Редактирование: Исследование коэффициента сдвига в зависимости от параметров сечения стержня

<big>'''БАКАЛАВРСКАЯ РАБОТА'''</big><br>
''Автор работы'': [[Филимонов Александр]]<br>
''Научный руководитель'': д.ф.-м.н., профессор [[Иванова Елена Александровна]]<br>

==Введение==
Тонкостенные стержни — элементы конструкций и сооружений цилиндрической или призматической формы, у которых все три характерных измерения (толщина, наибольший размер поперечного сечения и длина) выражаются величинами различных порядков, т. е. первая значит, меньше второй, а вторая — меньше третьей [1]. Тонкостенные стержни находят широкое применение в строительных конструкциях (стальные и алюминиевые прокатные, составные и гнутые профили, железобетонные тонкостенные элементы, кессонные конструкции и т. п.), а также в машиностроении, самолетостроении и т. д. Различают тонкостенные стержни открытого профиля швеллер, двутавр и др. и закрытого профиля (напр., коробчатого).
Тонкостенные стержни обычно рассматриваются при расчете как пространственные конструкции; специфика их работы связана с деформацией контура поперечного сечения. С точки зрения расчета тонкостенные стержни представляют собой оболочки.
Методы расчета теории стержней основаны на предположении о недеформируемости контура поперечного сечения, которые и будут использоваться в данной работе.
Стоит заметить, что модули жёсткости на растяжение, изгиб и кручение хорошо известны и приведены во всех справочниках [2]. Интерес представляет модуль жёсткости на поперечный сдвиг. Существует формула для коэффициента сдвига <math>A = kGS</math>. Зависимость от <math>G</math> и <math>S</math> вопроса не вызывает, интерес представляет значение <math>k</math> и его нахождение.
Пользоваться будем моделью балки Тимошенко.

== Цели данной работы ==
Исследование коэффициентов сдвига прямолинейных тонкостенных стержней .
*определение коэффициентов сдвига на основании численного эксперимента. 
*провести исследование влияния формы сечения стержня на коэффициент сдвига.

== Метод определения упругих модулей ==
В данной работе используется метод, основанный на решении статических задач. Этот метод основан на сравнении результатов решения трехмерных задач с результатами решения соответствующих задач теории стержней. Далее будем сравнивать кинематические характеристики. В результате решения трехмерной задачи получаем распределение перемещений по сечению стержня. Существуют различные подходы к определению соотношений между перемещениями трехмерного тела и перемещением и поворотом сечения стержня. Далее будет использоваться подход, согласно которому считается, что количество движения и кинетический момент стержня и трехмерного тела (прообраза) совпадают между собой. Проинтегрировав данное соотношение по времени, придем к следующим уравнениям:  
<math>\rho_{0} \mathbf{u} = \int_{S}^{}\rho\mathbf{u}^{(3)}dxdy, \qquad
\rho_{0}  \mathbf{\Theta}_{2}\cdot \boldsymbol{\psi} = \int_{S}^{}\rho \mathbf{a}\times \mathbf{u}^{(3)}dxdy,</math>
где <math>\rho</math> - объемная плотность массы материала стержня, <math>\mathbf{u}^{(3)}</math> - вектор смещений точек трехмерной среды, <math>\mathbf{a}</math> - вектор положения точек поперечного сечения, <math>S</math> - площадь поперечного сечения.

== Постановка задачи для определения модуля жесткости на растяжение (тестовая задача) ==
Рассматривается стержень длиной 𝑙. Один конец стержня жестко закреплен, то есть этот конец не может ни поворачиваться, ни перемещаться. На другой конец действует продольная сила <math>N=N_0 k</math>.

<math>A_{z}=\frac{N_{0}z}{u^{(3)}(z)}</math> - модуль жесткости на растяжение (получившаяся формула, на основании необходимости совпадения количества движения и кинетического момента у модели и у трёхмерного тела.

