Редактирование: Курсовой проект: "Моделирование столкновения упругого шарика и стены"

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Волынская Мария]]

'''Группа:'''  5030103/80101

'''Семестр:''' осень 2021

==Постановка задачи==
Требуется смоделировать удар воздушного шарика о твердую стенку в двумерной постановке. Воздушный шарик представляет из себя оболочку, состоящую из материальный точек, каждая из которых соединена пружиной. Отскакивание воздушного шара от стенки моделируется при помощи потенциала Ленарда-Джонса.

==Математическая модель==
Уравнение движения для каждой из материальных точек записывается следующим образом:

<math>
   m\underline{\ddot{x}}_i(t)=\underline{F}_{R_1}+\underline{F}_{R_2}+\underline{P}+\underline{F}_{Wall}\\
   \underline{x}_i(0)=\underline{x}_i^0,~\underline{v}_i(0)=\underline{v}_i^0~~~i=1,\ldots,n
</math>

где 
<math>
   \underline{F}_{R_1}, \underline{F}_{R_2}\\
</math> - силы упругости действующие на <math>i</math>-ую частицу со стороны <math>i-1</math> и <math>i+1</math> соответственно;

<math>
  \underline{P}
</math> - давление создаваемое газом;

<math>
 \underline{F}_{Wall}\\
</math> - сила взаимодействия между воздушным шаром и стеной;

Сила упругости, возникающая в пружине соединяющей частицы, вычисляется по следующей формуле:

<math>
   {F}_{R}= -(l - l_0)k_R
</math>,  где <math>k_R</math> - коэффициент жесткости пружины, <math>l</math> - длина пружины на данном шаге, <math>l_0</math> - начальная длина пружины

Давление:

<math>
   \underline{P}=k(1-\frac{V}{V_{0}}) \underline{n}
</math>,  где <math> V </math> - актуальный объем шара, <math> V_{0} </math> - начальный объем шара, <math> k </math> - коэффициент давления, <math> \underline{n}</math> - нормаль к пружине, направленная наружу.

Взаимодействие шара со стеной:

<math>
   \underline{F}_{Wall}=-\nabla \Pi(r)
</math>,  где  <math>\Pi(r)=4\varepsilon[(\frac{a}{r})^{12}-(\frac{a}{r})^6]</math>

Интегрирование уравнений движения осуществляется при помощи метода Верле.

==Реализация математической модели==
Репозиторий: https://github.com/Volynskaya/elastic-ball-and-wall

{{#widget:Iframe |url=https://volynskaya.github.io/elastic-ball-and-wall/ball.html |width=800 |height=800 |border=0 }}