Текущая версия |
Ваш текст |
Строка 9: |
Строка 9: |
| | | |
| ===Постановка задачи=== | | ===Постановка задачи=== |
− | В рамках проекта необходимо смоделировать движение двумерной цепочки: провис цепочки и ее падение при отпускании одного из концов под действием силы тяжести. | + | В рамках проекта необходимо смоделировать движение двумерной цепочки: провис цеопчки и ее падение при отпускании одного из концов под действием силы тяжести. |
− | | |
− | ===Математическая модель ===
| |
− | Изначально запишем закон движения:
| |
− | <math>
| |
− | m\underline{\ddot{r}}_i(t)=\underline{F}_{i-1}+\underline{F}_{i+1} + \underline{F}_{g}\\
| |
− | \underline{r}_i(0)=\underline{r}_i^0,~\underline{v}_i(0)=0~~~i=1,\ldots,n
| |
− | </math>
| |
− | | |
− | где
| |
− | <math>
| |
− | \underline{F}_{i-1}, \underline{F}_{i+1}\\
| |
− | </math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно, а <math> \underline{F}_{g}=-mg\underline{k} \\ </math> - сила тяжести.
| |
− | | |
− | Далее распишем силу упругости как произведение модуля на соответсвующий орт:
| |
− | <math>
| |
− | \underline{F}_{i+1}= c(|\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}| - l_0)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i})}{|\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_{i}|}
| |
− | </math>, где <math>c</math> - коэффициент жесткости пружины.
| |
− | Аналогично записывается сила <math>\underline{F}_{i-1}</math>.
| |
− | | |
− | Далее подставляя все силы в уравнение движения, получим:
| |
− | | |
− | <math>
| |
− | m\underline{\ddot{r}}_i(t)= c(||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i|| -l_0)\frac{(\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i+1}-\underline{r}_i||} + c(||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i|| - l_0)\frac{(\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i)}{||\underline{r}_{i-1}-\underline{r}_i||} - mg\underline{k}\\
| |
− | </math>
| |
− | | |
− | Дальнейшее интегрирование уравнения производится с помощью явного симплектического метода Верле c нулевыми начальными условиями и условиями закрепления на концах.
| |
− | | |
− | <math> \begin{cases}
| |
− | V_{i+1} = V_i+A_i\Delta{t}\\
| |
− | X_{i+1} = X_i+V_{i+1}\Delta{t},
| |
− | \end{cases} </math>
| |
− | | |
− | ===Выводы===
| |
− | | |
− | В рамках решения задачи смоделировано движение цепочки под действием силы тяжести и проилюсстрирован тот факт, что ускорение крайней массы цепочки больше, чем ускорение свободно падающего тела. Данный эффект объясняется начальным преднатяжением цепочки. График разности координат крайней частицы и свободно падающего тела изменяется линейно до тех пор, пока тело не догонит конец цепочки.
| |
− | | |
− | ===Код программы===
| |
− | https://editor.p5js.org/Kssdvchenko/sketches/R-agsD747
| |