Редактирование: Моделирование кабель-троса в задаче буксировки методом сосредоточенных параметров

'''БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА'''<br>
''Автор работы'': [[Степанов Алексей | А.Д. Степанов]]<br>
''Руководитель'': к.т.н., зам главного конструктора бортовых систем ЗАО "Транзас" В. М. Амбросовский<br>
==Введение==
Создание морских навигационных тренажеров, тренажеров маневрирования и управления движением судов, а так же создание отладочно-исследовательских стендов для настройки и исследования систем автоматического управления движением судов, требует наличия математических моделей, обеспечивающих моделирование судов и других морских подвижных объектов. Математические модели морских подвижных объектов, используемые в тренажерах и стендах должны обеспечивать необходимую точность и скорость формирования параметров движения морских подвижных объектов.

Одной из важных математических моделей, необходимых для морских тренажеров и стендов является математическая модель тросов или кабель-тросов, связывающих судно с буксируемым морским подвижным объектом или причалом.

Математические модели движения судов и  описываются хорошо известными обыкновенными дифференциальными уравнениями. В отличии от этих моделей математическая модель связи, т.е. троса или кабель-троса, описывается уравнением в частных производных, что делает эту задачу более сложной.

Известны работы, в которых рассматривается задачи моделирования буксировочных тросов, связывающих буксир и буксируемое судно или задачи буксировки судном подводного аппарата. Однако в указанных работах не учитываются ограничения, связанные с конечной производительностью обычных компьютеров, используемых в тренажерах и стендах.

В настоящей работе рассмотрена задача разработки математической модели кабель-троса в задачи буксировки подводного заглубителя судном кабелеукладчиком для использования в морских тренажерах и стендах.
==Постановка задачи==
В работе рассматривается задача моделирования кабель-тороса, связывающего кабельное судно с подводным заглубителем, предназначенным для укладки кабеля с заглублением в грунт. Кабель-трос обеспечивает буксировку подводного заглубителя и подачу на него электропитания. Схематическое положение судна, подводного заглубителя и кабель-троса и их взаимодействие показано на рисунке:
[[Файл:PZ-tros-KS.jpg|200px|thumb|left|]]
Математическая модель движения кабельного судна в общем случае описывается обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями вида \cite{lukomskiy}:
<center>
<math>
m\underline{\dot{V}} = \underline{F}_{eng} + \underline{F}_{hidro} + \underline{F}_{aero} + \underline{F}_{Арх} + m\underline{g} + \underline{F}_{cable}
</math>
</center>
где <math> \underline{F}_{eng} </math> --- сила тяги двигателей, <math>\underline{F}_{hidro} </math> и <math> \underline{F}_{aero} </math> --- сила гидродинамического и аэродинамического сопротивления соотвественно, <math> \underline{F}_{cable} </math> --- сила, действующая со стороны кабель-троса.
Аналогичным образом можно записать уравнение движения подводного заглубителя.

Уравнение описывающее положение кабель-троса и значение вектора силы, приложенного к подводному заглубителю, в общем случае имеет вид \cite{suhorukov_dinam}:
<center>
<math>
\rho \dfrac{\partial^2\underline{u}(s,t)}{\partial{t}^2} = \dfrac{\partial{\underline{T}(s,t)}}{\partial{s}}+\rho \underline{F}
</math>
</center>
С учетом определяющего соотношения для силы натяжения <math>
\underline{T} = f(\varepsilon)\dfrac{\partial{\underline{u}}}{\partial{s}}
</math>, уравнение принимает вид волнового уравнения, являющимся частным случаем уравнения гиперболического типа.
<center>
<math>
\rho \dfrac{\partial^2\underline{u}(s,t)}{\partial{t}^2} = \dfrac{\partial^2\underline{u}(s,t)}{\partial{s}^2}+\rho \underline{F}
</math>
</center>

