Редактирование: Мещерский 48.7

'''''Задача:''''' С помощью языка программирования JavaScript смоделировать планетарный механизм.

[[File:Mechanizm.png|thumb|Система трех цилиндрических блоков, соединенных кривошипом]]

Условие задачи 48.7:
В планетарном механизме колесо с осью O1 неподвижно; к рукоятке O1O3 приложен вращающий момент M; механизм расположен в горизонтальной плоскости. Определить угловое ускорение рукоятки, считая колеса однородными дисками с одинаковыми массами m и радиусами r и пренебрегая массой рукоятки.

== Программа ==

{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/KaloevaDiana/Me/Zad.html |width=900 |height=450 |border=0 }}

== Код программы ==

<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Текст программы на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content">
Файл '''"Zad.js"'''
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
function main()//zadachA 48.7
{	
	var stats = initStats();
		
	//Сцена
	var scene = new THREE.Scene();
		
	//Камера
	var camera = new THREE.PerspectiveCamera(45, window.innerWidth / window.innerHeight , 0.1, 1000);
		
	//Визуализатор
        var webGLRenderer = new THREE.WebGLRenderer();
        webGLRenderer.setClearColor(new THREE.Color(0xEEEEEE, 1.0));
        webGLRenderer.setSize(window.innerWidth, window.innerHeight);
        webGLRenderer.shadowMapEnabled = true;
				
        var floorTex = THREE.ImageUtils.loadTexture("floor-wood.jpg")
        var plane = new THREE.Mesh(new THREE.CubeGeometry(50, 25, 0.1, 30), new THREE.MeshPhongMaterial({color: 0x3c3c3c, map: floorTex}));

	plane.rotation.x=-0.5*Math.PI;//Поворот
	plane.position.y = -10;
	plane.position.z = -14.5;
	scene.add(plane);//Добавили плоскость
	plane.receiveShadow  = true;
	
	var spotLight = new THREE.SpotLight( 0xffffff );
	spotLight.position.set( 0, 200, 200 ); //-40, 60, -10
	spotLight.castShadow = true;
	scene.add(spotLight);
	
	var ambientLight = new THREE.AmbientLight(0x0c0c0c);
        scene.add(ambientLight);
	
	//Неподвижный диск
	var cylinder1 = createMesh(new THREE.CylinderGeometry(5, 5, 3, 30, 30));
	cylinder1.rotation.x = -0.5*Math.PI;
	cylinder1.castShadow = true;
	
	//1 диск
	var cylinder2 = createMesh(new THREE.CylinderGeometry(5, 5, 3, 30, 30));
	cylinder2.position.x = 10;
	cylinder2.rotation.x = -0.5*Math.PI;
	cylinder2.castShadow = true;
	
	//2 диск
	var cylinder3 = createMesh(new THREE.CylinderGeometry(5, 5, 3, 30, 30));
	cylinder3.position.x = 20;
	cylinder3.rotation.x = -0.5*Math.PI;
	cylinder3.castShadow = true;
	
	//Рукоятка
	var cylinder4 = createMesh(new THREE.CylinderGeometry(0.3, 0.3, 20, 30, 30));
	cylinder4.position.x = 10;
	cylinder4.position.z = 1.5;
	cylinder4.rotation.z = -0.5*Math.PI;
	cylinder4.castShadow = true;
	
	//Опора неподвижного диска
	var cylinder5 = createMesh(new THREE.CylinderGeometry(2, 2, 35, 4, 4));
	cylinder5.position.y = -14.5;
	cylinder5.position.z = -3.5;
	cylinder5.rotation.y = 0.25*Math.PI;
	cylinder5.castShadow = true;
	
	//Перемычка
	var cylinder6 = createMesh(new THREE.CylinderGeometry(0.3, 0.3, 3, 30, 30));
	cylinder6.position.z = -1.5;
	cylinder6.rotation.x = -0.5*Math.PI;
	
