Текущая версия |
Ваш текст |
Строка 1: |
Строка 1: |
− | '''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''
| + | == Описание задачи == |
| | | |
− | '''Исполнитель:''' [[Дурнев Андрей]]
| + | Моделирование "воздушного шарика" - тонкой оболочки, заполненной газом. |
| | | |
− | '''Группа:''' 5030103/80101
| + | С математической точки зрения рассматривается набор частиц, расположенных на круге (задача двумерная). Частицы соединены друг с другом линейными пружинами. Внутри оболочки есть газ, который мы моделируем давлением (силами), действующим на частицы. Давление зависит от объема оболочки по следующей формуле: |
− | | |
− | '''Семестр:''' осень 2021
| |
− | | |
− | == Постановка задачи ==
| |
− | | |
− | Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.
| |
− | | |
− | ==Математическая модель==
| |
− | | |
− | Уравнение движение для каждой из материальных точек записывается следующим образом:
| |
− | | |
− | <math>
| |
− | m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
| |
− | \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=v_i^0~~~i=1,\ldots,n
| |
− | </math>
| |
− | | |
− | | |
− | где
| |
− | <math>
| |
− | \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
| |
− | </math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;
| |
− | | |
− | <math>
| |
− | \underline{P}
| |
− | </math> - давление создаваемое газом;
| |
− | | |
− | <math>
| |
− | \underline{F}_{Wall}\\
| |
− | </math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;
| |
− | | |
− | Давление рассчитывается по формуле: | |
| | | |
| <math>P = k(\frac{V_0}{V} - 1)</math> | | <math>P = k(\frac{V_0}{V} - 1)</math> |
− |
| |
− |
| |
− | где <math>V_0</math> - объём шара в начальный момент времени
| |
− |
| |
− | <math>V</math> - объём шара в текущий момент времени
| |
− |
| |
− | <math>k</math> - коэффициент давления
| |
− |
| |
− |
| |
− | Взаимодействие частиц со стенкой реализовано с помощью потенциала Леннарда-Джонса:
| |
− |
| |
− | <math>
| |
− | U(r) = 4\varepsilon \left[ \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{12} - \left(\frac{\sigma}{r}\right)^{6} \right],
| |
− | </math>
| |
− |
| |
− |
| |
− | <math>
| |
− | \varepsilon
| |
− | </math> - глубина потенциальной ямы
| |
− |
| |
− | <math>
| |
− | \sigma
| |
− | </math> - расстояние, на котором энергия взаимодействия становится равной нулю
| |
− |
| |
− | <math>
| |
− | r
| |
− | </math> - расстояние до стенки
| |
− |
| |
− | Площадь шара вычисляется при помощи формулы площади Гаусса, позволяющей вычислить площадь произвольного многоугольника:
| |
− |
| |
− | <math>\begin{align}
| |
− | \mathbf{S} &= \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n-1} x_i y_{i+1} + x_n y_1 - \sum_{i=1}^{n-1} x_{i+1} y_i - x_1 y_n \right| = \\
| |
− | &= \frac{1}{2} |x_1 y_2 + x_2 y_3 + \dots + x_{n-1} y_n + x_n y_1 - x_2 y_1 - x_3 y_2 - \dots - x_n y_{n-1} - x_1 y_n|,
| |
− | \end{align}</math>
| |
− |
| |
− | ==Результаты моделирования==
| |
− | Исходный код можно посмотреть на GitHub:
| |
− | https://github.com/OGthug-coder/math_model_hw
| |
| | | |
| | | |
| {{#widget:Iframe |url=https://ogthug-coder.github.io/math_model_hw/ |width=1000 |height=1000 |border=0 }} | | {{#widget:Iframe |url=https://ogthug-coder.github.io/math_model_hw/ |width=1000 |height=1000 |border=0 }} |