Редактирование: Моделирование удара хлыста

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Еремеева Наталья]]

'''Группа:'''  5030103/00101

'''Семестр:''' осень 2023


==Постановка задачи==
Необходимо смоделировать удар, закрепленного с левой стороны, гибкого хлыста в двумерной постановке. 
Хлыст состоит из n частиц и n-1 соединенных пружин, имеющих одинаковую жесткость.

<gallery>
pic.jpg|Описание
</gallery>

\begin{center}
\includegraphics[width=0.85]{pic.jpg}\\
\end{center}

==Математическая модель==

Начальные условия: 
<math>
   
   \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
</math>

Для двумерной задачи будем использовать декартову систему координат, тогда: <math>
\underline{r} = x\underline{i} + y\underline{j}; \quad \underline{\dot{r}} = \upsilon\underline{i} + u\underline{j} \
</math>

Запишем уравнение движения для каждой из материальных точек:

<math>
   m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}(t)+\underline{F}_{i+1}(t)+m_ig\underline{j}, \\

</math> где 

<math>  
\underline{F}_{i-1}(t), \underline{F}_{i+1}(t)\ 

</math> 
- силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны соседних точек; 

<math>  
m_ig\underline{j}\\ 

</math> - сила тяжести, действующая на <math>i</math>-ую частицу;

Чтобы узнать, как материальные точки взаимодействуют друг с другом, найдем значения сил упругостей пружин:
 
Сила упругости для пружины, соединяющей <math>i</math>-ую и <math>(i+1)</math>-ую частицы:

<math>
   \underline{F}_{R}= -(||\underline{r}_ {i+1}-\underline{r}_{i}|| - \frac{l}{n})k \frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}||}

</math>,  где <math>k</math> - коэффициент жесткости пружины.


Обезразмеривание:
<math>
\widetilde{x}_i = \frac{x_i}{l}; \widetilde{y}_i = \frac{y_i}{l}; \widetilde{t}_i = \frac{t_i}{\tau}; \widetilde{\upsilon}_i = \frac{d\widetilde{x}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dx_i}{dt_i} \frac{l}{\tau};\widetilde{u}_i = \frac{d\widetilde{y}_i}{d\widetilde{t}_i} = \frac{dy_i}{dt_i} \frac{l}{\tau}, 

</math>
где <math>\tau =  2\pi \sqrt{\frac{m_i}{k}}</math>

Полученные уравнения движения будем интегрировать согласно методу Верле.

==Результаты моделирования==
Схему хлыста, результаты моделирования и код программы, выполненный на языке C++ можно посмотреть на GitHub:
https://github.com/Dumplings612/-whip-blow