	//Вектора скоростей
        var vectorMaterial = new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0x00ee22});

	var vector1lineGeometry = new THREE.CylinderGeometry(0.1, 0.1, 10, 30, 30);
	var vector1line = new THREE.Mesh(vector1lineGeometry, vectorMaterial);
	vector1line.position.x = 20;
	vector1line.position.y = 5;
	vector1line.position.z = 1.5;
	
	var vector1Geometry = new THREE.CylinderGeometry(0, 0.2, 1, 30, 30);
	var vector1 = new THREE.Mesh(vector1Geometry, vectorMaterial);
	vector1.position.x = 20;
	vector1.position.y = 10;
	vector1.position.z = 1.5;
	
	var vector2lineGeometry = new THREE.CylinderGeometry(0.1, 0.1, 5, 30, 30);
	var vector2line = new THREE.Mesh(vector2lineGeometry, vectorMaterial);
	vector2line.position.x = 10;
	vector2line.position.y = 2.5;
	vector2line.position.z = 1.5;
	
	var vector2Geometry = new THREE.CylinderGeometry(0, 0.2, 1, 30, 30);
	var vector2 = new THREE.Mesh(vector2Geometry, vectorMaterial);
	vector2.position.x = 10;
	vector2.position.y = 5.5;
	vector2.position.z = 1.5;
	
	//Группа подвижных объектов
	var group1 = new THREE.Object3D();
	group1.add(cylinder2);
	group1.add(cylinder3);
	group1.add(cylinder4);
	group1.add(vector1line);
	group1.add(vector1);
	group1.add(vector2line);
	group1.add(vector2);
	group1.position.y = 22;
	scene.add(group1);
	
	//Группа неподвижных объектов
	var group2 = new THREE.Object3D();
	group2.add(cylinder1);
	group2.add(cylinder5);
	group2.add(cylinder6);
	group2.position.y = 22;
	scene.add(group2);
	
	function createMesh(geom) {
	var texture = THREE.ImageUtils.loadTexture("bathroom.jpg")
        var mat = new THREE.MeshPhongMaterial();
        mat.map = texture;
	
	var mesh = new THREE.Mesh(geom, mat);
			
	return mesh;
        }
		
	camera.position.x = -150;
	camera.position.y = 180;
	camera.position.z = 200;
	camera.lookAt(scene.position);//Камера смотрит на сцену
	
	$("#WebGL-output").append(webGLRenderer.domElement);
	webGLRenderer.render(scene, camera);
	
	//Контроль камеры
	cameraControls = new THREE.OrbitControls(camera, webGLRenderer.domElement);
	cameraControls.maxDistance = 150;
	cameraControls.minDistance = 0.5;
	cameraControls.update();
	
	var controls = new function() {
		this.Massa = 25;
		this.Moment = 5;
		this.Radius = 1;
		this.Boost = this.Moment/(22*this.Massa*this.Radius*this.Radius);
		this.Stop = function() {
			this.Moment = 0;
		}
			this.Redraw = function(){
			step = 0;
			
			this.Radius = 1;
			
			cylinder2.rotation.y = 0;
			cylinder3.rotation.y = 0;
			group1.rotation.z = 0;
		}
        
			
        var gui = new dat.GUI();
        gui.add(controls, 'Massa',0,50);
	gui.add(controls, 'Moment',0,20);
	gui.add(controls, 'Radius',0.1,10).onChange(function (e) {
		cylinder1.scale.set(e, 1, e)
		cylinder2.scale.set(e, 1, e)
		cylinder3.scale.set(e, 1, e)
		cylinder2.position.set(e*10, 0, 0)
		cylinder3.position.set(e*20, 0, 0)
		cylinder4.scale.set(e, e, e)
		cylinder4.position.set(e*10, 0, 1.5)
		
		vector1line.scale.set(1, e, 1)
		vector1.scale.set(1, e, 1)
		vector1line.position.set(e*20, e*5, 1.5)
		vector1.position.set(e*20, e*10, 1.5)
		
