Редактирование: Диффузия под напряжением в задачах механохимии
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия | Ваш текст | ||
Строка 104: | Строка 104: | ||
\end{array} \right.} \right) = u_2^0 | \end{array} \right.} \right) = u_2^0 | ||
</math> | </math> | ||
− | Тогда деформации равномерно распределены по всему телу: | + | |
+ | Тогда деформации равномерно распределены по всему телу: | ||
<math> | <math> | ||
Строка 118: | Строка 119: | ||
\varepsilon _{33}^ - = - \frac{{{\lambda ^ - }}}{{{\lambda ^ - } + 2{\mu ^ - }}}(\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0) | \varepsilon _{33}^ - = - \frac{{{\lambda ^ - }}}{{{\lambda ^ - } + 2{\mu ^ - }}}(\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0) | ||
</math> | </math> | ||
− | |||
<math> | <math> | ||
\sigma _{11}^ - = {\lambda ^ - }\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0 - \frac{{{\lambda ^ - }}}{{{\lambda ^ - } + 2{\mu ^ - }}}(\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0)} \right) + 2{\mu ^ - }\varepsilon _{11}^0\nonumber\\ | \sigma _{11}^ - = {\lambda ^ - }\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0 - \frac{{{\lambda ^ - }}}{{{\lambda ^ - } + 2{\mu ^ - }}}(\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0)} \right) + 2{\mu ^ - }\varepsilon _{11}^0\nonumber\\ | ||
Строка 130: | Строка 130: | ||
{\varepsilon _{33}}^ + = \frac{{{\textstyle{2 \over 3}}{\mu ^ + } - {k^ + }}}{{{k^ + } + {\textstyle{4 \over 3}}{\mu ^ + }}}\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0} \right) + \frac{{3{k^ + }}}{{{k^ + } + {\textstyle{4 \over 3}}{\mu ^ + }}}{\varepsilon _{{\rm{ch}}}} | {\varepsilon _{33}}^ + = \frac{{{\textstyle{2 \over 3}}{\mu ^ + } - {k^ + }}}{{{k^ + } + {\textstyle{4 \over 3}}{\mu ^ + }}}\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0} \right) + \frac{{3{k^ + }}}{{{k^ + } + {\textstyle{4 \over 3}}{\mu ^ + }}}{\varepsilon _{{\rm{ch}}}} | ||
</math> | </math> | ||
− | |||
<math> | <math> | ||
\sigma _{11}^ + = {\lambda ^ + }\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0 - \frac{{{\lambda ^ + }}}{{{\lambda ^ + } + 2{\mu ^ + }}}\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0} \right) + \frac{{3{k^ + }}}{{{\lambda ^ + } + 2{\mu ^ + }}}{\varepsilon _{{\rm{ch}}}}} \right) + 2{\mu ^ + }\varepsilon _{11}^0 - 3{k^ + }{\varepsilon _{{\rm{ch}}}}\nonumber\\ | \sigma _{11}^ + = {\lambda ^ + }\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0 - \frac{{{\lambda ^ + }}}{{{\lambda ^ + } + 2{\mu ^ + }}}\left( {\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0} \right) + \frac{{3{k^ + }}}{{{\lambda ^ + } + 2{\mu ^ + }}}{\varepsilon _{{\rm{ch}}}}} \right) + 2{\mu ^ + }\varepsilon _{11}^0 - 3{k^ + }{\varepsilon _{{\rm{ch}}}}\nonumber\\ | ||
Строка 138: | Строка 137: | ||
