Редактирование: Мещерский 48.15

'''''Задача:''''' С помощью языка программирования JavaScript смоделировать колебания маятника, точка подвеса которого движется по заданному закону.

'''''Выполнил:''''' [[Троцкая_Валерия| Троцкая Валерия]], 23632/2

== Решение ==

{{#widget:Iframe |url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/Trotskaya_VV/trockayavv.html |width=1050 |height=600 |border=0 }}

==Код программы==
<div class="mw-collapsible mw-collapsed">
'''Текст программы на языке JavaScript:''' <div class="mw-collapsible-content">
<syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
var renderer, scene, camera, stats, axes;
  var control, controls, controls1, spotLight;
  var plane1, plane2, plane3, block1, block2, torus, cube, arr1, arr2, arr3, arr4, cr1,cr2,cr3;
  var dt = 1/60;
  var g = 9.8;
  var length = 30;
  var cubeY = 25;
  /////    ЗАДАНИЕ ПАРАМЕТРОВ, УКАЗАННЫХ В ЗАДАЧЕ    /////

  function init()
  {
    scene = new THREE.Scene();  // создаем сцену
    camera = new THREE.PerspectiveCamera(45,window.innerWidth/window.innerHeight,0.1,1000);  // создаем камеру

    renderer = new THREE.WebGLRenderer();
    renderer.setClearColor(0XEEEEEE,1);
    renderer.setSize(window.innerWidth,window.innerHeight);
    renderer.shadowMap.enabled=true;

    axes = new THREE.AxisHelper(20);  // создаем координатные оси
    scene.add(axes);



    control = new THREE.OrbitControls(camera,renderer.domElement);

    controls = new function()  // создаем переключатели, позволяющие изменять входные параметры
    {
      this.alpha = Math.PI/6;
      this.blockRadius = 3;
      this.m1 = 3;
      this.m2 = 1;
      this.animate = false;
      this.showAcs = false;
      this.reset  = function() {
        controls1.t = 0;
        ReDraw();
      }
    }

    controls1=new function()   // вывод полученных в ходе решения задачи значений
    {
      this.t = 0.0;
      this.a = (controls.m1*g*Math.sin(controls.alpha)-controls.m2*g)/(2*controls.m1+controls.m2);
    }

    var gui = new dat.GUI();  // позволяем менять каждый из параметров в определенном диапазоне, в случае изменения вызываем функцию, перестраивающую выводимую на экран картинку
    gui.add(controls,'alpha', 0.1,Math.PI/3).onChange(controls.reset);
    gui.add(controls,'m1',1,20).onChange(controls.reset);
    gui.add(controls,'m2',1,20).onChange(controls.reset);
    gui.add(controls, 'animate');
    gui.add(controls, 'showAcs').onChange(ReDraw);
    gui.add(controls, 'reset');
    //gui.add(controls,'m',1,10).onChange(ReDraw);
    gui.add(controls1, 't').listen();
    gui.add(controls1, 'a').listen();

    ambientLight=new THREE.AmbientLight(0x000000);
    scene.add(ambientLight);
    document.getElementById("WebGL").appendChild(renderer.domElement);
    // Camera
    camera.position.x = -30;
    camera.position.y = 40;
    camera.position.z = 80;
    camera.lookAt(scene.position);
    // Ligth
    spotLight = new THREE.SpotLight( 0xffffff );
    spotLight.position.set( -40, 80, 50 );
    spotLight.castShadow = true;
    scene.add(spotLight );

    // Main Plane
    var planeGeometry2 = new THREE.PlaneGeometry(length,20);
    var planeMaterial2 = new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0x6F482A, side: THREE.DoubleSide});
    plane1 = new THREE.Mesh(planeGeometry2,planeMaterial2);
    plane1.rotation.x = -0.5*Math.PI;
    plane1.position.x = -length/2;
    plane1.position.y = 0;
    plane1.position.z = 0;
    plane1.receiveShadow = true;
    scene.add(plane1);