<math>A_{z0}  = ES</math> - хорошо известная формула для модуля жесткости, где Е - модуль Юнга, S - площадь поперечного сечения.
Сравним результаты вычислений модуля жесткости по известной формуле и по полученной. Для этого введем относительную погрешность измерений 𝛿:

<math>δ=\frac{A_{z} - A_{z_0}}{A_{z_0}}\cdot 100\%</math>

Решение соответствующей задачи строилось в пакете Abaqus. Рассматривался стержень длиной 𝑙 = 1м. Поперечное сечение стержня — П – образный профиль (швеллер) площадью <math>𝑆 = 0,02858м^2</math>. (Характерные размеры стрежня a(толщина) = 0.02м, b = 0.5м, c = 0.429.). Материал стержня — медь (модуль Юнга <math>E=1.14\cdot 10^{11}</math> Па). Приложенная сила 𝑁 = 500кН. Вычисления проводились при количестве элементов 𝑛 = 14300. В результате решения было найдено <math>\mathbf{u}^{(3)}(x,y,z)\approx u^{3}(z)\mathbf{k}</math>. С учетом того, что <math>ρ_0 = ρ𝑆</math>.

Построим график зависимости относительной погрешности величин <math>A_z</math>  и <math>A_{z0}</math> от безразмерной координаты сечения стержня ξ = z/l для рассматриваемого случая:
[[File:OtnositPogr.JPG|thumb|400px|centre|Рис 1. Относительная погрешность величин <math>A_z</math>  и <math>A_{z0}</math>.]]

По этому графику видно, что чем дальше от заделки находится координата сечения, тем меньше погрешность между известной и полученной формулами.
== Постановка задачи для определения коэффициента сдвига ==

Рассматривается задача изгиба стержня длинной <math>l</math> (см. Рис. 1). Один конец жестко закреплен, на втором конце действует поперечная сила <math>\mathbf{N}=N_{0}\mathbf{i}</math>.

Решение будем искать в виде: <math>\mathbf{u} = -u\mathbf{i}, \boldsymbol{\psi} = \psi \mathbf{j}</math>. 

[[File:twotask.jpg|thumb|400px|right|Рис 2. Постановка задачи для изгиба стержня]]

Имеем:<math>\psi_{1}=\frac{N_{0}}{C_{y}}z\left(l-\frac{z}{2}\right), \qquad

u_{1}=\frac{N_{0}}{A_{x}}z+\frac{N_{0}}{2C_{y}}\left(z^2l-\frac{z^3}{3}\right)</math>


Здесь <math>u_{1}</math> - перемещение стержня со свободным концом, <math>\psi_{1}</math> - угол поворота сечения стержня со свободным концом, <math>A_x</math> - модуль жесткости на поперечный сдвиг, <math>C_y</math> - модуль жесткости на изгиб. 

Решение содержит два неизвестных модуля упругости. Поэтому, чтобы получить формулу, где не будет изгибной жесткости, решается две задачи: изгиб стержня со свободным концом и с заделкой, как показано на Рис 2.

Угол поворота сечения и перемещение для стержня с двумя заделками:
<math>\psi_{2}=\frac{N_{0}z}{2C_{y}}(z-l) \qquad u_{2}=\frac{N_{0}}{A_{x}}z+\frac{N_{0}}{2C_{y}}\left(\frac{z^2l}{2}-\frac{z^3}{3}\right)</math>
где <math>u_{2}</math> - перемещение стержня с заделкой с двух сторон, <math>\psi_{2}</math> - угол закручивания стержня с заделкой с двух сторон.

Переходим к относительной координате сечения, делая замену <math>\xi =z/l</math>.  Получаем итоговую формулу для модуля жесткости на поперечный сдвиг:
<math>A_{x}=\frac{3\xi lN_{0}}{2u_{2}(3-\xi)-u_{1}(3-2\xi)}</math>
Перейдем от найденного модуля жесткости на поперечный сдвиг к коэффициенту сдвига:
<math>k= \frac{A_{x}}{GS}</math>

Здесь <math>G</math> - модуль сдвига, <math>S</math> -  площадь поперечного сечения.

