Редактирование: КП: Джамперы
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 11: | Строка 11: | ||
== Аннотация проекта == | == Аннотация проекта == | ||
− | + | ||
На рынке развлечений джамперы появились совсем недавно, но сразу пришлись по душе любителям экстрима различных категорий и возрастов, спортсменам, акробатам. Не обходят вниманием летний аттракцион джампер и клипмейкеры, режиссеры фильмов, создатели телевизионных шоу, пользователи сети интернет. О том, что джамперы (цена их доступна покупателям с различным уровнем доходов) полезны для здоровья, заговорили и врачи. Они отмечают, что регулярные физические упражнения на джамперах укрепляют сердечнососудистую систему, развивают организм и совершенствуют тело в целом, положительно влияют на общее состояние кожных покровов, способствуют снижению лишнего веса. | На рынке развлечений джамперы появились совсем недавно, но сразу пришлись по душе любителям экстрима различных категорий и возрастов, спортсменам, акробатам. Не обходят вниманием летний аттракцион джампер и клипмейкеры, режиссеры фильмов, создатели телевизионных шоу, пользователи сети интернет. О том, что джамперы (цена их доступна покупателям с различным уровнем доходов) полезны для здоровья, заговорили и врачи. Они отмечают, что регулярные физические упражнения на джамперах укрепляют сердечнососудистую систему, развивают организм и совершенствуют тело в целом, положительно влияют на общее состояние кожных покровов, способствуют снижению лишнего веса. | ||
Строка 34: | Строка 34: | ||
'''Постановка задачи:''' | '''Постановка задачи:''' | ||
* ''Дано:'' | * ''Дано:'' | ||
− | ** <math>m</math> | + | ** <math>m</math> - масса пользователя;<br> |
− | ** <math>l_0</math> | + | ** <math>l_0</math> - начальная длина пружины;<br> |
* ''Найти:'' | * ''Найти:'' | ||
− | ** <math>c</math> | + | ** <math>c</math> - жесткость пружины оптимально подходящую под вес пользователя;<br> |
− | ** <math>h</math> | + | ** <math>h</math> - высота прыжка (считая от </math>l_0</math><br> - высоты распрямленной пружины (без нагрузки);<br> |
− | ** <math>t_p</math> | + | ** <math>t_p</math> - время полета. <br> |
− | Считаем, что оптимальные параметры | + | Считаем, что оптимальные параметры - чем выше прыжок (время полета больше), тем лучше.<br> |
* ''Начальные условия:'' | * ''Начальные условия:'' | ||
− | ** <math>x(0) = (l_0 - | + | ** <math>x(0) = (l_0 - eps_m)</math> - координата в начальный момент времени, где <math>eps_m</math> - максимальное сжатие пружины;<br> |
− | ** <math>\ | + | ** <math>x^{\prime}(0) = 0</math> - скорость в начальном положении <math>0</math>; <br> |
'''В задаче рассматриваем две части движения: ''' | '''В задаче рассматриваем две части движения: ''' | ||
* Пружина касается земли, т.е. действует сила упругости | * Пружина касается земли, т.е. действует сила упругости | ||
− | ** Исходное уравнение (1): <math> | + | ** Исходное уравнение (1): <math>mx^{\prime\prime} \ =\ c(l_0 - x) - mg</math><br> |
* Пружина не касается земли, т.е. тело находится в полете | * Пружина не касается земли, т.е. тело находится в полете | ||
− | ** Исходное уравнение (2): <math> | + | ** Исходное уравнение (2): <math>mx^{\prime\prime} \ =\ - mg</math><br> |
== Решение == | == Решение == | ||