    // Third Plane
    var planeGeometry2 = new THREE.PlaneGeometry(length,20,6,4);
    var planeMaterial2 = new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0x6F482A, wireframe: true});
    plane2 = new THREE.Mesh(planeGeometry2,planeMaterial2);
    plane2.rotation.x = -0.5*Math.PI;
    plane2.position.set(length/2,0,0);
    scene.add(plane2);

    stats = initStats();
    Draw();
    renderScene();

    window.addEventListener('resize',onResize,false);
  };

  function ReDraw()  // функция, перерисовывающая всю картинку
  {
    controls1.a = (controls.m1*g*Math.sin(controls.alpha)-controls.m2*g)/(2*controls.m1+controls.m2);
    scene.remove(block1);
    scene.remove(block2);
    scene.remove(cube);
    scene.remove(plane3);
    scene.remove(torus);
    scene.remove(cr1);
    scene.remove(cr2);
    scene.remove(cr3);
    scene.remove(arr1);
    scene.remove(arr2);
    scene.remove(arr3);
    scene.remove(arr4);
    Draw();
  }

  function Draw()
  {

    // Second Plane
    var planeGeometry3 = new THREE.PlaneGeometry(length/Math.cos(controls.alpha),20);
    var planeMaterial3 = new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0x6F482A, wireframe: false, side: THREE.DoubleSide});
    plane3 = new THREE.Mesh(planeGeometry3,planeMaterial3);
    plane3.rotation.set(-0.5*Math.PI,-controls.alpha,0);
    plane3.position.set(length/2,0.5*length*Math.tan(controls.alpha),0);
    plane3.receiveShadow = true;
    scene.add(plane3);
    // Block1
    block1 = new THREE.Mesh(new THREE.CylinderGeometry(controls.blockRadius,controls.blockRadius,3,32), new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0xA8A8A8, wireframe: false, side: THREE.DoubleSide}));
    block1.rotation.set(-0.5*Math.PI,0,0);
    block1.position.set(length,length*Math.tan(controls.alpha),0);
    block1.castShadow = true;
    scene.add(block1);
    // Block2
    block2 = new THREE.Mesh(new THREE.CylinderGeometry(controls.blockRadius,controls.blockRadius,3,32), new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0xA8A8A8, wireframe: false, side: THREE.DoubleSide}));
    block2.rotation.set(-0.5*Math.PI,0,0);
    block2.position.x = length/2-controls1.a*controls1.t*controls1.t*Math.cos(controls.alpha)*0.5;
    block2.position.y = block2.position.x*Math.tan(controls.alpha)+controls.blockRadius/Math.cos(controls.alpha);
    block2.castShadow = true;
    scene.add(block2);
    // Thorus
    torus = new THREE.Mesh( new THREE.TorusGeometry( 6, 0.1, 16, 100, controls.alpha ), new THREE.MeshBasicMaterial( { color: 0xff0000 } ) );
    torus.position.set(0,0,9.9)
    scene.add(torus);
    // Cube
    cube = new THREE.Mesh(new THREE.BoxGeometry(4, 4, 4), new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0x7CA05A, wireframe: false}));
    cube.position.set(length+controls.blockRadius,-cubeY+controls1.a*controls1.t*controls1.t,0);
    scene.add(cube);
    //More rope
    cr1 = new THREE.Mesh(new THREE.CylinderGeometry(0.2,0.2,(length*Math.tan(controls.alpha)+cubeY),32), new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0x000000, wireframe: false}));
    cr1.rotation.set(0,0,0);
    cr1.position.set(length+controls.blockRadius, (length*Math.tan(controls.alpha)+cube.position.y)/2, 0);
    cr1.scale.y = (length*Math.tan(controls.alpha)-cube.position.y)/(length*Math.tan(controls.alpha)+cubeY);
    cr1.castShadow = true;
    scene.add(cr1);