==Метод моделирования==
В общем случае трос представляет собой весьма сложный нелинейный объект. Как было сказано, для решения поставленной задачи, можно использовать модель абсолютно гибкого растяжимого троса. Окружающей среда (морская вода) в рамках данной работы будет рассматриваться, как вязкая жидкость. Для конкретизации определяющих соотношений, надо принять следующие допущения:
* трос и любой его сегмент подчиняется закону Гука;
* можно пренебречь распределенными по длине троса крутящими моментами, которые возникают при действие на трос растягивающей силы\cite{kuvshin_monograf};
* обтекание кабель-троса потоком набегающей жидкости всегда считается ламинарным.
Эти предположения позволяют упростить уравнения и использовать метод сосредоточенных параметров.
===Применение метода моделирования===
Трос надо разбить на N элементов и N+1 узел. Нумерация узлов начинается с конца, соединенного с буксировщиком, первый элемент имеет номер N=1. 
Для разбиения выбирается длина <math>r_0 </math>, на основании которой вычисляется количество узлов, далее находим N по формуле <math> N = \dfrac{L}{r_0} </math> и жесткость <math> k_i = \dfrac{k}{N} </math>. 
Параметры узлов вычисляются следующим образом: масса <math> m_i = \dfrac{L\rho_{п}}{N+1}</math>, объем <math> V_i = r_0 S_{сечения} </math> и находятся площадь поверхности <math> S_{\tau} = r_0\pi D </math> и площадь сечения <math> S_{n}=r_0D </math>.
===Уравнение движения узла===
<center>
<math>
m_i \underline{\dot{V_i}} = \underline{F}_{elast_{i-1}}+ \underline{F}_{elast_{i+1}} + \underline{F}_{Arch} +  \underline{F}_{hidro} + m_{i}\underline{g}
</math>
</center>

Для <math>\underline{F}_{hidro} </math> можно записать определяющее соотношение в виде:
<center>
<math>
\underline{F}_{hidro} = C_{\tau}\frac{\rho{V_{\tau}}^2}{2}S_\tau\underline{\tau}+C_{n}\frac{\rho{V_{n}}^2}{2}S_n\underline{n}
</math>
</center>
Природа возникновения двух составляющих сил гидродинамического сопротивления различна: силы, направленные по направляющему вектору элемента троса <math> \underline{\tau} </math> объясняются возникновением трения вязкой жидкости о поверхность тела, силы направленные перпендикулярно этому вектору появляются из-за перепада давлений при поперечном обтекании цилиндра. Коэффициент сопротивления давления <math> С_{n} </math> зависит от числа Рейнольдса, определяемого по формуле <math> Re = \frac{V_nD}{\nu} </math>, и носит эксперементальный характер (см. \cite{prandtl} стр. 115, фиг. 58). Напротив, коэффициент сопротивления <math> C_{\tau} </math> находится из решении задача Блазиуса по формуле (см. \cite{prandtl} стр. 113)
<center>
<math>
\begin{cases}
C_{\tau} = \dfrac{1.327}{\sqrt{\frac{V_{\tau}r_0}{\nu}}}, & Re = \frac{V_{\tau}r_0}{\nu} < 5\cdot10^5 \\
C_{\tau} = \dfrac{0.074}{\sqrt[5]{\frac{V_{\tau}r_0}{\nu}}}, & Re > 5\cdot10^6 \\
C_{\tau} = \dfrac{0.074}{\sqrt[5]{Re}}-\dfrac{1700}{Re}, &  5\cdot10^5 < Re < 5\cdot10^6
\end{cases}
</math>
</center>
Где <math> \nu </math>--- кинематическая вязкость воды, <math> V_{\tau} </math> --- скорость движения узла относительно воды.

Для <math>\underline{F}_{elast}</math> определяющее соотношение выглядит следующим образом:
<center>
<math>
	\underline{F}_{elast}=
	\begin{cases}
		k\dfrac{\left|\underline{r}\right|- r_{0} }{\left| \underline{r}\right| }\underline{r}, &\text{if}  \left| \underline{r}\right|  - r_0 \geqslant 0 \\
		0, &\text{else}
	\end{cases}
</math>
</center>
Здесь <math> k </math> --- жесткость рассматриваемого элемента, <math> r_0 </math> --- его начальная длина, а <math> \left|\underline{r}\right| </math> --- вектор, соединяющий соседние узлы. Жесткость можно найти по формуле
<center>
<math>
k=\dfrac{ES_{сечения}}{r_0}
</math>
</center>
Таким образом, видно, что трос представляет собой упругий элемент реагирующий на растяжение согласно закону Гука и не реагирующий на сжатие.

