| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 10: |
Строка 10: |
| | Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. | | Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. |
| | Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса. | | Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса. |
| − |
| |
| − | ==Математическая модель==
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{F}_{D_1}+\underline{F}_{D_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
| |
| − | \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
| |
| − | </math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | где
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
| |
| − | </math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{F}_{D_1},\underline{F}_{D_2}\\
| |
| − | </math> - силы демпфирования пружины действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{P}
| |
| − | </math> - давление создаваемое газом;
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{F}_{Wall}\\
| |
| − | </math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
| |
| − |
| |
| − | Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицу 1 и 2, вычисляется по следующей формуле:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_2-\underline{r}_1|| - l_0)k_R \frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}
| |
| − | </math>, где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины.
| |
| − |
| |
| − | Сила демпфирования:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | \underline{F}_{D}= (\underline{v}_2-\underline{v}_1)\cdot\frac{\underline{r}_2-\underline{r}_1}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}k_D\frac{(\underline{r}_2-\underline{r}_1)}{||\underline{r}_2-\underline{r}_1||}
| |
| − | </math>, где <math>k_D</math> - коэффициент демпфирования пружины.
| |
| − |
| |
| − | Давление рассчитывается по следующей формуле:
| |
| − |
| |
| − | <math>P = k(\frac{V_0}{V} - 1)</math>
| |
| − |
| |
| − | Площадь шара вычисляется при помощи формулы площади Гаусса, позволяющей вычислить площадь произвольного многоугольника:
| |
| − |
| |
| − | <math>\begin{align}
| |
| − | \mathbf{S} &= \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} x_i y_{i+1} + x_n y_1 - \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1} y_i - x_1 y_n \right| = \\
| |
| − | &= \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_{n-1} y_n + x_n y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - \dots - x_n y_{n-1} - x_1 y_n|,
| |
| − | \end{align}</math>
| |
| − |
| |
| − | Взаимодействие частиц со стенкой реализовано с помощью потенциала Леннарда-Джонса:
| |
| − |
| |
| − | <math>
| |
| − | U(r) = 4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right],
| |
| − | </math>
| |
| | | | |
| | ==Результаты моделирования== | | ==Результаты моделирования== |
