Редактирование: Краморов Данил. Курсовой проект по теоретической механике
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 5: | Строка 5: | ||
Тело - в данном эксперименте шарик для настольного тенниса - помещается на край вертикального воздушного потока (создается феном). Подчиняясь [http://ru.wikipedia.org/wiki/%C7%E0%EA%EE%ED_%C1%E5%F0%ED%F3%EB%EB%E8| закону Бернулли], шарик будет пытаться стабилизироваться в центре потока, совершая колебания. Требуется найти уравнение колебаний шарика. Рассматриваются только горизонтальные колебания внутри потока. | Тело - в данном эксперименте шарик для настольного тенниса - помещается на край вертикального воздушного потока (создается феном). Подчиняясь [http://ru.wikipedia.org/wiki/%C7%E0%EA%EE%ED_%C1%E5%F0%ED%F3%EB%EB%E8| закону Бернулли], шарик будет пытаться стабилизироваться в центре потока, совершая колебания. Требуется найти уравнение колебаний шарика. Рассматриваются только горизонтальные колебания внутри потока. | ||
− | + | Параметры системы:<br> | |
− | <math> d = 4*10^{-2}</math> м | + | <math> d = 4*10^{-2}</math>м<br> |
− | <math> \rho = 0.125 </math> кг/м^ | + | <math> \rho = 0.125 </math>кг/м^<br> |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== Решение == | == Решение == | ||
− | + | Рассмотрим второй закон Ньютона. В горизонтальном направление на шарик действуют только две силы: подъемная сила (объясняемая [http://ru.wikipedia.org/wiki/%DD%F4%F4%E5%EA%F2_%CC%E0%E3%ED%F3%F1%E0| эффектом Магнуса]) и сила аэродинамического сопротивления. | |
− | Рассмотрим | ||
− | <math>m \ddot x = \frac{1} {2} \rho \upsilon^2 | + | <math>m \ddot x = \frac{1} {2} \rho \upsilon^2 ACl - A \dot x^2;</math><br> |
− | [[Файл: | + | <math> \rho</math> — плотность жидкости<br> |
+ | <math> \upsilon</math> — скорость шара<br> | ||
+ | A — поперечная площадь шара<br> | ||
+ | Cl — коэффициент подъёмной силы<br> | ||
+ | <br> | ||
+ | [[Файл:Norm.png|thumb|400px|right| Распределение Гаусса]] | ||
− | + | Задача сводится к нахождению функции, описывающей скорость шара в вертикальном воздушном потоке. Найти требуемую функцию можно разными способами. Максимальная скорость (5.6 м/с, расчет был произведен в эксперименте, изучающем закон Бернулли) будет достигаться в центре потока. По краям же скорость будет меньшей. Следовательно в грубом приближение функция скорости будет повторять функцию распределения вероятностей ([http://ru.wikipedia.org/wiki/%CD%EE%F0%EC%E0%EB%FC%ED%EE%E5_%F0%E0%F1%EF%F0%E5%E4%E5%EB%E5%ED%E8%E5 распределение Гаусса]). Функция плотности распределения имеет вид: | |
+ | <br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <math>f(x)= \frac{1} {\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x- \mu)^2} {\sigma^2}}</math><br> | ||
+ | <br> | ||
+ | <math> \mu</math> - коэффициент сдвига (вещественное число)<br> | ||
+ | <math> \sigma</math> - коэффициент масштаба (вещественный, строго положительный)<br> | ||
+ | <br> | ||
− | <math> | + | Представляя данную функцию функцией скорости, получаем зависимость от местоположения в потоке.<br> |
+ | <math> \mu</math> = d/2, <math> \sigma</math> = d/6, где d - диаметр потока.<br> | ||
+ | <math> \upsilon(x)= \frac{1} {\frac{d} {6} \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x- \frac{d} {2})^2} {({\frac{d} {6}})^2}}</math><br> | ||
+ | <math> \upsilon(x)= \frac{6} {d \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{9(2x- d)^2} {d^2}}</math><br> | ||
− | + | Общая формула будет иметь вид:<br> | |
+ | <br> | ||
+ | <math>m \ddot x = \frac{k} {\pi d^2} e^{-\frac{(2x- d)^2} {d^2}} - A \dot x^2;</math><br> | ||
<br> | <br> | ||
− | + | где <math> A = 12,56*10^{-4} </math>, <math> k = 7*10^{-4} </math>; | |
− | |||
− | <math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | = | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | <math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
== Обсуждение результатов и выводы == | == Обсуждение результатов и выводы == | ||
Аналитический расчет подтвердил экспериментальную оценку. Окончательное уравнение показало, что тело в вертикальном воздушном потоке совершает затухающие колебания. Также можно отметить, что колебания оказались очень малы. Шарик практически моментально стабилизируется в потоке. Что касается вертикальных колебаний, то они зависят от перепадов напряжения в сети и носят довольно случайный характер. Посредством пакета matlab были построены графики скорости, ускорения и движения тела в потоке. | Аналитический расчет подтвердил экспериментальную оценку. Окончательное уравнение показало, что тело в вертикальном воздушном потоке совершает затухающие колебания. Также можно отметить, что колебания оказались очень малы. Шарик практически моментально стабилизируется в потоке. Что касается вертикальных колебаний, то они зависят от перепадов напряжения в сети и носят довольно случайный характер. Посредством пакета matlab были построены графики скорости, ускорения и движения тела в потоке. | ||
− | == Ссылки по теме == | + | == Ссылки по теме == |
− | |||
− | |||
== См. также == | == См. также == |