===Граничные условия===
Для решения задачи используются силовые граничные условия. В выбранном методе моделирования постановка граничных условий сводится к заданию закона движения первому и последнему узлу, получившимся после разбиения.

Закон движения для первого узла, который оказывается связан с буксировщиком, принимается за закон движения буксировщика.
<center>
<math>
\ddot{\underline{r}}_1 = \ddot{\underline{r}}_{towing}
</math>
</center>
Т.к. элемент с номером <math> N </math> совпадает с буксируемым объектом, его закон движения выглядит следующим образом:
<center>
<math>
\left( m_{tow}+m_N\right)\dot{\underline{V}} = \underline{F}_{N-1}+\underline{F}_{hidro}+\underline{F}_{Arch}+m\underline{g}+\underline{F}_{frict}
</math>
</center>
В данном уравнении впервые появляются параметры буксируемого объекта: $ m_{бо} $ --- его масса и $ \uf_{сопр} $ --- совокупная сила сопротивления, характерная только для объекта. Т.к. в решаемой задачи буксируемым объектом является подводный заглубитель, для нее было принято следующее выражение
<center>
<math>
\uf_{frict} = -\gamma ab V\underline{V} - \frac{\mu P_{eff}}{F_{N-1}}\underline{F}_{N-1}
</math>
</center>
<math> \gamma </math> --- весовой коэффициент, <math>a</math>---глубина рыхления,   <math>b</math>--- толщина плуга, <math> P_{эф} </math> --- вес подводного заглубителя в воде. Формально, смотря на уравнение \eqref{eq:bc_2} под <math> P_{eff} </math> надо понимать вес в воде заглубителя и связанного с ним узла троса, но добавкой в виде элемента троса можно пренебречь, т.к. она мала в сравнении с массой заглубителя.

===Система координат===
В задаче используется неподвижная система координат, связанная с землей.
* Ось X направлена на север (соотвествует базисному вектору <math> \underline{i} </math>);
* Ось Y направлена против действия силы тяжести(соотвествует базисному вектору <math> \underline{j} </math>);
* Ось Z образует с первыми двумя правую тройку (соотвествует базисному вектору <math> \underline{k} </math>).

==Результаты==
===Введение===
Целью настоящего раздела является проверка возможности использования полученной математической модели движения в составе математической модели движения комплекса кабельное судно --- кабель-трос --- подводный заглубитель.

Основными режимами, которые используются в качестве тестовых режимов в тренажерах и стендах и позволяют оценить характеристики полученной математической модели движения являются: 
* движения кабель-троса без подводного заглубителя;
* движение кабель-троса с подводным заглубителем, неподвижным в начале процесса моделирования;
* движение кабель-троса при изменении скорости хода судна;
* движение кабель-троса при обходе препятствия.
===Движение кабель троса без подводного заглубителя===
[[Файл:Pustoy tros.jpg|300px|thumb|left|]]
На рисунке (Конфигурация троса при установившемся режиме движения) показана конфигурация кабель-троса в установившемся режиме движения. Форма кривой в значительной степени зависит от скорости движения системы.
===Движение кабель-троса с подводным заглубителем, неподвижным в начале процесса моделирования===
[[Файл:Korot_tros_y_pz.jpg|300px|thumb|left|]]
В данном разделе рассматривается пространственное движение комплекса при различных начальных условиях и скоростях буксировки.
Первым рассмотренным режимом будет движение буксировщика с постоянной скоростью и длиной троса <math> L  = 500 \text{м}</math> и глубиной водоема <math> 300\text{м} </math>. Как видно из графика, представленного на рисунке (Подъем буксируемого объекта при недостаточной длине троса), при продольной скорости буксировки <math> V_{букс_x} = 3 \text{m/s} </math> такой длины троса недостаточно для сохранения глубины работ: подводный заглубитель всплывает. Для дальнейшего моделирования выберем параметры задачи, чтобы сохранять глубину работ: <math> L  = 800 \text{м}</math> и <math> V_{букс_x} = 2 \text{м/с} </math>.

