Редактирование: Линейные плоские волны в материале с квадратной решёткой.
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | = Руководитель = | + | == Руководитель == |
доц. к. ф.-м. н. Беринский И.Е. | доц. к. ф.-м. н. Беринский И.Е. | ||
− | = Введение = | + | == Введение == |
Исследования в области описания динамики распространения плоских волн в различных кристаллических решётках связаны, в первую очередь, с именем М.Борна, чьи работы датируются началом XX века и не теряют актуальности и по сей день в связи с развитием нанотехнологий и наноэлектроники. Так, задача о распространении линейной волны в одномерной моноатомной цепочке является классической. Модификации этой задачи, а также её обобщения на двумерные решётки рассматривались множеством учёных. | Исследования в области описания динамики распространения плоских волн в различных кристаллических решётках связаны, в первую очередь, с именем М.Борна, чьи работы датируются началом XX века и не теряют актуальности и по сей день в связи с развитием нанотехнологий и наноэлектроники. Так, задача о распространении линейной волны в одномерной моноатомной цепочке является классической. Модификации этой задачи, а также её обобщения на двумерные решётки рассматривались множеством учёных. | ||
Строка 17: | Строка 17: | ||
Для описания распространения волн в подобных материалах могут использоваться построенные в данной работе модели. | Для описания распространения волн в подобных материалах могут использоваться построенные в данной работе модели. | ||
− | = Цели и задачи работы = | + | == Цели и задачи работы == |
*Целью данной работы является описание динамики плоских волн в материале, который на микроуровне представляет собой квадратную решётку с одинаковым типом частиц. Рассматриваются квадратные решётки (Рис.1, 2), для которой уже были получены уравнения движения. | *Целью данной работы является описание динамики плоских волн в материале, который на микроуровне представляет собой квадратную решётку с одинаковым типом частиц. Рассматриваются квадратные решётки (Рис.1, 2), для которой уже были получены уравнения движения. | ||
Были решены задачи построения однополевых и многополевых (двух- и четырёхполевых) моделей для обеих решёток. | Были решены задачи построения однополевых и многополевых (двух- и четырёхполевых) моделей для обеих решёток. | ||
Строка 24: | Строка 24: | ||
[[Файл:2Os.png|180px|thumb|right|Рис.2]] | [[Файл:2Os.png|180px|thumb|right|Рис.2]] | ||
− | = Общие соображения = | + | == Общие соображения == |
Дисперсионный анализ позволяет выделить 2 разных спектра колебаний частиц, высокочастотный и низкочастотный. В случае низкочастотных колебаний все частицы на графике зависимости перемещения от времени лежат на одной гладкой кривой. В этом случае континуальные уравнения можно получить разложением в ряд Тейлора. Такой подход получил название однополевой модели, который совпадает с классическим микрополярным описанием. | Дисперсионный анализ позволяет выделить 2 разных спектра колебаний частиц, высокочастотный и низкочастотный. В случае низкочастотных колебаний все частицы на графике зависимости перемещения от времени лежат на одной гладкой кривой. В этом случае континуальные уравнения можно получить разложением в ряд Тейлора. Такой подход получил название однополевой модели, который совпадает с классическим микрополярным описанием. | ||
В случае высокочастотных колебаний зависимость перемещений от времени является быстро меняющейся функцией, поэтому нельзя провести стандартную процедуру разложения в ряд. Однако если разделить все частицы на чётные и нечётные и рассматривать колебания этих групп отдельно, то для каждой из них станет возможным разложение в ряд. | В случае высокочастотных колебаний зависимость перемещений от времени является быстро меняющейся функцией, поэтому нельзя провести стандартную процедуру разложения в ряд. Однако если разделить все частицы на чётные и нечётные и рассматривать колебания этих групп отдельно, то для каждой из них станет возможным разложение в ряд. | ||
При исследовании движения частиц в решётках подразумевается, что атомы можно считать материальными точками, соединёнными между собой линейными пружинами. | При исследовании движения частиц в решётках подразумевается, что атомы можно считать материальными точками, соединёнными между собой линейными пружинами. | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | ==Неустойчивая решётка== | + | ==Неустойчивая решётка.== |
− | |||
− | |||
− | + | Изучается квадратная решётка с периодом а. Рассматривается взаимодействие центральной частицы (m,n) c четырьмя соседними частицами: (m+1,n);(m-1,n); | |
− | + | (m,n+1);(m,n-1). Взаимодействие между частицами с одинаковыми массами m моделируется посредством пружин жесткостью С. Рассмотрим распространение плоской волны , полагая ym = 0. | |
− | * | + | *Однополевая модель. |
− | |||
− | + | Дискретное уравнение движения: | |
− | |||
− | [[Файл: | + | [[Файл:discr.png|600px|left]] |
− | + | Разложение в ряд Тейлора смещений частиц, соседних центральной: | |
+ | [[Файл:TaylorSeries.png|700px|left]] | ||
− | + | Континуальное уравнение: | |
− | + | [[Файл:cont.png|600px|left]] | |
− | + | Получившееся решение: | |
− | |||
− | + | [[Файл:solut1.png|300px|left]] | |
− | [[Файл: | ||
− | + | [[Файл:coef.png|200px|left]] | |
− | [[Файл: | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− |