Текущая версия |
Ваш текст |
Строка 31: |
Строка 31: |
| <math>δ=\frac{A_{z} - A_{z_0}}{A_{z_0}}\cdot 100\%</math> | | <math>δ=\frac{A_{z} - A_{z_0}}{A_{z_0}}\cdot 100\%</math> |
| | | |
− | Решение соответствующей задачи строилось в пакете Abaqus. Рассматривался стержень длиной 𝑙 = 1м. Поперечное сечение стержня — П – образный профиль (швеллер) площадью <math>𝑆 = 0,02858м^2</math>. (Характерные размеры стрежня a(толщина) = 0.02м, b = 0.5м, c = 0.429.). Материал стержня — медь (модуль Юнга <math>E=1.14\cdot 10^{11}</math> Па). Приложенная сила 𝑁 = 500кН. Вычисления проводились при количестве элементов 𝑛 = 14300. В результате решения было найдено <math>\mathbf{u}^{(3)}(x,y,z)\approx u^{3}(z)\mathbf{k}</math>. С учетом того, что <math>ρ_0 = ρ𝑆</math>. | + | Решение соответствующей задачи строилось в пакете Abaqus. Рассматривался стержень длиной 𝑙 = 1м. Поперечное сечение стержня — П – образный профиль (швеллер) площадью <math>𝑆 = 0,02858м^2</math>. (Характерные размеры стрежня a(толщина) = 0.02м, b = 0.5м, c = 0.429.). Материал стержня — медь (модуль Юнга <math>E=2\cdot 10^{11}</math> Па). Приложенная сила 𝑁 = 500кН. Вычисления проводились при количестве элементов 𝑛 = 14300. В результате решения было найдено <math>\mathbf{u}^{(3)}(x,y,z)\approx u^{3}(z)\mathbf{k}</math>. С учетом того, что <math>ρ_0 = ρ𝑆</math>. |
| | | |
| Построим график зависимости относительной погрешности величин <math>A_z</math> и <math>A_{z0}</math> от безразмерной координаты сечения стержня ξ = z/l для рассматриваемого случая: | | Построим график зависимости относительной погрешности величин <math>A_z</math> и <math>A_{z0}</math> от безразмерной координаты сечения стержня ξ = z/l для рассматриваемого случая: |
− | [[File:OtnositPogr.JPG|thumb|400px|centre|Рис 1. Относительная погрешность величин <math>A_z</math> и <math>A_{z0}</math>.]] | + | [[File:OtnositPogr.JPG|thumb|400px|Рис 1. Относительная погрешность величин <math>A_z</math> и <math>A_{z0}</math>.]] |
− | | |
− | По этому графику видно, что чем дальше от заделки находится координата сечения, тем меньше погрешность между известной и полученной формулами.
| |
− | == Постановка задачи для определения коэффициента сдвига ==
| |
− | | |
− | Рассматривается задача изгиба стержня длинной <math>l</math> (см. Рис. 1). Один конец жестко закреплен, на втором конце действует поперечная сила <math>\mathbf{N}=N_{0}\mathbf{i}</math>.
| |
− | | |
− | Решение будем искать в виде: <math>\mathbf{u} = -u\mathbf{i}, \boldsymbol{\psi} = \psi \mathbf{j}</math>.
| |
− | | |
− | [[File:twotask.jpg|thumb|400px|right|Рис 2. Постановка задачи для изгиба стержня]]
| |
− | | |
− | Имеем:<math>\psi_{1}=\frac{N_{0}}{C_{y}}z\left(l-\frac{z}{2}\right), \qquad
| |
− | | |
− | u_{1}=\frac{N_{0}}{A_{x}}z+\frac{N_{0}}{2C_{y}}\left(z^2l-\frac{z^3}{3}\right)</math>
| |
− | | |
− | | |
− | Здесь <math>u_{1}</math> - перемещение стержня со свободным концом, <math>\psi_{1}</math> - угол поворота сечения стержня со свободным концом, <math>A_x</math> - модуль жесткости на поперечный сдвиг, <math>C_y</math> - модуль жесткости на изгиб.
| |
− | | |
− | Решение содержит два неизвестных модуля упругости. Поэтому, чтобы получить формулу, где не будет изгибной жесткости, решается две задачи: изгиб стержня со свободным концом и с заделкой, как показано на Рис 2.
| |
− | | |
− | Угол поворота сечения и перемещение для стержня с двумя заделками:
| |
− | <math>\psi_{2}=\frac{N_{0}z}{2C_{y}}(z-l) \qquad u_{2}=\frac{N_{0}}{A_{x}}z+\frac{N_{0}}{2C_{y}}\left(\frac{z^2l}{2}-\frac{z^3}{3}\right)</math>
| |
− | где <math>u_{2}</math> - перемещение стержня с заделкой с двух сторон, <math>\psi_{2}</math> - угол закручивания стержня с заделкой с двух сторон.
