Редактирование: КП: Кинематика кривошипно-шатунного механизма

[[А.М. Кривцов]] > [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретическая механика]] > [[Курсовые проекты ТМ 2014|Курсовые проекты 2014]] > '''Кинематика кривошипно-шатунного механизма''' <HR>


'''''Курсовой проект по [[Теоретическая механика: физико-механический факультет|Теоретической механике]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Cолодовников Владислав]]

'''Группа:''' [[Группа 08|08]] (23604)

'''Семестр:''' весна 2014

[[Файл:engine15.gif|справа|120px]]

== Аннотация проекта ==
Данный проект посвящен Кинематическому анализу движения кривошипно-шатунного механизма в двигателе внутреннего сгорания.
Кривошипно-шатунный механизм (КШМ) предназначен для преобразования возвратно-поступательного движения поршня во вращательное движение (например, во вращательное движение коленчатого вала в двигателях внутреннего сгорания), и наоборот.

== Постановка задачи ==
* Установление законов движения поршня и шатуна
* Составить уравнения перемещения, ускорения и скорости поршня и шатуна

== Постановка задачи ==
Дан центральный кривошипно-шатунный механизм, у которого ось цилиндра пересекается с осью коленчатого вала. <br>
[[Файл: Ksh.png|слева|180px]]<br>
Примем следующие обозначения:<br>
φ — угол поворота кривошипа в рассматриваемый момент времени<br>
При φ =0 поршень занимает крайнее положение А1 – ВМТ<br>
При φ =180° поршень занимает положение A2 – НМТ<br>
β – угол отклонения оси шатуна<br>
ω= πn/30 – угловая скорость вращения кривошипа<br>
r = OB – радиус кривошипа<br>
L = AB — длина шатуна<br>
λ = r/L – безразмерный параметр КШМ<br>
S = 2r = A1A2 — полный ход поршня<br>
    





== Решение ==
'''Перемещение поршня:'''<br>
При повороте кривошипа на угол φ перемещение поршня от его начального положения в ВМТ определяется отрезком АА1 и равно: Sп = AA1 = A1O− AO = A1O − (OC + CA) .<br>
<br> <math> S= R+L-(rcos\varphi+Lcos\beta )=r\left [ 1+L/R-(cos\varphi+L/Rcos\beta )  \right ]=r\left [( 1-cos\varphi ) +1/\lambda (1-cos\beta )\right ]  </math>
<br> <math> sin\beta =r/L*sin\varphi=\lambda sin\varphi </math>
<br> Следовательно, <math> cos\beta =\sqrt{s1-sin^2\beta }=\sqrt{1-\lambda ^2sin^2\varphi} =(1-\lambda ^2sin^2\varphi )^{1/2} </math>
<br> т.к. <math> cos\beta =1-1/2*\lambda ^2sin^2\varphi, S=r\left [ (1-cos\varphi )+\lambda /2*sin^2 \varphi ] </math> 
<br> <math> S=r\left [ (1-cos\varphi )+\lambda /2*sin^2 \varphi ] </math> 
<br> но т.к. <math> sin^2\varphi =\frac{1-cos2\varphi }{2} </math> , то 
<br> <math> S=r\left [ (1-cos\varphi )+\lambda /4*(1-cos2\varphi )  \right ] </math> - это выражение описывает перемещение поршня в зависимости от угла поворота кривошипа и геометрических размеров КШМ