Для удобства расчетов с значениями параметров конкретного материала перейдем к модулю Юнга, <math>E</math>, и коэффициенту Пуассона, <math>\nu</math>, и запишем выражение для функции напряжений, входящей в состав выражения для вычисления <math>c_{eq}</math>: | Для удобства расчетов с значениями параметров конкретного материала перейдем к модулю Юнга, <math>E</math>, и коэффициенту Пуассона, <math>\nu</math>, и запишем выражение для функции напряжений, входящей в состав выражения для вычисления <math>c_{eq}</math>: | ||
− | |||
<math> | <math> | ||
\left( {{\boldsymbol\sigma _ - }:{\boldsymbol\varepsilon _ - } - {\boldsymbol\sigma _ + }:{\boldsymbol\varepsilon _ + } + {\boldsymbol\sigma _ + }:{\boldsymbol\varepsilon _{{\rm{ch}}}}} \right) =\nonumber\\ | \left( {{\boldsymbol\sigma _ - }:{\boldsymbol\varepsilon _ - } - {\boldsymbol\sigma _ + }:{\boldsymbol\varepsilon _ + } + {\boldsymbol\sigma _ + }:{\boldsymbol\varepsilon _{{\rm{ch}}}}} \right) =\nonumber\\ | ||
− | \left( {\frac{{{E_ - }}}{{1 - \nu _ - ^2}} - \frac{{{E_ + }}}{{1 - \nu _ + ^2}}} \right)\mathop {\varepsilon _{11}^0}\nolimits^2 + \left( {\frac{{{E_ - }}}{{1 - \nu _ - ^2}} - \frac{{{E_ + }}}{{1 - \nu _ + ^2}}} \right)\mathop {\varepsilon _{22}^0}\nolimits^2 + | + | \left( {\frac{{{E_ - }}}{{1 - \nu _ - ^2}} - \frac{{{E_ + }}}{{1 - \nu _ + ^2}}} \right)\mathop {\varepsilon _{11}^0}\nolimits^2 + \left( {\frac{{{E_ - }}}{{1 - \nu _ - ^2}} - \frac{{{E_ + }}}{{1 - \nu _ + ^2}}} \right)\mathop {\varepsilon _{22}^0}\nolimits^2 + \nonumber\\ |
{2\left( {\frac{{{\nu _ - }{E_ - }}}{{1 - \nu _ - ^2}} - \frac{{{\nu _ + }{E_ + }}}{{1 - \nu _ + ^2}}} \right)\varepsilon _{11}^0\varepsilon _{22}^0 + \frac{{2{E_ + }}}{{\left( {1 - \nu _ + ^{}} \right)}}\varepsilon _{{\rm{ch}}}^{}(\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0) - \frac{{2{E_ + }}}{{\left( {1 - \nu _ + ^{}} \right)}}\varepsilon _{{\rm{ch}}}^2} | {2\left( {\frac{{{\nu _ - }{E_ - }}}{{1 - \nu _ - ^2}} - \frac{{{\nu _ + }{E_ + }}}{{1 - \nu _ + ^2}}} \right)\varepsilon _{11}^0\varepsilon _{22}^0 + \frac{{2{E_ + }}}{{\left( {1 - \nu _ + ^{}} \right)}}\varepsilon _{{\rm{ch}}}^{}(\varepsilon _{11}^0 + \varepsilon _{22}^0) - \frac{{2{E_ + }}}{{\left( {1 - \nu _ + ^{}} \right)}}\varepsilon _{{\rm{ch}}}^2} | ||
</math> | </math> | ||
Строка 174: | Строка 172: | ||
В случае заданных усилий на поверхности можно найти напряжения <math>\sigma _{11}^0,\sigma _{22}^0</math>, отвечающие условиям баланса сил и моментов: | В случае заданных усилий на поверхности можно найти напряжения <math>\sigma _{11}^0,\sigma _{22}^0</math>, отвечающие условиям баланса сил и моментов: | ||
<math> | <math> | ||