* '''Решая исходное уравнение (1) получаем решение вида:'''<br> | * '''Решая исходное уравнение (1) получаем решение вида:'''<br> | ||
− | <math>x = c_1cos | + | <math>x = c_1cos({\sqrt{\frac{c}{m}}}t) + c_2sin({\sqrt{\frac{c}{m}}}t) + \frac{cl_0 - mg}{c}</math><br> |
И по задаче Коши высчитываем окончательное уравнение: <br> | И по задаче Коши высчитываем окончательное уравнение: <br> | ||
− | <math>x(t) = { | + | <math>x(t) = {(\frac{mg}{c} - eps_m)}cos({\sqrt{\frac{c}{m}}}t) + \frac{cl_0 - mg}{c}</math><br> |
<br> | <br> | ||
* '''Рассмотрим задачу Коши для задачи (2)''' (пружина не касается земли) | * '''Рассмотрим задачу Коши для задачи (2)''' (пружина не касается земли) | ||
Уравнение скорости в задаче (1) имеет вид: | Уравнение скорости в задаче (1) имеет вид: | ||
− | <math>{\ | + | <math>{x^{\prime}(t)} = {eps_m(\frac{mg}{c})}sin({\sqrt{\frac{c}{m}}}t)</math><br> |
− | Когда пружина полностью распрямилась (<math>x = l_0</math>),мы получаем начальное условие для задачи (2). Отсюда выражаем <math>t_r</math> | + | Когда пружина полностью распрямилась (<math>x = l_0</math>),мы получаем начальное условие для задачи (2). Отсюда выражаем <math>t_r</math> - время распрямления пружины: |
− | <math>t_r = {\sqrt{\frac{m}{c}}}arccos | + | <math>t_r = {\sqrt{\frac{m}{c}}}arccos(\frac{mg}{mg - ceps_m})</math><br> |
Подставляем найденное время в уравнение скорости и получаем скорость в начальный момент в задаче (2): | Подставляем найденное время в уравнение скорости и получаем скорость в начальный момент в задаче (2): | ||
− | <math>V_0 = | + | <math>V_0 = (eps_m - (\frac{mg}{c})){\sin({\arccos{(\frac{mg}{mg - ceps_m})}})}</math><br> |
* '''Зная начальную скорость в начальный момент времени задачи (2) можем высчитать:''' | * '''Зная начальную скорость в начальный момент времени задачи (2) можем высчитать:''' | ||
− | ** <math>h = | + | ** <math>h = (\frac{V_0^2}{2g})</math> - высоту подъема |
− | ** <math>t_p = | + | ** <math>t_p = (\frac{2V_0}{g})</math> - время полета |
− | * Из решения видно, что '''единственная неизвестная <math> | + | * Из решения видно, что '''единственная неизвестная <math>eps_m</math> - максимальное сжатие пружины'''.<br> |
'''Найдем ее, решая задачу:''' <br> | '''Найдем ее, решая задачу:''' <br> | ||
− | Тело массы <math>m</math> абсолютно неупруго падает на пружину жесткости <math>c</math> с высоты <math>h = | + | Тело массы <math>m</math> абсолютно неупруго падает на пружину жесткости <math>c</math> с высоты <math>h = (\frac{V_0^2}{2g})</math>. Найти максимальное сжатие пружины.<br> |
'''Ответ:''' <br> | '''Ответ:''' <br> | ||
− | <math> | + | <math>eps_m = (\frac{mg + {\sqrt{(mg)^2 - 2mg(l_0 - h)c}}}{c})</math><br> |
== Обсуждение результатов и выводы == | == Обсуждение результатов и выводы == | ||
− | * | + | * Проект содержит только общие формулы, пока вычислить численно необходимую жесткость пружины не удалось. |
− | |||
* Проект будет продолжен в следующем семестре | * Проект будет продолжен в следующем семестре | ||
− | ** Планируется усложнить расчеты доведя модель до типа джамперов, представленных на рынке | + | ** Планируется усложнить расчеты доведя модель до типа джамперов, представленных на рынке |
** Планируется построить каждую модель физически - полноценную либо прототип. | ** Планируется построить каждую модель физически - полноценную либо прототип. | ||