Редактирование: Краморов Данил. Курсовой проект по теоретической механике

== Тема проекта ==
Колебания шарика в вертикальном воздушном потоке

== Постановка задачи ==
Тело - в данном эксперименте шарик для настольного тенниса - помещается на край вертикального воздушного потока. Подчиняясь [http://ru.wikipedia.org/wiki/%C7%E0%EA%EE%ED_%C1%E5%F0%ED%F3%EB%EB%E8| закону Бернулли], шарик будет пытаться стабилизироваться в центре потока, совершая колебания. Требуется найти уравнение колебаний шарика. Рассматриваются только горизонтальные колебания внутри потока.

==== Параметры системы: ====
<math> d = 4*10^{-2}</math> м (диаметр потока)<br>
<math> \rho = 0.125 </math> кг/м^3 (массовая плотность воздуха)<br>
<math> A = 12.56*10^{-4} </math> м^2 (площадь поперечного сечения шара)<br>
<math> C_l = 0.5 </math> (коэффициент подъемной силы)<br>
<math> \upsilon = 5.6 </math> м/с (максимальная скорость потока, расчет приведен)<br>
<math> C_d = 0.5 </math> (коэффициент сопротивления)<br>

== Решение ==
[[Файл:Skor.jpg|thumb|300px| График скорости(v(t))]]
Рассмотрим горизонтальную составляющую второго закона Ньютона для данного тела. В этом направление на шарик действуют подъемная сила (объясняемая [http://ru.wikipedia.org/wiki/%DD%F4%F4%E5%EA%F2_%CC%E0%E3%ED%F3%F1%E0| эффектом Магнуса]) и сила аэродинамического сопротивления.

<math>m \ddot x = \frac{1} {2} \rho \upsilon^2 AC_l- C_d A\frac{\rho {\dot x}^2}{2};</math><br>

[[Файл:dvig.jpg|thumb|300px| График движения(x(t))]]

Шарик не является точечным делом, поэтому на границы шарика действуют два разных по значению подъемные силы. Они будут противоположны по знаку. Следовательно уравнение движения будет иметь вид:

<math>m \ddot x = \frac{1} {2} \rho ({\upsilon_1}^2-{\upsilon_2}^2) AC_l - C_d A\frac{\rho {\dot x}^2}{2};</math><br>


Задача сводится к нахождению функции, описывающей скорость шара в вертикальном воздушном потоке.  Найти требуемую функцию можно разными способами. Максимальная скорость будет достигаться в центре потока. По краям же скорость будет меньшей. Следовательно в грубом приближение функция скорости будет представлять из себя параболу.<br>
<br>
Получаем зависимость от местоположения в потоке.<br>

<math> \upsilon(x)= - \sqrt {\frac{g} {d^3}} x^2 + \upsilon_{max}</math><br>

Теперь следует найти максимальную скорость потока.

==== Расчет максимальной скорости ====
[[Файл:Usk.jpg|thumb|300px| График ускорения(w(t))]]

<math> q = \frac {\rho \upsilon^2*10} {2} </math><br>
<math> q = \frac {F} {S} = \frac {mg} {A} </math><br>
<math> \frac {\rho \upsilon^2*10} {2} = \frac {mg} {A} </math><br>
<math> \upsilon = \sqrt {\frac {mg} {5 \rho A}} </math><br>

Общая формула для скорости будет иметь вид:

<math> \upsilon(x)= -\sqrt {\frac{g} {d^3}} x^2 + \sqrt {\frac {mg} {5 \rho A}}</math><br>

==== Итог ====

<math> x = x_1+r </math><br>
<math> x = x_2-r </math><br>
Общая формула при малых х будет иметь вид:<br>
<math>m \ddot x = 2\frac{\rho A C_l g r} {d^3} \left[\sqrt{\frac {md^3}{5\rho A}} -2r^2)\right]x - C_d A\frac{\rho {\dot x}^3}{2d}-\frac{\rho A C_l g r} {d^2}\left[\sqrt{\frac {md^3}{5\rho A}} -2r^2)\right];</math><br>

<math>m\ddot x = D{\dot x}^3 + Bx + L</math>;

<math>B = 2\frac{\rho A C_l g r} {d^3} \left[\sqrt{\frac {md^3}{5\rho A}} -2r^2)\right]</math>;

<math>D = - C_d A\frac{\rho}{2d}</math>;

<math>L = \frac{\rho A C_l g r} {d^2}\left[\sqrt{\frac {md^3}{5\rho A}} -2r^2)\right]</math>;

Уравнение колебаний для шарика в вертикальном воздушном потоке найдено.

== Обсуждение результатов и выводы ==
Аналитический расчет подтвердил экспериментальную оценку. Окончательное уравнение показало, что тело в вертикальном воздушном потоке совершает затухающие колебания. Также можно отметить, что колебания оказались очень малы. Шарик практически моментально стабилизируется в потоке. Что касается вертикальных колебаний, то они зависят от перепадов напряжения в сети и носят довольно случайный характер. Посредством пакета matlab были построены графики скорости, ускорения и движения тела в потоке.

== Ссылки по теме ==
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%C7%E0%EA%EE%ED_%C1%E5%F0%ED%F3%EB%EB%E8| Закон Бернулли]<br>
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%DD%F4%F4%E5%EA%F2_%CC%E0%E3%ED%F3%F1%E0| Эффект Магнуса]<br>

== См. также ==

* [[Справка:Содержание|Справочная информация]]
* [[Курсовые проекты ТМ 20510 (2012)|Список курсовых проектов]]
* [[Кафедра "Теоретическая механика"]]
* [[Краморов Данил]]


[[Category: Студенческие проекты]]