| Текущая версия |
Ваш текст |
| Строка 12: |
Строка 12: |
| | == Формулировка задачи == | | == Формулировка задачи == |
| | [[Файл:File1.JPG|thumb|Рис.1 Структурная модель для динамического прогиба стержня при постоянной скорости сжатия.|300px]] | | [[Файл:File1.JPG|thumb|Рис.1 Структурная модель для динамического прогиба стержня при постоянной скорости сжатия.|300px]] |
| | + | 1) Смоделировать стержень как показано на Рисунке 1. |
| | | | |
| − | Для моделирования динамической потери устойчивости стержня при сжатии с постоянной скоростью рассмотрим простую одномерную модель Рис.1, которая отражает основные физические характеристики стержня подвергающегося сжатию с постоянной скоростью. Стержень моделируется с помощью грузика, двух пружин и двух опор("стен"). Грузик связан с двумя стенками линейными пружинами с жесткостью <math>{\pmb с_{L}}</math>. Поперечная жесткость стержня моделируется пружиной с жесткостью <math>{\pmb с_{T}}</math>. "Стены" движутся навстречу друг другу с постоянной скоростью <math>{\pmb v}</math>. | + | 2) Построить график <math>{\pmb F_{y}}(t)</math>, где <math>{\pmb F_{y}}</math> - проекция результирующей на ось <math>{Y}</math>, <math>{t}</math> - время. |
| | + | |
| | + | 3) Построить график <math>{\pmb Y}(t)</math>, где <math>{Y}</math> - координата "грузика", <math>{t}</math> - время. |
| | + | |
| | + | 3) Иметь возможность менять исходные параметры. |
| | + | |
| | + | == Общие сведения == |
| | + | |
| | + | Для моделирования рассмотрим простую одномерную модель, которая отражает основные физические характеристики стержня |
| | + | подвергающегося сжатию с постоянной скоростью. Стержень моделируется с помощью грузика, двух пружин и двух опор("стен"). |
| | + | Грузик связан с двумя стенками линейными пружинами с жесткостью <math>{\pmb с_{L}}</math>. Поперечная жесткость стержня |
| | + | моделируется пружиной с жесткостью <math>{\pmb с_{T}}</math>. "Стены" движутся навстречу друг другу с постоянной |
| | + | скоростью <math>{\pmb v}</math>. |
| | | | |
| | ==Программа== | | ==Программа== |
| | В данной программе в начальный момент времени задаются: | | В данной программе в начальный момент времени задаются: |
| | | | |
| − | Скорость движения опор через отношение(в процентах) - <big><math>{\frac{\pmb v}{\pmb v_{s}}}*{100%}</math></big>, где <math>{\pmb v}</math> - скорость опоры,
| + | Жесткости пружин <math>{\pmb k_{1}}</math> = <math>{\pmb с_{L}}</math> и <math>{\pmb k_{2}}</math> = <math>{\pmb с_{T}}</math>. |
| | | | |
| − | <big><math>{\pmb v_{s}}={\pmb a_{0}}*\sqrt{\frac{\pmb с_{L}}{\pmb m}}</math></big>,
| + | Начальное отклонение грузика от положения равновесия(<math>{\pmb y}</math>). |
| − | где <math>{\pmb a_{0}}</math> - равновесная длина пружины с жесткостью <math>{\pmb k_{1}}</math> = <math>{\pmb с_{L}}</math>,
| |
| − | <math>{\pmb m}</math> - масса грузика.
| |
| | | | |
| − | Жесткости пружин <math>{\pmb k_{1}}</math> = <math>{\pmb с_{L}}</math> и <math>{\pmb k_{2}}</math> = <math>{\pmb с_{T}}</math> задаются через отношение <math>{\frac{\pmb k_{1}}{\pmb k_{2}}}</math>.