== Результаты ==

Несколько результатов экспериментов можно увидеть в таблице(Рис. 3).

[[File:Tablefas.JPG|thumb|400px|centre|Рис 3. Результаты]]

По приведенным значениям в таблице видно, что коэффициент сдвига принимает различные значения. Можно также заметить, что чем меньше с — ширина наших сечений и чем больше длина сторон (b), тем ближе коэффициент сдвига к 1. Также стоит отметить, что коэффициент сдвига не зависит от позиции сечения.

Также не стоит оставлять без внимания результат, полученный при нанесении всех результатов на график.

[[File:Graficresults1.JPG|thumb|400px|centre|Рис 4. График зависимости <math>k\cdot\sqrt{\frac{J_x}{J_y}}</math> от корня отношения моментов ( J_x 〖 и J〗_y)]]

Было построено несколько зависимостей, но наиболее точно все эти точки аппроксимирует полином второй степени, изображенный на Рис. 5. Теперь приведем уравнение этой кривой к виду <math>k =  k(J_x,J_y)</math>. 

[[File:Graficresults2.JPG|thumb|400px|centre|Рис 5. График зависимости <math>k\cdot\sqrt{\frac{J_x}{J_y}}</math> от корня отношения моментов ( <math>J_x</math>  и <math>J_y</math>) с аппроксимирующими кривыми (квадратичная и линейная) и соответствующими коэффициентами достоверности]]

Получилось выражение для коэффициента сдвига, который можно найти, зная только два момента инерции.

<math>k =0.0831\sqrt{\frac{J_y}{J_x}}+0.5556-0.0862\sqrt{\frac{J_x}{J_y}} </math>

== Выводы ==

В работе решен ряд задач численным методом по трехмерной теории. Основываясь на сравнении напряженно-деформированного состояния стержней и трехмерных тел, были найдены корректирующие коэффициенты сдвига. 
К тому же, в случае на растяжение сделан вывод, что чем дальше по сечению от заделки находится координата сечения, тем меньше разница между известной и полученной формулами для модуля жесткости на растяжение.
Также удалось систематизировать данные и сделать вывод о влиянии формы сечения на коэффициент сдвига при поперечном сдвиге. А именно: при увеличении длин сторон сечения и уменьшения его ширины, коэффициент сдвига будет значительно увеличиваться, стремясь к 1, коэффициент сдвига не зависит от положения сечения.
Кроме того, полученные результаты были нанесены на график, после чего стало очевидно, что точки можно довольно точно аппроксимировать кривой. С помощью уравнения этой кривой можно получить коэффициент сдвига, используя 2 момента инерции.

== Список литературы==

*Власов В. 3., Тонкостенные упругие стержни, 2 изд., М., 1959.

*В. И. Водопьянов, А. Н. Савкин, О. В. Кондратьев. Курс сопротивления материалов с примера и задачами. Учебное пособие, 2012.

*Тимошенко С. П, Устойчивость стержней, пластин и оболочек (избранные работы С. П. Тимошенко). — М.: Наука, 1971.

*П. А. Жилин. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней. Издательство Политехнического университета, 2007

*В. К. Манжосов. Сопротивление материалов. Определение внутренних силовых факторов. - Учебное пособие. Ульяновск, УлГТУ.

*Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. — М.: изд-во МГТУ им. Н. Э.
Баумана, 1999

*Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. В 10-ти т. Т. VII. Теория
упругости: Учеб. пособие. — 4-е изд., испр. и доп. — М.; Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. — 248 с.

*Erasmo Carrera, Gaetano Giunta, Marco Petrolo. Beam Structures: Classical and Advanced Theories.

*O. A. Bauchau, J. I. Craig. Euler-Bernoulli beam theory. Springer Netherlands, 2009.