− | \int\limits_0^H {\sigma _{11}^0} d{x_3} = \int\limits_0^h {{{\left. {\sigma _{11}^ + } \right|}_{{x_1} = {l_1}}}} d{x_3} + \int\limits_h^H {{{\left. {\sigma _{11}^ - } \right|}_{{x_1} = {l_1}}}} d{x_3}, \nonumber\\\int\limits_0^H {\sigma _{22}^0} d{x_3} = \int\limits_0^h {{{\left. {\sigma _{22}^ + } \right|}_{{x_2} = {l_2}}}} d{x_3} + \int\limits_h^H {{{\left. {\sigma _{22}^ - } \right|}_{{x_2} = {l_2}}}} d{x_3}\nonumber\\ | + | &\int\limits_0^H {\sigma _{11}^0} d{x_3} = \int\limits_0^h {{{\left. {\sigma _{11}^ + } \right|}_{{x_1} = {l_1}}}} d{x_3} + \int\limits_h^H {{{\left. {\sigma _{11}^ - } \right|}_{{x_1} = {l_1}}}} d{x_3}, \nonumber\\&\int\limits_0^H {\sigma _{22}^0} d{x_3} = \int\limits_0^h {{{\left. {\sigma _{22}^ + } \right|}_{{x_2} = {l_2}}}} d{x_3} + \int\limits_h^H {{{\left. {\sigma _{22}^ - } \right|}_{{x_2} = {l_2}}}} d{x_3}\nonumber\\ |
− | \int\limits_0^H {{x_3}\sigma _{11}^0} d{x_3} = \int\limits_0^h {{{\left. {{x_3}\sigma _{11}^ + } \right|}_{{x_1} = {l_1}}}} d{x_3} + \int\limits_h^H {{{\left. {{x_3}\sigma _{11}^ - } \right|}_{{x_1} = {l_1}}}} d{x_3}, \nonumber\\\int\limits_0^H {{x_3}\sigma _{22}^0} d{x_3} = \int\limits_0^h {{{\left. {{x_3}\sigma _{22}^ + } \right|}_{{x_2} = {l_2}}}} d{x_3} + \int\limits_h^H {{{\left. {{x_3}\sigma _{22}^ - } \right|}_{{x_2} = {l_2}}}} d{x_3} | + | &\int\limits_0^H {{x_3}\sigma _{11}^0} d{x_3} = \int\limits_0^h {{{\left. {{x_3}\sigma _{11}^ + } \right|}_{{x_1} = {l_1}}}} d{x_3} + \int\limits_h^H {{{\left. {{x_3}\sigma _{11}^ - } \right|}_{{x_1} = {l_1}}}} d{x_3}, \nonumber\\&\int\limits_0^H {{x_3}\sigma _{22}^0} d{x_3} = \int\limits_0^h {{{\left. {{x_3}\sigma _{22}^ + } \right|}_{{x_2} = {l_2}}}} d{x_3} + \int\limits_h^H {{{\left. {{x_3}\sigma _{22}^ - } \right|}_{{x_2} = {l_2}}}} d{x_3} |
</math> | </math> | ||
Строка 190: | Строка 188: | ||
\lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle - $}}}{x_3} + B_2^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle + $} | \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle - $}}}{x_3} + B_2^{{\raise0.5ex\hbox{$\scriptstyle + $} | ||
\kern-0.1em/\kern-0.15em | \kern-0.1em/\kern-0.15em | ||
− | \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle - $}}} | + | \lower0.25ex\hbox{$\scriptstyle - $}}}$, и что $\sigma_{33}=0</math>. |
− | \sigma_{33}=0</math>. | ||
− | Из-за условий неразрывности мы получим, что <math>A_{1,2}^ + = A_{1,2}^ - = {A_{1,2}},{\rm{ }}B_{1,2}^ + = B_{1,2}^ - = {B_{1,2}}</math>. В этом случае напряжения будут выглядеть следующим образом: | + | Из-за условий неразрывности мы получим, что <math>A_{1,2}^ + = A_{1,2}^ - = {A_{1,2}},{\rm{ }}B_{1,2}^ + = B_{1,2}^ - = {B_{1,2}}</math>. В этом случае напряжения будут выглядеть следующим образом: |
<math> | <math> | ||
− | \sigma _{11}^ - = \frac{{{E_ - }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ - ^2}}\left( {\left( {{A_1} + {\rm{\nu }}_ - {A_2}} \right){x_3} + {B_1} + {\rm{\nu }}_ - {B_2}} \right)\nonumber\\ | + | &\sigma _{11}^ - = \frac{{{E_ - }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ - ^2}}\left( {\left( {{A_1} + {\rm{\nu }}_ - {A_2}} \right){x_3} + {B_1} + {\rm{\nu }}_ - {B_2}} \right)\nonumber\\ |