| + | Масса грузика (<math>{\pmb m}</math>) |
| − | | |
| − | Начальное отклонение грузика от положения равновесия задается также через отношение(в процентах) - <big><math>{\frac{\pmb y}{\pmb a_{0}}}*{100%}</math></big>.
| |
| | | | |
| | <center> | | <center> |
| − | {{#widget:Iframe|url=http://tm.spbstu.ru/htmlets/filimonovas/buckling%20failure|width=680|height=1450|border=0}} | + | {{#widget:Iframe|url=https://ailurus.ru/stands/buckling/?iframe|width=680|height=550|border=0}} |
| | </center> | | </center> |
| − | <div class="mw-collapsible mw-collapsed" style="width:100%" >
| |
| − | '''Текст программы на языке JavaScript:'''
| |
| − | <div class="mw-collapsible-content">
| |
| − | <syntaxhighlight lang="javascript" line start="1" enclose="div">
| |
| − | var integrator = VerletIntegrator;
| |
| − | var t = 0;
| |
| − | var dt = 0.002;
| |
| − | var step = 0;
| |
| − | var timeValue = document.getElementById('timeValue');
| |
| − | var stepFromBoard = 7;
| |
| − | var displacementData = {'x': [], 'y': []};
| |
| − | var forceData = {'x': [], 'y': []};
| |
| − | var displacementPlotCanvas = document.getElementById('displacementPlot');
| |
| − | var forcePlotCanvas = document.getElementById('forcePlot');
| |
| − | var textColor = 'rgb(51, 51, 51)';
| |
| − | var weight = undefined;
| |
| − | var springs = new Array();
| |
| − | var leftAttachment = undefined;
| |
| − | var rightAttachment = undefined;
| |
| − | var middleAttachment = createVerletElement([300, 200],null,Infinity,'isoscales triangle',[16, 10, '-y'],'Turquoise');
| |
| − | applyInitionalConditions();
| |
| − | draw();
| |
| − | function applyInitionalConditions(){
| |
| − | var displacement = +document.getElementById('displacement').value;
| |
| − | var velocity = +document.getElementById('velocity').value;
| |
| − | var stiffness1 = +document.getElementById('stiffness1').value;
| |
| − | var stiffness2 = +document.getElementById('stiffness2').value;
| |
| − | var mass = +document.getElementById('mass').value;
| |
| − | weight = createVerletElement([300, 200 - displacement],null,mass,'square',[20],'BlueViolet');
| |
| − | leftAttachment = createVerletElement([14, 200],[14 - velocity * dt, 200],Infinity,'isoscales triangle',[16, 10, '-y'],'Turquoise');
| |
| − | rightAttachment = createVerletElement([586, 200],[586 + velocity * dt, 200],Infinity,'isoscales triangle',[16, 10, '-y'],'Turquoise');
| |
| − | springs = new Array();
| |
| − | springs.push(createSpringElement(leftAttachment, weight, null, stiffness1, [12, 12], 'Tomato'));
| |
| − | springs.push(createSpringElement(rightAttachment, weight, null, stiffness1, [12, 12], 'Tomato'));
| |
| − | springs.push(createSpringElement(middleAttachment, weight, 0, stiffness2, [3, 8], 'Silver'));
| |
| − | }
| |
| − | function applyPhysics(){
| |
| − | if(t > 5.12 && keepPlaying){
| |
| − | keepPlaying = false;
| |
| − | document.getElementById('play').className = 'inactive';
| |
| − | return;
| |
| − | }
| |
| − | var deltaX, deltaY, deltalength, diff;
| |
| − | var force = {'x': 0, 'y': 0};
| |
| − | var springForceX = 0;
| |
| − | for(var i = 0; i < springs.length; ++i){
| |
| − | deltaX = springs[i].end.position.x - springs[i].start.position.x;