| |
− | | |
− | Переходим к относительной координате сечения, делая замену <math>\xi =z/l</math>. Получаем итоговую формулу для модуля жесткости на поперечный сдвиг:
| |
− | <math>A_{x}=\frac{3\xi lN_{0}}{2u_{2}(3-\xi)-u_{1}(3-2\xi)}</math>
| |
− | Перейдем от найденного модуля жесткости на поперечный сдвиг к коэффициенту сдвига:
| |
− | <math>k= \frac{A_{x}}{GS}</math>
| |
− | | |
− | Здесь <math>G</math> - модуль сдвига, <math>S</math> - площадь поперечного сечения.
| |
− | | |
− | == Результаты ==
| |
− | | |
− | Несколько результатов экспериментов можно увидеть в таблице(Рис. 3).
| |
− | | |
− | [[File:Tablefas.JPG|thumb|400px|centre|Рис 3. Результаты]]
| |
− | | |
− | По приведенным значениям в таблице видно, что коэффициент сдвига принимает различные значения. Можно также заметить, что чем меньше с — ширина наших сечений и чем больше длина сторон (b), тем ближе коэффициент сдвига к 1. Также стоит отметить, что коэффициент сдвига не зависит от позиции сечения.
| |
− | | |
− | Также не стоит оставлять без внимания результат, полученный при нанесении всех результатов на график.
| |
− | | |
− | [[File:Graficresults1.JPG|thumb|400px|centre|Рис 4. График зависимости <math>k\cdot\sqrt{\frac{J_x}{J_y}}</math> от корня отношения моментов <math>J_x</math> и <math>J_y</math>]]
| |
− | | |
− | Было построено несколько зависимостей, но наиболее точно все эти точки аппроксимирует полином второй степени, изображенный на Рис. 5. Теперь приведем уравнение этой кривой к виду <math>k = k(J_x,J_y)</math>.
| |
− | | |
− | [[File:Graficresults2.JPG|thumb|400px|centre|Рис 5. График зависимости <math>k\cdot\sqrt{\frac{J_x}{J_y}}</math> от корня отношения моментов ( <math>J_x</math> и <math>J_y</math>) с аппроксимирующими кривыми (квадратичная и линейная) и соответствующими коэффициентами достоверности]]
| |
− | | |
− | Получилось выражение для коэффициента сдвига, который можно найти, зная только два момента инерции.
| |
− | | |
− | <math>k =0.0831\sqrt{\frac{J_y}{J_x}}+0.5556-0.0862\sqrt{\frac{J_x}{J_y}} </math>
| |
− | | |
− | == Выводы ==
| |
− | | |
− | В работе решен ряд задач численным методом по трехмерной теории. Основываясь на сравнении напряженно-деформированного состояния стержней и трехмерных тел, были найдены корректирующие коэффициенты сдвига.
| |
− | К тому же, в случае на растяжение сделан вывод, что чем дальше по сечению от заделки находится координата сечения, тем меньше разница между известной и полученной формулами для модуля жесткости на растяжение.
| |
− | Также удалось систематизировать данные и сделать вывод о влиянии формы сечения на коэффициент сдвига при поперечном сдвиге. А именно: при увеличении длин сторон сечения и уменьшения его ширины, коэффициент сдвига будет значительно увеличиваться, стремясь к 1, коэффициент сдвига не зависит от положения сечения.
| |
− | Кроме того, полученные результаты были нанесены на график, после чего стало очевидно, что точки можно довольно точно аппроксимировать кривой. С помощью уравнения этой кривой можно получить коэффициент сдвига, используя 2 момента инерции.
| |
− | | |
− | == Список литературы==
| |
− | | |
− | *Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни, 2 изд., М., 1959.
| |
− | | |
− | *В. И. Водопьянов, А. Н. Савкин, О. В. Кондратьев. Курс сопротивления материалов с примера и задачами. Учебное пособие, 2012.
| |
− | | |
− | *Тимошенко С. П, Устойчивость стержней, пластин и оболочек (избранные работы С. П. Тимошенко). — М.: Наука, 1971.
| |
− | | |
− | *П. А. Жилин. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней. Издательство Политехнического университета, 2007
| |
− | | |
− | *В. К. Манжосов. Сопротивление материалов. Определение внутренних силовых факторов. - Учебное пособие. Ульяновск, УлГТУ.
| |
− | | |
− | *Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. — М.: изд-во МГТУ им. Н. Э.
| |
− | Баумана, 1999
| |
− | | |
− | *Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. VII. Теория
| |
− | упругости: Учеб. пособие. — 4-е изд., испр. и доп. — М.; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 248 с.
| |
− | | |
− | *Erasmo Carrera, Gaetano Giunta, Marco Petrolo. Beam Structures: Classical and Advanced Theories.
| |
− | | |
− | *O. A. Bauchau, J. I. Craig. Euler-Bernoulli beam theory. Springer Netherlands, 2009.
| |