| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 32: |
Строка 32: |
| | | | |
| | Задача решается в классической теории стержней: <math>\underline{\varepsilon}=0</math>, следовательно: <math>\underline{R}'=\underline{\underline{P}}\cdot{t}</math> | | Задача решается в классической теории стержней: <math>\underline{\varepsilon}=0</math>, следовательно: <math>\underline{R}'=\underline{\underline{P}}\cdot{t}</math> |
| − |
| |
| − | ----
| |
| − | '''Граничные условия'''
| |
| − |
| |
| − | Условие жесткой заделки на нижнем конце:
| |
| − | Отсутствие перемещений
| |
| − | <math>\underline{R}|_{s=0}=0</math> ,
| |
| − | Отсутствие поворота
| |
| − | <math>\underline{\underline{P}}|_{s=0}=\underline{\underline{E}}</math>
| |
| − |
| |
| − | Условия на верхнем конце стержня:
| |
| − | уравнение движения груза: <math>m(\underline{t}\cdot\underline{R}^{\cdot\cdot})|_{s=l}=-F(t)-mg-(\underline{t}\cdot\underline{N}|_{s=l})</math>
| |
| − |
| |
| − | Отсутствие перемещений в плоскости
| |
| − | <math>\underline{R}|_{s=l}\cdot(\underline{\underline{E}}-\underline{t}\underline{t})=0</math>
| |
| − |
| |
| − | Возникновение сил реакций
| |
| − | <math>\underline{N}|_{s=l}\cdot(\underline{\underline{E}}-\underline{t}\underline{t})=\underline{F}^*</math>
| |
| − |
| |
| − | Т.к. груз шарнирно прикреплен к стержню
| |
| − | <math>\underline{M}|_{s=l}=0</math>
| |
| − |
| |
| − | == Решение уравнений статики стержня ==
| |
| − | Вектор силы <math>\underline{N}=\underline{N}|_{s=l}</math>
| |
| − |
| |
| − | Вектор деформации: <math>\underline{\Phi}=\underline{R}'\times \underline{R}''</math>
| |
| − |
| |
| − | Вектор момента: <math>\underline{M}=C_1\underline{\Phi}</math>, принимая во внимание ранее полученное выражение для вектора деформации <math>\underline{M}=C_1\underline{R}'\times\underline{R}''</math>
| |
| − |
| |
| − | Доказывается, что конфигурация изогнутого стержня - плоская
| |
| − | <math>\underline{\underline{P}}=\underline{\underline{P}}(\psi\underline{b})</math>
| |
| − | Тогда можно найти радиус вектор <math>\underline{R}'</math>
| |
| − |
| |
| − | <math>\underline{R}'=cos\psi\underline{t}+sin\psi\underline{n}</math>
| |
| − |
| |
| − | В результате итоговое выражение для момента будет выглядеть <math>\underline{M}=C_1\psi\underline{b}</math>
| |
| − |
| |
| − | == Краевая задача для '''<math>\psi</math>''' ==
| |
| − | Дифференциальное уравнение
| |
| − | <math>C_1\psi(s)+(\underline{n}\cdot\underline{N})cos\psi-(\underline{N}\cdot\underline{t})sin\psi=0</math>
| |
| − |
| |
| − | Граничные условия для переменной <math>\psi</math>:
| |
| − | <math>\psi|_{s=0}=0</math>
| |
| − |
| |
| − | <math>\psi'|_{s=l}=0</math>
| |
| − |
| |
| − |
| |
| − | Введем новые обозначения: <math>\underline{N}=N\underline{n}</math>,
| |
| − | <math>\underline{e}\cdot\underline{n}=-sin\beta</math>,
| |
| − | <math>\underline{e}\cdot\underline{t}=-cos\beta</math>
| |
| − |
| |
| − | Произведем замену переменных
| |
| − | <math>\tilde\psi~=\psi-\beta</math>
| |
| − |
| |
| − | Краевая задача в новых обозначениях:
| |
| − | <nath>C_1\tilde\psi''(s)+Nsin\tilde\psi=0</math>
| |
| − |
| |
| − | Граничные условия для новой переменной <math>\tilde\psi</math>:
| |
| − | <math>\tilde\psi|_{s=0}=-\beta, \tilde\psi'|_{s=l}=0</math>
| |
| − |
| |
| − | ----
| |
| − | Первый интеграл
| |
| − | <math>\tilde\psi=\pm2\sqrt{\frac{N}{C_1}[sin^2\frac{\tilde\psi_l}{2}-sin^2\frac{\tilde\psi}{2}]}, </math>где <math>\tilde\psi_l=\tilde\psi|_{s=l}</math>
| |
| − |
| |
| − | <math>\underline{N}=N\underline{e} => N > 0 => sin^2\frac{\tilde\psi_l}{2}-sin^2\frac{\tilde\psi}{2} \ge 0</math>
| |
| − |
| |
| − | Тогда можем сделать замену:
| |
| − | <math>sin\theta=\frac{sin^2\frac{\tilde\psi}{2}}{sin^2\frac{\tilde\psi_l}{2}}</math>
| |
| − |
| |
| − | Дифференциально уравнение для новой переменной: <math>\theta'=\frac{N}{C_1}[1-sin^2\xi sin^2\theta]</math>
| |
| − | Используем оставшееся гр. условие и получим: <math>\theta|_{s=0}=\theta_0</math>
| |
| − |
| |
| − | Тогда решение задачи в квадратурах:
| |
| − | <math>\sqrt{\frac{N}{C_1}}s=\int_{\theta_0}^{\theta}\frac{d\tau}{\sqrt{1-sin^2\xi sin^\tau}}</math>
| |
| − |
| |
| − | == Критическая сила ==
| |
| − | Пусть полученный ранее интеграл - интеграл от параметра
| |
| − | <math>\sqrt{\frac{N}{C_1}}s=J(\xi)</math>, где <math>J(\xi)=\int_{\theta_0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{d\tau}{\sqrt{1-sin^2\xi sin^\tau}}</math>
| |
| − |
| |
| − | <math>J(\xi)</math> принимает минимальное значение при <math> \xi=0 </math>, тогда интеграл равен: <math>\frac{\pi}{2}-\theta_0</math>
| |
| − |
| |
| − | Следовательно <math>\sqrt{\frac{N}{C_1}}s \ge J(0)</math>, тогда значение критической силы <math>N_cr=\frac{(\pi-2\theta_{0}^{cr})C_1}{4 l^2}</math>
| |
| − |
| |
| − | <math>ctg\theta_{0}^{cr}=\frac{\pi}{2}-\theta_{0}^{cr}</math>
| |