    cr2 = new THREE.Mesh(new THREE.CylinderGeometry(0.2,0.2,1), new THREE.MeshLambertMaterial({color: 0x000000, wireframe: false}));
    cr2.rotation.set(0,0,-Math.PI/2+controls.alpha);
    cr2.position.set((length+block2.position.x-controls.blockRadius*Math.sin(controls.alpha))/2,(length*Math.tan(controls.alpha)+block2.position.y+controls.blockRadius*Math.cos(controls.alpha))/2, 0);
    cr2.scale.y = (length-block2.position.x-controls.blockRadius*Math.sin(controls.alpha))/Math.cos(controls.alpha);
    cr2.castShadow = true;
    scene.add(cr2);

    function Curve2() {
      THREE.Curve.call(this);
    };
    Curve2.prototype = Object.create(THREE.Curve.prototype);
    Curve2.prototype.constructor = Curve2;
    Curve2.prototype.getPoint = function(t) {
      var tx = length+controls.blockRadius*Math.cos(controls.alpha+Math.PI*0.5-t*(controls.alpha+Math.PI*0.5));
      var ty = length*Math.tan(controls.alpha)+controls.blockRadius*Math.sin(controls.alpha+Math.PI*0.5-t*(controls.alpha+Math.PI*0.5));
      return new THREE.Vector3(tx,ty,0);
    };
    var path2 = new Curve2();
    cr3 = new THREE.Mesh(new THREE.TubeGeometry(path2,20,0.2,8), new THREE.MeshBasicMaterial({color: 0x000000, wireframe: false}));
    scene.add(cr3);

    //arrows
    arr1 = new THREE.Mesh(new THREE.CylinderGeometry(0.3,0.3,4,32), new THREE.MeshBasicMaterial({color: 0xff0000, wireframe: false}));
    arr1.rotation.set(0,0,0);
    arr1.position.set(length+controls.blockRadius,cube.position.y+controls.m2*2+controls1.a*2,0);
    arr1.scale.y = controls1.a;
    if (!controls.showAcs) {arr1.visible = false}
    else {arr1.visible = true}
    scene.add(arr1);
    arr2 = new THREE.Mesh(new THREE.CylinderGeometry(0,0.7,Math.sign(controls1.a)*2,32), new THREE.MeshBasicMaterial({color: 0xff0000, wireframe: false}));
    arr2.rotation.set(0,0,0);
    arr2.position.set(length+controls.blockRadius,cube.position.y+controls.m2*2+controls1.a*4,0);
    if (!controls.showAcs) {arr2.visible = false}
    else {arr2.visible = true}
    scene.add(arr2);
    arr3 = new THREE.Mesh(new THREE.CylinderGeometry(0.3,0.3,4,32), new THREE.MeshBasicMaterial({color: 0xff0000, wireframe: true}));
    arr3.rotation.set(0,0,-1.5*Math.PI+controls.alpha);
    arr3.position.set(block2.position.x-Math.sign(controls1.a)*(controls.blockRadius)*Math.cos(controls.alpha)-controls1.a*2*Math.cos(controls.alpha),block2.position.y-Math.sign(controls1.a)*(controls.blockRadius)*Math.sin(controls.alpha)-controls1.a*2*Math.sin(controls.alpha),0);
    arr3.scale.y = controls1.a;
    if (!controls.showAcs) {arr3.visible = false}
    else {arr3.visible = true}
    scene.add(arr3);
    arr4 = new THREE.Mesh(new THREE.CylinderGeometry(0,0.7,-Math.sign(controls1.a)*2,32), new THREE.MeshBasicMaterial({color: 0xff0000, wireframe: false}));
    arr4.rotation.set(0,0,-Math.PI/2+controls.alpha);
    arr4.position.set(block2.position.x-Math.sign(controls1.a)*(controls.blockRadius)*Math.cos(controls.alpha)-controls1.a*4*Math.cos(controls.alpha),block2.position.y-Math.sign(controls1.a)*(controls.blockRadius)*Math.sin(controls.alpha)-controls1.a*4*Math.sin(controls.alpha),0);
    if (!controls.showAcs) {arr4.visible = false}
    else {arr4.visible = true}
    scene.add(arr4);