| |
| − | deltaY = springs[i].end.position.y - springs[i].start.position.y;
| |
| − | deltalength = Math.sqrt(Math.pow(deltaX, 2) + Math.pow(deltaY, 2));
| |
| − | if(deltalength){
| |
| − | diff = 1 - springs[i].freeLength / deltalength;
| |
| − | }else{diff = 0;}
| |
| − | force.y -= springs[i].stiffness * deltaY * diff;
| |
| − | if(0 == i){
| |
| − | springForceX = -springs[i].stiffness * deltaX * diff;
| |
| − | }
| |
| − | }
| |
| − | integrator(weight, force, dt);
| |
| − | integrator(leftAttachment, null, dt);
| |
| − | integrator(rightAttachment, null, dt);
| |
| − |
| |
| − | if(!(step % 5)){
| |
| − | displacementData.x.push(t);
| |
| − | displacementData.y.push(200 - weight.position.y);
| |
| − | forceData.x.push(t);
| |
| − | forceData.y.push(springForceX);
| |
| − | plotFromData(displacementPlotCanvas, displacementData, 'y(t)', 'rgb(56, 195, 237)', undefined, textColor);
| |
| − | plotFromData(forcePlotCanvas, forceData, 'Fx(t)', 'rgb(195, 237, 56)', undefined, textColor);
| |
| − | }
| |
| − | timeValue.textContent = t.toFixed(2);
| |
| − | ++step;
| |
| − | }
| |
| − | function draw(){
| |
| − | ctx.clearRect(0, 0, canvas.width, canvas.height);
| |
| − | for(var i = 0; i < springs.length; ++i){
| |
| − | springs[i].draw();
| |
| − | }
| |
| − | leftAttachment.draw();
| |
| − | rightAttachment.draw();
| |
| − | middleAttachment.draw();
| |
| − | weight.draw();
| |
| − | }
| |
| − |
| |
| − | /* Events */
| |
| − | document.getElementById('play').onclick = function(){
| |
| − | document.getElementById('conditions').className = 'hide';
| |
| − | document.getElementById('stand').className = '';
| |
| − | animate(5);
| |
| − | }
| |
| − | document.getElementById('displacement').onchange = function(){
| |
| − | document.getElementById('displacementValue').textContent = (+this.value).toFixed(1);
| |
| − | applyInitionalConditions();
| |
| − | draw();
| |
| − | }
| |
| − | document.getElementById('velocity').onchange = function(){
| |
| − | document.getElementById('velocityValue').textContent = (+this.value).toFixed(1);
| |
| − | applyInitionalConditions();
| |
| − | draw();
| |
| − | }
| |
| − | document.getElementById('stiffness1').onchange = function(){
| |
| − | document.getElementById('stiffness1Value').textContent = (+this.value).toFixed(1);
| |
| − | applyInitionalConditions();
| |
| − | draw();
| |
| − | }
| |
| − | document.getElementById('stiffness2').onchange = function(){
| |
| − | document.getElementById('stiffness2Value').textContent = (+this.value).toFixed(1);
| |
| − | applyInitionalConditions();
| |
| − | draw();
| |
| − | }
| |
| − | document.getElementById('mass').onchange = function(){
| |
| − | document.getElementById('massValue').textContent = (+this.value).toFixed(1);
| |
| − | applyInitionalConditions();
| |
| − | draw();
| |
| − | }
| |
| − | function drawSpringElement(){
| |
| − | drawSpring(
| |
| − | this.start.position.x,
| |
| − | this.end.position.x,
| |
| − | this.start.position.y,
| |
| − | this.end.position.y,
| |
| − | this.sizes[0],
| |
| − | this.sizes[1],
| |
| − | this.color
| |
| − | );
| |
| − | }
| |
| − | function drawSpring(xStart, xEnd, yStart, yEnd, n, h, color){
