Редактирование: Изгиб балки с V-model взаимодействием

[[ Курсовые_работы_по_ВМДС:_2018-2019 | Курсовые работы 2018-2019 учебного года]] > '''Изгиб балки c V-model взаимодействием''' <HR>

'''''Курсовой проект по [[Механика дискретных сред|Механике дискретных сред]]'''''

'''Исполнитель:''' [[Абрамов Игорь]]

'''Группа:''' 43604/1

'''Семестр:''' осень 2018

===Постановка задачи===

Создание модели и визуализация изгиба балки с V-model взаимодействием.

===Решение===

Балка моделируется как система частиц, каждая из которых взаимодействует с двумя ближайшими соседями. 
Для ориентация каждой <math>i-</math>ой частицы в пространстве используется жёстко связанный с ней в центре частицы базис <math>\mathbf{n}_{i1}, \mathbf{n}_{i2}, \mathbf{n}_{i3}</math>.
Также введём два вектора

 <math>
\mathbf{r}_{ij}=\mathbf{r}_i - \mathbf{r}_j, 
\mathbf{e}_{ij} = \mathbf{r}_{ij} / r_{ij}
</math>

Вектор <math>\mathbf{D}_{ij}</math> - соединяет базисы, связанные с соответствующими частицами, поэтому в данной постановке 
он равен <math>\mathbf{r}_{ij}</math>. Вектор <math>\mathbf{e}_{ij} = \mathbf{r}_{ij} / r_{ij}</math> - единичный, сонаправленный <math>\mathbf{r}_{ij}</math>.

Потенциальная энергия связи:
<math>
    U = \frac{B_1}{2}(D_{ij}-a)^2 + \frac{B_2}{2}(\mathbf{n}_{j1}-\mathbf{n}_{i1})\cdot\mathbf{d}_{ij}
		+ B_3 \mathbf{n}_{i1}\cdot\mathbf{n}_{j1} - \frac{B_4}{2}(\mathbf{n}_{i2}\cdot\mathbf{n}_{j2} + \mathbf{n}_{i3}\cdot\mathbf{n}_{j3})
</math><br />

Таким образом, уравнения для сил и моментов принимают следующий вид:
<math>
		\mathbf{M}^{TB} = B_3 \mathbf{n}_{j1} \times \mathbf{n}_{i1} - \frac{B_4}{2}(\mathbf{n}_{j2}\times\mathbf{n}_{i2} + \mathbf{n}_{j3}\times\mathbf{n}_{i3})
</math><br />
<math>		
		\mathbf{F}_{ij} = B_1(r_{ij}-a)\mathbf{r}_{ij} + \frac{B_2}{2r_{ij}}(\mathbf{n}_{j1} - \mathbf{n}_{i1}
		-\mathbf{e}_{ij}\cdot(\mathbf{n}_{j1} - \mathbf{n}_{i1})\mathbf{e}_{ij})
</math><br />		
<math>
		\mathbf{M}_{ij} = -\frac{B_2}{2}\mathbf{e}_{ij}\times\mathbf{n}_{i1} + \mathbf{M}^{TB}
</math><br />
<math>		
		\mathbf{M}_{ji} = \frac{B_2}{2}\mathbf{e}_{ij}\times\mathbf{n}_{j1} - \mathbf{M}^{TB}
</math><br />

Для балки с короткими связями между частицами параметры модели принимают следующие знаячения:
<math>
		B_1 = \frac{ES}{a}
</math><br />
<math>
		B_2 = -\frac{2EJ[kAa^2-12J(1+\nu)]}{a[kSa^2+24J(1+\nu)]}
</math><br />
<math>
		B_3 = \frac{6kSEJa}{kSa^2+24J(1+\nu)}
</math><br />

<math>
		B_4 = \frac{GJ_p}{a}
</math><br />

===Алгоритм===

На каждом временном шагу для каждой из частиц суммируются силы и моменты её взаимодействия с соседними частицами. Далее по второму закону Ньютона вычисляются ускорение и угловое ускорение. Координаты частицы и угловая скорость интегрируются методом Leapfrog. Далее по известному значению угловой скорости интегрируется кватернион вращения частицы и осуществляется поворот её базиса(n). 

<math> L(t + \Delta t) = L(t) + \frac{1}{2}\omega(t + \Delta t) \circ L(t)		
</math><br />

<math> n(t + \Delta t) = L(t + \Delta t) \circ n(0) \circ L'(t + \Delta t)
</math><br />


По вышеизложенным формулам была написана программа на языке Python 3.6.0. Программа генерирует цепочку частиц, задаёт соседей для каждой из частиц, 
проводит вычисления положений частиц и их базисов по описанному алгоритму. Далее все перечисленный данные на каждом временном шаге записываются в файл 
формата .xyz и их визуализация происходит в программе Open Visualisation Tool путём последовательного отображения частиц на каждом временном шаге.

===Результаты===

Расчёты производились при использовании физических параметров стали:

* плотность ρ ≈ 7,86 г/см<sup>3</sup>;
* модуль Юнга ''E'' = 210 ГПа;
* модуль сдвига ''G'' = 80 ГПа;
* коэффициент Пуассона ν = 0,28;

Рассматривалась балка круглого сечения радиусом r = 5 см, длиной l = 5 м, прикладываемая сила F = 10000 Н, количество частиц - 21.

* Закреплённый правый край балки, сила приложена к левому краю
[[Файл:beam1.gif]]  
* Закреплены оба края, сила приложена к середине балки
[[Файл:beam2.gif]]  

== Ссылки ==

*[[Курсовые работы по ВМДС: 2018-2019]]
*[[Введение в механику дискретных сред]]