
| |
− | if (r2 < K2a2) {
| |
− | if (rLen > 0.00001) { // проверка, чтобы избежать деления на 0
| |
− | rx = rx / rLen * Ka;
| |
− | ry = ry / rLen * Ka;
| |
− | }
| |
− | r2 = K2a2;
| |
− | rLen = Ka; // корень K2a2
| |
− | }
| |
− | // сила взаимодействия
| |
− | var s2 = a2 / r2; var s4 = s2 * s2; // ___в целях оптимизации___
| |
− | var s8 = s4 * s4;
| |
− | var F = LJCoeff * s8 * s2 * ((aCut - rLen)/(aCut - a)); // сила взаимодействия Леннарда-Джонса
| |
− |
| |
− | var vx21 = b.vx - b2.vx; var vy21 = b.vy - b2.vy; // вектор смотрит на первый шар (b)
| |
− | var ex = rx / rLen; var ey = ry / rLen;
| |
− | var v = vx21 * ex + vy21 * ey;
| |
− | F -= betta * ((aCut - rLen)/(aCut - a)) * v * (1/rLen);
| |
− |
| |
− | // суммируем силы
| |
− | var Fx = F * rx*dt; var Fy = F * ry*dt;
| |
− |
| |
− | b.vx += Fx; b.vy += Fy;
| |
− | b2.vx -= Fx; b2.vy -= Fy;
| |
− |
| |
− | G2 += b.vx * b2.vx + b.vy * b2.vy;
| |
− | G1 += 1;
| |
− |
| |
− | }
| |
− |
| |
− | if (b.y + r > h) { b.vy += (-Cwall * (b.y + r - h) - Bwall * b.vy)*dt; }
| |
− | if (b.y - r < 0) { b.vy += -Cwall * (b.y - r) - Bwall * b.vy;}
| |
− | if (b.x + r > w) { b.vx += -Cwall * (b.x + r - w) - Bwall * b.vx; }
| |
− | if (b.x - r < 0) { b.vx += -Cwall * (b.x - r) - Bwall * b.vx; }
| |
− |
| |
− | }
| |
− | for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) {
| |
− | balls[i0].x += dt * balls[i0].vx;
| |
− | balls[i0].y += dt * balls[i0].vy;
| |
− | }
| |
− |
| |
− | G = G2 / G1 / 2/ Temp0/Ny;
| |
− |
| |
− | steps++;
| |
− | if (steps % 200 == 0) {
| |
− | vGraph1.graphIter(steps, (G))}
| |
− | }
| |
− | }
| |
− |
| |
− | // Рисование
| |
− | function draw() {
| |
− | context.clearRect(0, 0, w * scale, h * scale); // очистить экран
| |
− | for (var i = 0; i < balls.length; i++){
| |
− | var xS = balls[i].x * scale; var yS = balls[i].y * scale;
| |
− | if (grad) {
| |
− | // расчет градиента нужно проводить для каждого шара
| |
− | var gradient = context.createRadialGradient(xS, yS, rScale13, xS - rScaleShift, yS + rScaleShift, 0);
| |
− | gradient.addColorStop(0, "#0000bb");
| |
− | gradient.addColorStop(1, "#44ddff");
| |
− | context.fillStyle = gradient;
| |
− | }
| |
− |
| |
− | context.beginPath();
| |
− | context.arc(xS, yS, r*scale, 0, 2 * Math.PI, false);
| |
− | context.closePath();
| |
− | context.fill();
| |
− | }
| |
− | }
| |
− |
| |
− | // Запуск системы
| |
− | this.newSystem();
| |
− | /*for (var i0 = 0; i0 < balls.length; i0++) { // задаем частицам случайные скорости
| |
− | balls[i0].vx = (3 * (1 - 2 * Math.random()));
| |
− | balls[i0].vy = (3 * (1 - 2 * Math.random()));
| |
− | }*/
| |
− | if(!window.requestAnimationFrame){
| |
− | window.requestAnimationFrame = (function(){
| |
− | return window.webkitRequestAnimationFrame
| |
− | || window.mozRequestAnimationFrame
| |
− | || window.oRequestAnimationFrame
| |
− | || window.msRequestAnimationFrame
| |
− | || function(callback, element){window.setTimeout(callback, 1000 / fps);};
| |
− | })();
| |
− | }
| |
− | //setInterval(control, 1000 / fps);
| |
− |
| |
− | function animate(){
| |
− | requestAnimationFrame(animate);
| |
− | control();
| |
− | }
| |
− | animate();
| |
− | }
| |
− | </syntaxhighlight>
| |
− | </div>
| |
− |
| |
| ==Анализ== | | ==Анализ== |
− | С помощью графика можно наблюдать за зависимостью корреляции скоростей <big><math> Г </math></big> от входных параметров (вязкость, температура, кол-во частиц).
| |
− |
| |
− | Уравнение для корреляции скоростей :
| |
− |
| |
− | <big><math> Г= \frac{\sum_{i,j\neq i} m \pmb v_{i} \cdot \pmb v_{j} w\left(\pmb r_{ij}\right)}{2\sum_{i,j\neq i} w\left(\pmb r_{ij}\right) },\qquad
| |
− | w\left(r\right)=
| |
− | \begin{cases}
| |
− | 1, & \text{если} \; r \leqslant a_{c}; \\
| |
− | 0, & \text{если} \; r > a_{c}.
| |
− | \end{cases}
| |
− | </math></big>
| |
− |
| |
− | Например, для начальной конфигурации на 60 000 шаге по времени будет наблюдаться график 1.
| |
− | [[Файл:1cascade.png|thumb|График 1. Начальная конфигурация:'''betta''' = 3.5 B; '''Temp0''' = 0.12 D; '''Количество частиц''':900 .|центр|450px]]
| |
− | А для измененных входных параметров график 2 и 3.
| |
− | [[Файл:3cascade.png|thumb|График 2. Конфигурация:'''betta''' = 5 B; '''Temp0''' = 0.12 D; '''Количество частиц''':900 .|слева|450px]]
| |
− | [[Файл:2cascade.png|thumb|График 3. Конфигурация:'''betta''' = 1.5 B; '''Temp0''' = 0.12 D; '''Количество частиц''':900 .|справа|450px]]
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
− |
| |
| ==Ссылки== | | ==Ссылки== |
− | *Vitaly A. Kuzkin, Anton M. Krivtsov. Interscale energy transport and velocity correlations in thermostated dissipative soft disc system.
| |