'''Скорость поршня:'''<br>
Выражение для определения скорости перемещения поршня как функцию угла поворота кривошипа можно получить путем дифференцирования по времени левой и правой части уравнения движения кривошипно-шатунного механизма.
<br> <math> \frac{\mathrm{ds} }{\mathrm{d} t }=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} \varphi }\left \{ r\left [ (1-cos\varphi )+\lambda /4(1-cos2\varphi ) \right ] \right \}\frac{\mathrm{d\varphi } }{\mathrm{d} t}=r(sin\varphi +\frac{\lambda }{2}sin2\varphi )\frac{\mathrm{d\varphi } }{\mathrm{dt}} </math>,
<br>  где <math> \frac{\mathrm{ds} }{\mathrm{d} t }=\nu </math> - скорость перемещения поршня;<math> \frac{\mathrm{d\varphi } }{\mathrm{dt}}=\omega  </math> - угловая скорость вращения кривошипа.
<br> Следовательно имеем: 
<br> <math> \nu =r\omega(sin\varphi+ \frac{\lambda }{2}sin2\varphi) </math>
 

'''Ускорение поршня:'''<br>
Выражение для определения ускорения поршня
можно найти путем дифференцирования по времени выражения для скорости поршня:
<br> <math> j=\frac{\mathrm{d\nu } }{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d\nu } }{\mathrm{dt}}\frac{\mathrm{d\varphi } }{\mathrm{dt}}=r\omega\frac{\mathrm{d\varphi } }{\mathrm{dt}}cos\varphi +\frac{\lambda r\omega}{2}*2\frac{\mathrm{d\varphi } }{\mathrm{dt}}cos2\varphi </math> ,
<br> откуда  <math> J=r\omega^2cos\varphi+\lambda r \omega^2cos2\varphi=r \omega^2(cos\varphi+\lambda cos2\varphi) </math>

'''Кинематика шатуна:'''<br>
[[Файл: Shatun.png|слева|180px]]<br>
При вращении кривошипа шатун совершает сложное плоскопараллельное движение, которое можно рассматривать как сумму поступательного движения вместе с поршнем (с точкой А на рис. 9), кинематика которого рассмотрена, и углового движения относительно оси поршневого
пальца, т. е. точки А.
<br> '''Угловое перемещение шатуна''' шатуна относительно
оси цилиндра определяется из уравнения: <br> <math> sin\beta =r/L*sin\varphi=\lambda sin\varphi </math> (*):
<br> <math>\beta =arcsin(\lambda sin\varphi)</math> 
<br> Из последнего уравнения видно, что наибольшее отклонение шатуна при <math> \varphi=\pi /2 </math> и <math> \varphi=3\pi/2 </math>,что соответствует <math> \beta_{max}=\pm arcsin \lambda..</math>
<br> 
Продифференцировав выражение (*) как
уравнение с разделенными переменными, имеем

<br> '''Угловая скорость шатуна''' ωш определяется
путем дифференцирования по времени функции
углового перемещения:
<br> <math> \omega=\frac{\mathrm{d\beta} }{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d\beta} }{\mathrm{d} \varphi}\frac{\mathrm{d\varphi} }{\mathrm{d} t}=\omega\frac{\mathrm{d\beta} }{\mathrm{d} t} </math>
<br> Продифференцировав выражение (*) как
уравнение с разделенными переменными, имеем <math> cos\beta d\beta=\lambda cos\varphi d \varphi </math>, 
<br> откуда <math> \frac{d\beta}{d\varphi}=\lambda\frac{cos \varphi}{cos \beta } </math>
<br> <math> \omega = \omega \lambda\frac{cos \varphi}{cos \beta } = \frac{\omega \lambda cos \varphi}{\sqrt{1-\lambda^2 sin^2 \varphi}}\approx \omega \lambda cos \varphi </math> 

<br> '''Угловое ускорение шатуна''' определяется путем дифференцирования по времени функции угловой скорости его:
<br> <math> \varepsilon =\frac{\mathrm{d\omega} }{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d\omega} }{\mathrm{d} \varphi}*\frac{\mathrm{d\varphi} }{\mathrm{d} t}=-\frac{\omega^2\lambda (1-\lambda^2)}{1-\lambda^2sin^2\varphi)^{3/2}}sin\varphi\approx -\omega^2\lambda sin\varphi </math>
<br> '''Траектория движения КШМ '''
[[Файл:Crank.gif|слева|220px]]