− | \sigma _{22}^ - = \frac{{{E_ - }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ - ^2}}\left( {\left( {{\rm{\nu }}_ - {A_1} + {A_2}} \right){x_3} + {\rm{\nu }}_ - {B_1} + {B_2}} \right)\nonumber\\ | + | &\sigma _{22}^ - = \frac{{{E_ - }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ - ^2}}\left( {\left( {{\rm{\nu }}_ - {A_1} + {A_2}} \right){x_3} + {\rm{\nu }}_ - {B_1} + {B_2}} \right)\nonumber\\ |
− | \sigma _{11}^ + = \frac{{{E_ + }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ + ^2}}\left( {\left( {{A_1} + {\rm{\nu }}_ + {A_2}} \right){x_3} + {B_1} + {\rm{\nu }}_ + {B_2}} \right) - \frac{{{E_ + }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ + ^{}}}{\varepsilon _{{\rm{ch}}}}\nonumber\\ | + | &\sigma _{11}^ + = \frac{{{E_ + }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ + ^2}}\left( {\left( {{A_1} + {\rm{\nu }}_ + {A_2}} \right){x_3} + {B_1} + {\rm{\nu }}_ + {B_2}} \right) - \frac{{{E_ + }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ + ^{}}}{\varepsilon _{{\rm{ch}}}}\nonumber\\ |
− | \sigma _{11}^ + = \frac{{{E_ + }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ + ^2}}\left( {\left( {{\rm{\nu }}_ + {A_1} + {A_2}} \right){x_3} + {\rm{\nu }}_ + {B_1} + {B_2}} \right) - \frac{{{E_ + }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ + }}{\varepsilon _{{\rm{ch}}}} | + | &\sigma _{11}^ + = \frac{{{E_ + }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ + ^2}}\left( {\left( {{\rm{\nu }}_ + {A_1} + {A_2}} \right){x_3} + {\rm{\nu }}_ + {B_1} + {B_2}} \right) - \frac{{{E_ + }}}{{1 - {\rm{\nu }}_ + }}{\varepsilon _{{\rm{ch}}}} |
</math> | </math> | ||
Константы <math>A_1, A_2, B_1, B_2</math> можно найти из уравнений баланса. Функцию напряжений можно найти, заменив <math>\varepsilon_{11}</math> и <math>\varepsilon_{22}</math> на <math>\varepsilon _{11} = A_1{x_3} + B_1,{\rm{ }}\varepsilon _{22} = A_2{x_3} + B_2</math> соответственно. | Константы <math>A_1, A_2, B_1, B_2</math> можно найти из уравнений баланса. Функцию напряжений можно найти, заменив <math>\varepsilon_{11}</math> и <math>\varepsilon_{22}</math> на <math>\varepsilon _{11} = A_1{x_3} + B_1,{\rm{ }}\varepsilon _{22} = A_2{x_3} + B_2</math> соответственно. | ||
− | При постоянном коэффициенте диффузии, проводя вычисления, аналогичные предыдущему пункту, получим, что <math>V\sim(1-\frac{c_{\rm{eq}}}{c_*})</math>. | + | При постоянном коэффициенте диффузии, проводя вычисления, аналогичные предыдущему пункту, получим, что <math>V\sim(1-\frac{c_{\rm{eq}}}{c_*})</math>. Если коэффициент диффузии зависит от напряжений, то в данном случае он принимает следующий вид: |
− | Если коэффициент диффузии зависит от напряжений, то в данном случае он принимает следующий вид: | ||
− | |||
D = {D_0}{{\rm{e}}^{\left( {\frac{{{E_ + }}}{{3(1 - {{\rm{\nu }}_ + })}}\left( {\left( {{A_1} + {A_2}} \right){x_3} + \left( {{B_1} + {B_2} - 2{\varepsilon _{{\rm{ch}}}}} \right)} \right)} \right){V_d}/kT}} \Rightarrow D = {D_0}{{\rm{e}}^{\widetilde A{x_3} + \widetilde B}} | D = {D_0}{{\rm{e}}^{\left( {\frac{{{E_ + }}}{{3(1 - {{\rm{\nu }}_ + })}}\left( {\left( {{A_1} + {A_2}} \right){x_3} + \left( {{B_1} + {B_2} - 2{\varepsilon _{{\rm{ch}}}}} \right)} \right)} \right){V_d}/kT}} \Rightarrow D = {D_0}{{\rm{e}}^{\widetilde A{x_3} + \widetilde B}} | ||