| |
| − | ctx.beginPath();
| |
| − | ctx.lineWidth = 2;
| |
| − | ctx.strokeStyle = color;
| |
| − | var L = xEnd - xStart;
| |
| − | var Ly = yEnd - yStart;
| |
| − | for (var i = 0; i < n; ++i){
| |
| − | var x_st = xStart + L / n * i;
| |
| − | var y_st = yStart + Ly / n * i;
| |
| − | var x_end = xStart + L / n * (i + 1);
| |
| − | var y_end = yStart + Ly / n * (i + 1);
| |
| − | var l = x_end - x_st;
| |
| − | var ly = y_end - y_st;
| |
| − | ctx.beginPath();
| |
| − | ctx.bezierCurveTo(x_st, y_st, x_st + l / 4, y_st + ly / 4 + h, x_st + l / 2, y_st + ly / 2);
| |
| − | ctx.bezierCurveTo(x_st + l / 2, y_st + ly / 2, x_st + 3 * l / 4, y_st + 3 * ly / 4 - h, x_st + l, y_st + ly);
| |
| − | ctx.stroke();
| |
| − | }
| |
| − | ctx.closePath();
| |
| − | }
| |
| − | </syntaxhighlight>
| |
| − | </div>
| |
| − | </div>
| |
| − |
| |
| | | | |
| | ==Результаты== | | ==Результаты== |
| | | | |
| − | График 1. <big><math>{\frac{\pmb Y(t)}{\pmb a_{0}}}</math></big>, где <math>{Y}</math> - координата "грузика", <math>{a_{0}}</math> - равновесная длина пружинки, соответствующее половине расстояния между опорами, <math>{t}</math> - время.
| + | Здесь приведены конечные результаты, при заданных начальных параметрах. |
| | | | |
| − | На графике 1 мы видим колебания около начального положения грузика, а при достижении критической силы в определенный момент времени можно заметить быстрое возрастание прогиба. | + | На Рисунке 2 предоставлено конечное положение грузика, при заданном времени. |
| − |
| |
| − | График 2. <big><math>{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}</math></big>, где <math>{\pmb F_{x}}</math> - проекция результирующей силы на ось <math>{x}</math>, <math>{\pmb F_{е}}</math> - Эйлерова критическая сила в статике, <math>{t}</math> - время.
| |
| − |
| |
| − | На графике 2 первоначально сила возрастает линейно, но когда она достигает критического значения мы наблюдаем колебательный процесс, причем как амплитуда колебаний, так и среднее значение силы убывают.
| |
| | | | |
| | + | На Графике 1 мы наблюдаем, что на некотором расстоянии между стенками (через |
| | + | некоторое время после начала движения стен) равновесие становится неустойчивым. |
| | | | |
| | + | На Графике 2 мы видим проекцию результируещей силы во времени на ось <math>{Y}</math> |
| | | | |
| | | | |
| − | [[File:Y(t).JPG|thumb|График 1. '''<math>{\frac{\pmb Y(t)}{\pmb a_{0}}}</math>''' |слева|500px]] | + | [[Файл:KonPolGr.JPG|thumb|Рисунок 2. Положение системы в конечный момент времени |центр|400px]] |
| − | [[File:Fx(t).JPG|thumb|График 2. '''<math>{\frac{\pmb F_{x}(t)}{\pmb F_{e}}}</math>''' |справа|500px]] | + | [[Файл:Y(t).JPG|thumb|График 1. '''<math>{\pmb Y}(t)</math>''' |слева|400px]] |
| | + | [[Файл:Fy(t).JPG|thumb|График 2. '''<math>{\pmb F_{y}}(t)</math>''' |справа|400px]] |
| | | | |
| | | | |
| Строка 225: |
Строка 85: |
| | | | |
| | ==Ссылки== | | ==Ссылки== |
| − | *Kuzkin V.A., Dannert M.M.: Dynamic buckling of a column under constant speed compression. Acta Mech (2016) 227:1645-1652. | + | *Vitaly A. Kuzkin Structural model for the dynamic buckling of a column under constant rate compression |
