Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 84: |
Строка 84: |
| | | | |
| | Произведем замену переменных | | Произведем замену переменных |
| − | <math>\tilde\psi~=\psi-\beta</math> | + | <math></math> |
| − | | |
| − | Краевая задача в новых обозначениях:
| |
| − | <nath>C_1\tilde\psi''(s)+Nsin\tilde\psi=0</math>
| |
| − | | |
| − | Граничные условия для новой переменной <math>\tilde\psi</math>:
| |
| − | <math>\tilde\psi|_{s=0}=-\beta, \tilde\psi'|_{s=l}=0</math>
| |
| − | | |
| − | ----
| |
| − | Первый интеграл
| |
| − | <math>\tilde\psi=\pm2\sqrt{\frac{N}{C_1}[sin^2\frac{\tilde\psi_l}{2}-sin^2\frac{\tilde\psi}{2}]}, </math>где <math>\tilde\psi_l=\tilde\psi|_{s=l}</math>
| |
| − | | |
| − | <math>\underline{N}=N\underline{e} => N > 0 => sin^2\frac{\tilde\psi_l}{2}-sin^2\frac{\tilde\psi}{2} \ge 0</math>
| |
| − | | |
| − | Тогда можем сделать замену:
| |
| − | <math>sin\theta=\frac{sin^2\frac{\tilde\psi}{2}}{sin^2\frac{\tilde\psi_l}{2}}</math>
| |
| − | | |
| − | Дифференциально уравнение для новой переменной: <math>\theta'=\frac{N}{C_1}[1-sin^2\xi sin^2\theta]</math>
| |
| − | Используем оставшееся гр. условие и получим: <math>\theta|_{s=0}=\theta_0</math>
| |
| − | | |
| − | Тогда решение задачи в квадратурах:
| |
| − | <math>\sqrt{\frac{N}{C_1}}s=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\tau}{\sqrt{1-sin^2\xi sin^\tau}}</math>
| |
| − | | |
| − | == Критическая сила ==
| |
| − | Пусть полученный ранее интеграл - интеграл от параметра
| |
| − | <math>\sqrt{\frac{N}{C_1}}s=J(\xi)</math>, где <math>J(\xi)=\int_{\theta_0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\tau}{\sqrt{1-sin^2\xi sin^\tau}}</math>
| |
| − | | |
| − | <math>J(\xi)</math> принимает минимальное значение при <math> \xi=0 </math>, тогда интеграл равен: <math>\frac{\pi}{2}-\theta_0</math>
| |
| − | | |
| − | Следовательно <math>\sqrt{\frac{N}{C_1}}s \ge J(0)</math>, тогда значение критической силы <math>N_cr=\frac{(\pi-2\theta_{0}^{cr})C_1}{4 l^2}</math>
| |
| − | | |
| − | <math>ctg\theta_{0}^{cr}=\frac{\pi}{2}-\theta_{0}^{cr}</math>
| |