Одновременное изменение вертикальной и продольной скорости буксировщика по гармоническим законам приводит к наложению колебаний в скорости движения подводного заглубителя и образованию бигармонических колебаний.

[[Файл:Vel_sin_cos.jpg|300px|thumb|right|]]


===Движение кабель-троса при изменении скорости хода судна===
В данном разделе рассматривается движение системы при уменьшении продольной скорости буксировщика. В том случае, когда скорость буксировщика постоянная, при уменьшении скорости буксировщика скорость подводного заглубителья принимает такое же значение с небольшим запаздыванием (см рис. Изменение скорости подводного заглубителя при торможении буксировщика).
[[Файл:vel_perem_close.jpg|300px|thumb|right|]]

===Движение кабель-троса при обходе препятствия===
Рассматривается движение комплекса при обходе препятствия, расположенного в горизонтальной плоскости. Для этого в процессе движения дается приращении поперечной скорости буксировщика, который таким образом начинает уклоняться от расположенного на его пути препятствия. Это оказывает влияние не только на поперечную скорость буксировщика, но и на его продольную скорость. Аналогичный процесс происходит при возвращении на изначальную траекторию движения. Траектории движения подводного заглубителя и буксировщика приведены на рисунке (Траектория движения объектов в процессе огибания).

[[Файл:track_manevr_uklon.jpg|300px|thumb|left|]]
==Заключение==
В работе предложена математическая модель движения кабель-троса, учитывающая переменные гидродинамические нагрузки и позволяющая моделировать движение кабель-троса в составе комплекса кабельное судно --- кабель-трос --- подводный заглубитель.


Предложенная математическая модель движения обеспечивает моделирование всех основных режимов движения комплекса в реальном режиме времени в составе макета центрального поста управления кабельными операциями.

Предложенная математическая модель движения кабель-троса основана на использовании метода сосредоточенных параметров. Применение данного метода позволяет включить граничные условия в уравнение движения и вместо волнового уравнения интегрировать обыкновенные дифференциальные уравнения.

Проведены проверки предложенной математическо модели движения кабель-троса с помощью контрольного примера, имеющего аналитическое решение, и тестовых режимов движения комплекса.

Результаты работы были внедрены в ЗАО "Транзас" при проведении опытно-конструкторских работ.

[[Файл:actPriema.JPG|500px|thumb|center|]]
==Список использованной литературы==

* Л. Прандтль, О. Титьенс, Гидро- и аэродинамика Том 2, ОНТИ НКТП СССР, 1935.
* Г. Е. Кувшинов, Л. А. Наумов, К. В. Чупина, Системы управления глубиной погружения буксируемых объектов, Владивосток Дальнаука, 2005.
* А. Л. Сухоруков, Динамика тросовых систем, Санкт-Петербург, 2004.
* Ю. Г. Соловейчик, М. Э. Рояк, М. Г. Персова, Метод конечных элементов для скалярных и векторных задач, Новосибирск: НГТУ, 2007.
* Ю. И. Юдин, С. В. Пашенцев, В. В. Каян, Расчет усилий, действующих на объекты буксировки со стороны буксирной связи, Вестник МГТУ, том 16, №1, 2013.
* Iordan C. Matulea, Alexandru N stase, Nicoleta T lmaciu, Georgic  Slamnoiu, A.M. Goncalves-Coelho, On the equilibrium configuration of mooring and towing cables, Applied Ocean Research, 2008.
* Ю. А. Лукомский, В. М. Корчанов, Управление морскими подвижными объектами, Санкт-Петербург, 1996.		
* А. Н. Крылов, Собрание трудов, т. IX. Теория корабля, ч.2. М.-Л.: изд-во АН СССР, 1936-1949.
* П. П. Кульмач, Якорные системы удержания плавучих объектов, издательство <<Судостроение>>, 1980.
* W.Raman-Nair, R. E. Baddour, Three-dimensional coupled dynamics of a buoy and multiple mooring lines: formulation and algorithm, Oxford University Press, 2002.