</math> | </math> | ||
− | |||
Тогда задача диффузии запишется следующим образом: | Тогда задача диффузии запишется следующим образом: | ||
− | |||
<math> | <math> | ||
\frac{\partial }{{\partial {x_3}}}\left( {{D_0}{e^{\widetilde A{x_3} + \widetilde B}}\frac{{\partial c}}{{\partial {x_3}}}} \right) = 0\;\quad \Rightarrow \quad \frac{{{{\rm{d}}^2}c}}{{{\rm{d}}{x_3}^2}} + \widetilde A\frac{{{\rm{d}}c}}{{{\rm{d}}{x_3}}} = 0 | \frac{\partial }{{\partial {x_3}}}\left( {{D_0}{e^{\widetilde A{x_3} + \widetilde B}}\frac{{\partial c}}{{\partial {x_3}}}} \right) = 0\;\quad \Rightarrow \quad \frac{{{{\rm{d}}^2}c}}{{{\rm{d}}{x_3}^2}} + \widetilde A\frac{{{\rm{d}}c}}{{{\rm{d}}{x_3}}} = 0 | ||
</math> | </math> | ||
− | |||
Решением этого уравнения будет функция <math>c = {c_1}{e^{ - \widetilde A{x_3}}} + {c_2}</math>, с граничными условиями, которые будут выглядеть как: | Решением этого уравнения будет функция <math>c = {c_1}{e^{ - \widetilde A{x_3}}} + {c_2}</math>, с граничными условиями, которые будут выглядеть как: | ||
<math> | <math> | ||
− | - {D_0}{e^{\widetilde B}}\widetilde A{c_1} + \alpha ({c_*} - {c_1} - {c_2}) = 0,\qquad - {D_0}{e^{\widetilde B}}\widetilde A{c_1} + {n_*}^2{k_*}({c_1}{e^{ - \widetilde Ah}} + {c_2} - {c_{{\rm{eq}}}}) = 0 | + | - {D_0}{e^{\widetilde B}}\widetilde A{c_1} + \alpha ({c_*} - {c_1} - {c_2}) = 0, \qquad - {D_0}{e^{\widetilde B}}\widetilde A{c_1} + {n_*}^2{k_*}({c_1}{e^{ - \widetilde Ah}} + {c_2} - {c_{{\rm{eq}}}}) = 0 |
</math> | </math> | ||
Окончательно, концентрация будет выглядеть следующим образом: | Окончательно, концентрация будет выглядеть следующим образом: | ||
− | |||
<math> | <math> | ||
c = \frac{{\alpha {c_*}{n_*}^2{k_*}(1 - \frac{{{c_{{\rm{eq}}}}}}{{{c_*}}}){e^{ - \widetilde A{x_3}}} + {D_0}{e^{\widetilde B}}\widetilde A{c_*}\left( {\alpha + {n_*}^2{k_*}\frac{{{c_{{\rm{eq}}}}}}{{{c_*}}}} \right) + \alpha {n_*}^2{k_*}{c_*}(\frac{{{c_{{\rm{eq}}}}}}{{{c_*}}} - {e^{ - \widetilde Ah}})}}{{{D_0}{e^{\widetilde B}}\widetilde A\left( {\alpha + {n_*}^2{k_*}} \right) + \alpha {n_*}^2{k_*}(1 - {e^{ - \widetilde Ah}})}} | c = \frac{{\alpha {c_*}{n_*}^2{k_*}(1 - \frac{{{c_{{\rm{eq}}}}}}{{{c_*}}}){e^{ - \widetilde A{x_3}}} + {D_0}{e^{\widetilde B}}\widetilde A{c_*}\left( {\alpha + {n_*}^2{k_*}\frac{{{c_{{\rm{eq}}}}}}{{{c_*}}}} \right) + \alpha {n_*}^2{k_*}{c_*}(\frac{{{c_{{\rm{eq}}}}}}{{{c_*}}} - {e^{ - \widetilde Ah}})}}{{{D_0}{e^{\widetilde B}}\widetilde A\left( {\alpha + {n_*}^2{k_*}} \right) + \alpha {n_*}^2{k_*}(1 - {e^{ - \widetilde Ah}})}} | ||
Строка 237: | Строка 228: | ||
== Список литературы == | == Список литературы == | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− |