		vector2line.scale.set(1, e, 1)
		vector2.scale.set(1, e, 1)
		vector2line.position.set(e*10, e*2.5, 1.5)
		vector2.position.set(e*10, e*5, 1.5)
	});
	gui.add(controls, 'Boost').listen();
	gui.add(controls, 'Stop');
	gui.add(controls, 'Redraw');
	
	var step = 0;
	
	function render() {
		stats.update();
		requestAnimationFrame(render);
		webGLRenderer.render(scene, camera);			
		if (step<50){
			step += 0.01;
			
			controls.Boost = controls.Moment/(22*controls.Massa*controls.Radius*controls.Radius);
		
			cylinder2.rotation.y -= 1/4*controls.Boost*step*step;
			cylinder3.rotation.y += 1/4*controls.Boost*step*step;
			group1.rotation.z += 1/4*controls.Boost*step*step;
		}
		else {
			step = 50
				
			controls.Boost = controls.Moment/(22*controls.Massa*controls.Radius*controls.Radius);
		
			cylinder2.rotation.y -= 1/4*controls.Boost*step*step;
			cylinder3.rotation.y += 1/4*controls.Boost*step*step;
			group1.rotation.z += 1/4*controls.Boost*step*step;
		}
	}
	
        render();
		
	function initStats() {
        var stats = new Stats();
        stats.setMode(0); // 0: fps, 1: ms
        stats.domElement.style.position = 'absolute';
        stats.domElement.style.left = '0px';
        stats.domElement.style.top = '0px';
        $("#Stats-output").append(stats.domElement);
        return stats;
        }
}
</syntaxhighlight>
</div>

== Используемые библиотеки ==

* three.js
* jquery-1.9.0.js
* stats.js
* dat.gui.js
* OrbitControls.js

== Решение ==
Рассмотрим отдельно энергии:

<math>T = T_2+T_3</math>, где <math>T_2</math> - кинетическая энергия второго диска, а <math>Т_3</math> - третьего диска.

Движение второго диска можно разделить на поступательное и вращательное:

<math>T_2 = \frac{1}{2}mV_2^{2}+\frac{1}{2}I_2 ω_2^{2}</math>

<math>ω = \dot φ</math>

<math>V_2 = 2r\dot φ</math>

<math>ω_2 = \frac{V_2}{r} = 2\dot φ</math>

<math>T_2 = \frac{1}{2}m‧4r^{2}\dot φ^{2}+\frac{1}{2} \frac{1}{2}‧mr^{2}(2\dot φ)^{2} = 3mr^{2}\dot φ^{2}</math>

Движение третьего диска состоит только из поступательного движения:

<math>T_3 = \frac{1}{2}mV_3^{2}</math>

<math>V_2 = 4r\dot φ</math>

<math>T_3 = \frac{1}{2}m(4r\dot φ)^{2} = 8mr^{2}\dot φ^{2}</math>

В итоге получаем:

<math>T = 3mr^{2}\dot φ^{2} + 8mr^{2}\dot φ^{2} = 11mr^{2}\dot φ^{2}</math>

Используем уравнение Лагранжа 2 рода. Т.к. в данной системе отсутствует потенциальная энергия, уравнение имеет вид:

<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot q_i}\right) - \frac{\partial T}{\partial q_i} = Q_φ</math>

Найдём отдельно:

<math>\frac{\partial T}{\partial\dot φ} = 22mr^{2}\dot φ^{2}</math>

<math>\frac{\partial T}{\partial φ} = 0 </math>

<math>\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial\dot φ}\right) = 22mr^{2}\ddot φ^{2}</math>

<math>Q_φ = \frac{δA_φ}{δφ} = \frac{Mδφ}{δφ} = M</math>, где

<math>M</math> - момент.

Подставляем в уравнение Лагранжа:

<math>22mr^{2}\ddot φ^{2} = M</math>

<math>\ddot φ = ε</math> - угловая скорость.

Ответ:

<math>ε = \frac{M}{22mr^{2}}</math>