    renderer.render(scene,camera);
  }

  function renderScene()
  {
    if((block2.position.y <= controls.blockRadius) || (cube.position.y >= length*Math.tan(controls.alpha)-controls.blockRadius) || (((block2.position.y-block1.position.y)*(block2.position.y-block1.position.y)+(block2.position.x-block1.position.x)*(block2.position.x-block1.position.x)) <= 4*controls.blockRadius*controls.blockRadius)) {
      controls1.t = 0;
    }
    if (controls.animate)
    {
      controls1.t+=dt;
      ReDraw();
    }

    stats.update();
    requestAnimationFrame(renderScene);
    renderer.render(scene,camera);
  };

  function initStats()
  {
    var stats=new Stats();
    stats.setMode(0);
    stats.domElement.style.position='0px';
    stats.domElement.style.left='0px';
    stats.domElement.style.top='0px';
    document.getElementById("Stats-output").appendChild(stats.domElement);
    return stats;
  };

  function onResize()
  {
    camera.aspect=window.innerWidth/window.innerHeight;
    camera.updateProjectionMatrix();
    renderer.setSize(window.innerWidth,window.innerHeight);
  }

  window.onload = init;
</syntaxhighlight>

</div>

== Возможности программы ==

* изменение угла наклона прямой

== Решение частного случая ==

'''''Условия задачи:''''' 

Точка подвеса маятника, состоящего из материальной точки массы <math>m</math> на нерастяжимой нити длины <math>l</math>, движется по заданному закону <math>ξ=ξ0(t)</math> по наклонной прямой, образующей угол <math>α</math> с горизонтом. Составить уравнение движения маятника.

'''''Решение:'''''

Кинетическая энергия маятника    <math>T = \frac{m{V}^2}{2}</math> , где <math>\overline{V} = \overline{V_e} + \overline{V_r}</math>. Здесь <math>V_e = \dot{ξ}, V_r = \dot{φ}l</math>. Тогда квадрат скорости равен <math>{V}^2 = \dot{ξ}^2 + l^2\dot{φ}^2 + 2 l \dot{φ} \dot{ξ} cos(φ-α)</math> и кинетическая энергия равна соответственно <math>T = \frac{m}{2}(\dot{ξ}^2 + l^2\dot{φ}^2 + 2 l \dot{φ} \dot{ξ} cos(φ-α))</math>
Потенциальная энергия будет равна <math>U = -m g l (1-cosφ)</math>

Уравнение Лагранжа для системы с одной степенью свободы имеет вид:
<math>\frac{d}{dt}(\frac{dT}{d\dot{φ}}) - \frac{dT}{d{φ}}=
 Q</math>

;Вычисляем производные, входящие в это уравнение:
:<math>\frac{dT}{d\dot{φ}} = \frac{m}{2}(2 l^2 \dot{φ} + 2 l \dot{ξ} cos(φ-α))</math>
:<math>\frac{dT}{dφ} = 0</math>
:<math>Q = \frac{dU}{dφ} = -m g l sinφ</math>
:<math>\frac{d}{dt}(\frac{dT}{d\dot{φ}}) = \frac{m}{2}(2 l^2 \dot{φ} + 2 l \dot{ξ} cos(φ-α))</math>
Подставим полученные производные в уравнение Лагранжа:
<math>m(l^2 {φ&#776;} + l {ξ&#776;} cos(φ-α)) = -m g l sinφ</math> , поделим обе части уравнения на <math>l^2</math>  и получим 


{{center| <math>{φ&#776;} + \frac{{ξ&#776;}}{l} cos(φ-α)) + \frac{g}{l} sinφ = 0</math>}}